信号与系统

信号与系统 - 基本概况

时间函数x(t)及自变量代表时间的离散序列x(n)是信号的时域的基本表示方式。此外，无论是连续信号还是离散序列，都可以在频域中用它的傅里叶变换（即频谱函数）表示，也可以在“复频域”中用相应的拉普拉斯变换或z变换表示。与此对应，连续或离散系统的特性可在时域中用微分方程或差分方程描述，也可分别用冲激响应h(t)或h（n）描述；或频域中用频率响应H(jω)、H（ejω）或传递函数H(s)、H(z)描述。研究在给定的激励下通过系统的响应，可以在时域下用解微分方程或差分方程的方法，或通过激励信号与冲激响应的卷积进行，也可以在频域下，分别将连续信号或离散序列的傅里叶变换、拉普拉斯变换或z变换与系统的频率响应或传递函数相乘，得出响应的傅里叶变换、拉普拉斯变换或z变换，再进行反变换。就得到了以时间函数或离散序列表示的响应。

信号与系统是通信和电子信息类专业的核心基础课，其中的概念和分析方法广泛应用于通信、自动控制、信号与信息处理、电路与系统等领域。

本课程从概念上可以区分为信号分解和系统分析两部分，但二者又是密切相关的，根据连续信号分解为不同的基本信号，对应推导出线性系统的分析方法分别为：时域分析、频域分析和复频域分析；离散信号分解和系统分析也是类似的过程。

本课程采用先连续后离散的布局安排知识，可先集中精力学好连续信号与系统分析的内容，再通过类比理解离散信号与系统分析的概念。状态分析方法也结合两大块给出，从而建立完整的信号与系统的概念。

信号与系统课程研究信号与系统理论的基本概念和基本分析方法。初步认识如何建立信号与系统的数学模型，经适当的数学分析求解，对所得结果给以物理解释、赋予物理意义。

课程范围限定于确定性信号（非随机信号）经线性、时不变系统传输与处理的基本理论。本课程涉及的数学内容包括微分方程、差分方程、级数、复变函数、线性代数等。

本课程与先修课程"电路分析基础"联系密切，电路分析基础课程是从电路分析的角度研究问题，本课程则从系统的观点进行分析。

本课程的主要内容包括绪论、连续系统的时域分析、傅里叶变换、拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析、离散时间系统的时域分析、z变换、离散时间系统的z域分析等。

书名信号与系统(工业和信息化普通高等教育“十二五”规划教材立项项目)

丛 书 名21世纪高等院校电气工程与自动化规划教材

标准书号ISBN 978-7-115-28484-6

作者刘百芬 张利华 主编

责任编辑刘博

开本16 开

印张20.25

字数506 千字

页数314 页

装帧平装

版次第1版第1次

初版时间2012年6月

本 印 次2012年6月

首 印 数-- 册

定价42.00 元

本着易于教学、便于自学的宗旨，本书深入浅出地介绍了信号与系统分析的基本理论和方法。采用连续和离散并行，先时域后变换域分析，从输入/输出描述到状态变量描述的顺序和结构。在内容上注重体现经典与现代的传承、连续与离散的类比、三种变换的逻辑联系，注重信号与系统理论和方法的具体应用，并反映信号与系统的新理论和新技术。强调基本理论、基本概念和基本方法，注重难点和重点的解释与分析。每章配有小结和丰富精炼的例题和习题，书后附有部分习题参考答案。

本书可作为电子信息、通信、自动控制、电气工程、计算机等专业“信号与系统”课程的本科教材，也可供从事相关领域工作的教师、科技工作者自学参考使用，并可作为相关专业“信号与系统”课程的研究生入学考试参考书。

第1章信号与系统概论1

1.1引言1

1.2信号的概念1

1.2.1信号的定义与描述1

1.2.2信号的分类2

1.3典型信号及其特性5

1.3.1连续时间信号5

1.3.2离散时间信号14

1.4信号的基本运算16

1.4.1连续时间信号的基本运算16

1.4.2离散时间信号的基本运算18

1.5信号的分解20

1.5.1直流分量与交流分量20

1.5.2偶分量与奇分量20

1.5.3脉冲分量线性组合21

1.5.4实部分量与虚部分量22

1.6系统的概念22

1.6.1系统的定义22

1.6.2系统的描述23

1.6.3系统的分类24

1.7信号与系统分析概述28

1.8本章小结29

习题30

第2章连续时间系统的时域分析35

2.1引言35

2.2连续时间系统的描述及响应35

2.2.1连续时间LTI系统的数学模型35

2.2.2常系数微分方程的求解36

2.2.3初始条件的确定38

2.3零输入响应和零状态响应43

2.3.1零输入响应43

2.3.2零状态响应44

2.4冲激响应和阶跃响应46

2.4.1冲激响应47

2.4.2阶跃响应49

2.5卷积积分及其应用51

2.5.1卷积的计算51

2.5.2卷积的性质53

2.5.3卷积分析法57

2.6单位冲激响应表示的系统特性58

2.6.1因果性59

2.6.2稳定性59

2.7本章小结60

习题61

第3章离散时间系统的时域分析67

3.1引言67

3.2离散时间系统的描述及响应67

3.2.1离散时间系统的数学模型67

3.2.2常系数差分方程的求解69

3.3零输入响应和零状态响应72

3.3.1零输入响应72

3.3.2零状态响应74

3.4单位样值响应和单位阶跃响应76

3.4.1单位样值响应76

3.4.2单位阶跃响应78

3.5卷积和及其应用80

3.5.1卷积和的定义81

3.5.2卷积和的性质82

3.5.3卷积和的计算83

3.5.4卷积和分析法88

3.6单位样值响应表示的系统特性90

3.6.1因果性90

3.6.2稳定性90

3.7本章小结91

习题91

第4章连续时间信号与系统的频域分析97

4.1引言97

4.2信号的正交分解97

4.2.1正交矢量97

4.2.2正交函数集98

4.2.3信号的正交分解99

4.3周期信号的频谱——傅里叶级数100

4.3.1周期信号的傅里叶级数100

4.3.2周期信号的频谱110

4.3.3常见周期信号的频谱114

4.4傅里叶级数的性质116

4.5非周期信号的频谱——傅里叶变换119

4.5.1非周期信号的频谱函数119

4.5.2傅里叶变换存在的条件122

4.5.3常见非周期信号的频谱123

4.6傅里叶变换的性质128

4.7周期信号的傅里叶变换141

4.7.1傅里叶级数与傅里叶变换的关系141

4.7.2典型周期信号的傅里叶变换142

4.7.3一般周期函数的傅里叶变换144

4.8信号的功率频谱与能量频谱146

4.8.1功率频谱146

4.8.2能量频谱148

4.9连续时间系统的频域分析149

4.9.1连续时间系统的频率响应149

4.9.2非周期信号激励下的系统响应150

4.9.3周期信号激励下的系统响应151

4.10本章小结154

习题155

第5章离散时间信号与系统的频域分析163

5.1引言163

5.2信号的抽样163

5.2.1连续时间信号的抽样163

5.2.2离散时间信号的抽样169

5.3离散非周期信号的频谱——离散时间傅里叶变换171

5.3.1离散时间傅里叶变换171

5.3.2离散时间傅里叶变换的性质173

5.4离散周期信号的频谱——离散傅里叶级数175

5.4.1离散傅里叶级数175

5.4.2离散傅里叶级数的性质176

5.5离散时间LTI系统的频域分析177

5.5.1离散时间LTI系统的频率响应177

5.5.2离散非周期序列通过系统的频域分析178

5.5.3离散周期序列通过系统响应的频域分析179

5.6本章小结181

习题181

第6章连续时间信号与系统的复频域分析183

6.1引言183

6.2拉普拉斯变换183

6.2.1从傅里叶变换到拉普拉斯变换183

6.2.2拉普拉斯变换的收敛域184

6.2.3常见信号的拉普拉斯变换185

6.3拉普拉斯变换的性质187

6.4拉普拉斯反变换194

6.4.1部分分式法194

6.4.2围线积分法198

6.5连续时间LTI系统的复频域分析199

6.5.1连续时间LTI系统的系统函数199

6.5.2微分方程的复频域求解200

6.5.3电路系统的复频域分析202

6.6连续时间LTI系统的系统函数与系统特性205

6.6.1系统函数的零极点分布与时域特性205

6.6.2系统函数零极点分布与系统稳定性206

6.6.3系统函数零极点分布与频率特性207

6.7连续时间系统的模拟208

6.7.1连续系统的连接208

6.7.2连续系统的模拟209

6.8本章小结212

习题212

第7章离散时间信号与系统的z域分析217

7.1引言217

7.2变换217

7.2.1变换的定义217

7.2.2变换的收敛域218

7.2.3常见信号的变换220

7.3变换的性质221

7.4反变换226

7.4.1幂级数展开法226

7.4.2部分分式法227

7.5离散时间系统的域分析230

7.5.1离散时间系统的系统函数230

7.5.2差分方程的域求解231

7.6离散时间系统的系统函数与系统特性232

7.6.1系统函数零极点分布与时域特性232

7.6.2系统函数零极点分布与系统稳定性233

7.6.3系统函数零极点分布与频率特性234

7.7离散时间系统的模拟235

7.7.1离散时间系统的连接235

7.7.2离散时间系统的模拟236

7.8本章小结240

习题241

第8章信号与系统理论的应用246

8.1引言246

8.2信号的无失真传输246

8.2.1无失真传输的时域条件246

8.2.2无失真传输的频域条件247

8.3调制与解调248

8.3.1正弦幅度调制248

8.3.2正弦幅度解调249

8.4多路复用250

8.4.1频分复用251

8.4.2时分复用252

8.5信号滤波253

8.5.1滤波和滤波器253

8.5.2理想滤波器254

8.5.3模拟滤波器和数字滤波器256

8.6本章小结260

习题260

第9章系统的状态变量分析263

9.1引言263

9.2系统的状态变量和状态方程263

9.2.1系统状态描述的基本概念263

9.2.2动态方程的一般形式265

9.3状态方程的建立266

9.3.1连续时间系统状态方程的建立266

9.3.2离散时间系统状态方程的建立268

9.4连续时间系统状态方程的求解270

9.4.1连续时间系统状态方程的时间域求解271

9.4.2连续时间系统状态方程的s域求解273

9.5离散时间系统状态方程的求解276

9.5.1离散时间系统状态方程的时间域求解276

9.5.2离散时间系统状态方程的域求解278

9.6系统的可控性与可观测性280

9.6.1系统的可控性280

9.6.2系统的可观测性282

9.6.3单输入单输出系统可控与可观性的约当规范型判据283

9.7本章小结285

习题285

附录A常见信号的卷积289

附录B常见非周期信号的傅里叶变换290

附录C常见信号的拉普拉斯变换294

附录D常见序列的z变换295

部分习题答案296

参考文献314

信号与系统 - 学科构成

复合系统

傅里叶变换，以及后面得拉普拉斯变换和Z变换的引入，体现一种重要的

思维方式———改变观察问题的参照系。

对同一个物理系统，采用不同的参照系来进行观察，往往是解决某些在某一坐标系中无法或难以解决的问题的思维方法，而变换就是一种比较有效的实现手段。

例如变化无规律的音频信号可以通过频谱的构成加以限定，从而为音频信号的应用奠定了基础。变换的两个基本因素是基本概念和基本规律在新坐标系中的原象与象的关系，在数学上与常见的方程组，集合论以及某些随机过程的处理技术是相同的———高等代数中的矩阵分析。通过能量的限制，灵活应用无穷大量和无穷小量这些非现实世界的量，来有效地解决实际问题。

研究方法

LTI系统

对一个新的研究领域，人们在对问题的分析时，由于对问题认识

的有限，常常从一般性的问题开始。若对一般性的问题无法得到有普遍价值的结论，可以从具体问题入手，但最后还需要回到一般问题。若还是无法得到一般性问题的处理方法，则整个研究问题的思路和方式可能出了问题，往往需要另辟蹊径。ATM网络技术的失败正说明了这一点。用线性变换去处理非线性问题。

实际的物理系统中非线性问题也有时采用线性变换的技术来处理。例如，小波变换应用于图像的压缩编码当中，小波变换本身是一个线性变换，而图像信源的统计特性并不是一个线性关系。这是用线性去逼近非线性，这种方式存在一个复杂性的问题。例如在分组交换网络中QoS分组调度，一般化理想化的方式是基于服务曲线的调度策略，但此时服务曲线往往不是一条直线。如果用于逼近的折线大于两条时，计算复杂度太高以致无法应用。除了这里所讲的傅里叶变换外，本课程中还有其他变换，如拉普拉斯变换和Z变换都是线性变换。因此，本课程更严格的名称应该是“信号与线性系统”。

思维方式

典型的综合而非演绎的分析法。

研究方法

阶跃函数和冲激函数

线性时不变系统的本质是系统在空间和时间两个方面呈线性关

系，实际上是一个二维空间上满足线性关系，在数学上完全可以应用高等代数中的线性空间的分析方法来讨论。

思维方式

借理想化的数学手段将难以确定和描述的问题得以定性得限制。

研究方法

任意一个时间连续信号都借助冲激信号来描述。

信号与系统 - 应用举例

相关函数

信号与系统问题无处不在，信息科学已渗透到所有现代自然科学和社会科

学领域。虽然，在各个学科中的信号与系统的物理本质可能大不相同，但他们都有两个非常基本的共同点。信号是单个或多个独立变量的函数，而且一般来说，含有关于某种现象变化过程和特征的信息，而系统则对特定信号响应而产生另外一些信号。一个电路中的电压和电流作为时间的函数，是信号的一个例子，而这一电路本身则是系统的一个例子，在这种情况下，系统对所施加的电压和电流产生响应。

另一个例子，当驾驶员压下加速踏板时，汽车以增加车速为响应，在这种情况下，系统就是汽车，加速踏板上的压力则是系统的输入，汽车的速度是响应。一个心电图计算机自动诊断程序，也可看做一个系统，它以数字化的心电图作为其输入，而产生如心率这样的一些参数的估计值作为系统的输出。一架照相机也是一个系统，它接收来自不同光源和被口标反射的光而产生出一幅照片。

在出现信号与系统的许多场合，可以有各种各样的研究课题和论题。有时，我们面对的是一个特定的系统，‘而感兴趣的是要详细地表征这一系统，以搞清楚它如何对各种输入作出响应。一个例子就是已有悠久历史的关于人类听觉系统的研究工作。

另一个例子是对某个特定地区的经济系统的认识和描述的研究，以便能更好的预测对诸如农作物兼现等潜在的或者是不可预料的输入会产生什么响应。

在另一些信号和系统分析的场合，我们的兴趣不在于分析现有的系统，而在于系统的设计问题，以便用它们以各种特定方式来处理信一号。极为普通的例子。例如经济预测系统是代表这种情况的一个，设有一组像证券市场平均价格一类的经济时序列的记录，把这种记录看做信号，要是能根据过去记录去预测将来的状态显然是有用的。许多这样的系统已经精心研制成功，这些系统一般是计算机程序形式的，详细分析，还可进行其他类型的经济预报。用这些系统可以求得证券市场平均价格的虽则大多数这样的信号并不是全部可预测的，但有趣而重要的事实是，根据这些信号的许多过去的记录，换句话说，至少它们可近似地被外推。

第二种常见的应用，是恢复由于某些原因而恶化了的信号。语音通信时，就经常出现这种情况。例如，在强背景噪声条件下进行语音通信会因驾驶舱的高背景噪声电平而恶化。在这种情况和其他类似情况下，设计各种系统，以保留需要的信号（现在是驾驶员的声音）而排除（至少近似地排除）不需要的信号（在此是噪声）是有可能的。从已恶化信一号中恢复原信号的另一个成功的例子，是老唱片的修复系统。在录音时，采用一个根据输入信号而在唱片上刻出纹路形的录音系统，，这一输入信号就是艺术家的声音早期的录音，一般是采用角形机械录音筒录制的，而这种系统会在唱片上引入严重的失真。若能修复一些老唱片，使之达到符合现代录音技术的质量标准:，是很有价值的。如果用一个适当设计的信号处理系统，‘就有可能大大改善老唱片的质量。