中国科技大学：流体力学与流体机械（李文科）

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流体力学与流体机械
(八 )
多媒体教学课件李文科 制作第八章 可压缩流体的流动
第一节 热力学的基本参量和定律
第二节 弱扰动波传播的物理过程
第三节 弱扰动波在运动流场中的传播特征
第四节 可压缩理想流体一维稳定流动的基本方程
第五节 亚音速流动与超音速流动的差异
第六节 完全气体的一维等熵流动
第七节 可压缩流体经收缩形喷管的流动特征
第八节 喷管的计算第八章 可压缩流体的流动
第九节 激 波
第十节 膨 胀 波
第十一节 激波及膨胀波的反射和相交
第十二节 可压缩流体经拉瓦尔喷管的流动特征
第十三节 等截面有摩擦绝热管道中流体的流动
第十四节 等截面无摩擦非绝热管道中流体的流动
第十五节 等截面有摩擦非绝热管道中流体等温流动第八章 可压缩流体的流动流体的可压缩性是流体的固有属性 。
任何真实的流体都是可以压缩的,只是它们的可压缩程度不同而已 。
把流体的密度看作为常数,会使问题得到很大的简化 。
对于可压缩流体而言,密度变化必然伴随着温度的变化,
就是说,在流体流动过程中,其 内能也在发生变化,这时 其机械能将不再守恒,必须 用能量守恒定律来取代机械能守恒定律 。
第一节 热力学的基本参量和定律内 容 提 要
一,比热
二,内能
三,焓
四,熵
五,热力学第一定律的能量方程式第一节 热力学的基本参量和定律一,比热单位质量流体温度变化 1K所需要的热量称为 比热,单位为焦耳 /千克 ·开 。
对于气体而言,如果过程是在等压条件下进行,则称为 等压比热,用 CP表示 ；如果过程是在等容条件下进行,则称为等容比热,用 CV表示 。
从热力学知道,等压比热 CP,等容比热 CV与气体常数 R之间存在着如下的关系
CP=CV+R (8-1)
式中 气体常数 R的 通用值为 R=8314J/kmol·K。 各种不同气体的气体常数值见表 8-1。
第一节 热力学的基本参量和定律气体的等压比热与等容比热的比值叫做 绝热指数,常用 k
表示,即
(8-2)
将式 (8-2)代入式 (8-1)可转化为
(8-3)
(8-4)
k=1.66(如氩气,氦气等 )；
k=1.40(如氧气,空气等 )；
k=1.33(如过热蒸气等 )；
k=1.135。
V
P
C
Ck?
1 k
RC
V
1 k
RkC
P
第一节 热力学的基本参量和定律二,内能宏观静止的流体,因其内部分子的热运动而具有的能量叫做 内能 。 常用符号 e来表示,对于单位质量流体来说,其单位是 焦耳 /千克 。
流体的内能一般包括 内动能 和 内位能 两部分 。
内动能是 温度 的函数,而内位能是 密度 或比容的函数 。
因此说,内能是热力状态的单值函数 。 在一定的热力状态下,
分子有一定的均方根速度和平均间距,也就有一定的内能,而与到达这一状态的路径无关 。 这就是内能作为一个状态参量的 基本性质 。
第一节 热力学的基本参量和定律通常情况下,因气体的热力状态可由两个独立的状态参量决定,所以其 内能也一定是两个独立状态参量的函数,一般可表达为
e=f(T,ρ) (8-5)
对于完全气体,由于其分子之间没有作用力,故分子之间就没有位能 。 这样,完全气体的内能就只是气体分子运动的动能,而不包含内位能了 。 因此,完全气体的内能只是温度的单值函数,而与密度或比容无关,即
e=f(T) (8-6)
由热力学知道,
de=CVdT (8-7)
第一节 热力学的基本参量和定律对于定比热的完全气体,CV=常数,上式积分得
e2-e1=CV(T2-T1) (8-8)
如果以热力学零度为基准,即在 T=0K时,e=0,则在 TK
温度条件下的完全气体的内能为
e=CVT (8-9)
即 完全气体的内能与热力学温度成正比 。
第一节 热力学的基本参量和定律三,焓在有关热工计算的公式中时常有 e+p/ρ出现,为了简化公式和简化计算,我们 把它定义为 焓,用符号 i表示 。 规定
i=e+p/ρ (8-10)
式 (8-10)就是焓的定义式 。 从式中可以看出 焓 i的单位是 焦耳 /千克 。 式中还可以看出 焓也是一个状态参量 。 在任一平衡状态下,
e,p和 ρ都有一定 的值,因而焓 i也有一定的值,而与到达这一状态的路径无关,即
i=e+p/ρ=f(p,ρ) (8-11)
或 i=f(T,ρ) (8-11a)
第一节 热力学的基本参量和定律同内能一样,完全气体的焓也只是温度的单值函数,而与密度或比容无关 。 因为 i=e+p/ρ,其中 e只是温度的函数,而
p/ρ=RT也只是温度的 函数 。 所以
i=f(T) (8-12)
即,对于完全气体,式 (8-10)可写为
i=e+RT (8-13)
由式 (8-13),焓的变化为
di=de+RdT=CVdT+RdT
=(CV+R)dT=CPdT (8-14)
对于定比热的完全气体,CP=常数,则式 (8-14)积分得：
i2-i1=CP(T2-T1) (8-15)
第一节 热力学的基本参量和定律如果以热力学零度为基准,即在 T=0K时,i=0,则在 TK
温度条件下的完全气体的焓为
(8-16)
即 完全气体的焓与热力学温度成正比 。
TCi p?
第一节 热力学的基本参量和定律四,熵熵也是一个状态参量,一般用 s表示,其单位是 焦耳 /开,
对于单位质量流体为 焦耳 /千克 ·开 。 对给定的状态,熵有确定的值 。 熵的变化为
(8-17)
式中 是微小过程给定系统单位质量流体得到的热量,T为介质的热力学温度 。
对绝热过程而言,＝ 0，熵的变化为
ds≥0 (8-18)
对于可逆绝热过程而言,ds=0,s=常数,称为 等熵过程 。
T
qsd
q
q
第一节 热力学的基本参量和定律对于等熵过程，有
(8-19)
式中 k为绝热指数,p为流体的压力,ρ为流体的密度。
注意到状态方程 p=ρRT,可得到等熵过程压力 p,密度 ρ和温度 T三者之间 的关系为
(8-20)
式中 p1,ρ1,T1为初态参量,p2,ρ2,T2为终态参量 。
对于不可逆绝热过程,ds＞ 0,过程始末单位质量流体的熵增为
1
1
2
1
2
1
2 )()( k
k
k
T
T
p
p
常数?kp?
第一节 热力学的基本参量和定律
(8-21)
或 (8-21a) )]()l n [ (lnln
)]()l n [ (lnln
2
11
1
1
2
1
2
1
2
12
2
11
1
2
1
2
1
2
12


k
V
k
k
p
T
T
RR
T
T
Css
p
p
T
T
R
p
p
R
T
T
Css
第一节 热力学的基本参量和定律五,热力学第一定律的能量方程式图 8-1示一开口系统,流体经 Ⅰ -Ⅰ 面流入,经 Ⅱ -Ⅱ 面流出 。
入口截面中心距基准面的几何高度为 z1,流体的静压为 p1,流速为 u1,密度为 ρ1；出口截面中心距基准面的几何高度为 z2，
流体的静压为 p2,流速为 u2,密度为 ρ2。 为单位质量流体在
Ⅰ ～ Ⅱ 两 截面间所得到的热量,为单位质量流体对外界所做的功 。
对于理想流体而言,不存在能量损失,则单位质量流体在两截面间的能量关系为
(8-22)
WeuzgpQeuzgp 2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
22
w?
q?
第一节 热力学的基本参量和定律图 8-1 开口系统的能量平衡图第一节 热力学的基本参量和定律对于可压缩流体而言，，位能的变化可忽略不计，能量方程式 (8-22)可简化为
(8-23)
当可压缩流体既不向系统外作功，又不从系统外吸热时，
能量方程可进一步简化为
(8-24)
或 (8-24a)
注意到式 (8-10)或 (8-13)，上式可变换为
WeupQeup 2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
22
22
22
2
2
22
2
1
11
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
u
RTe
u
RTe
up
e
up
e



第一节 热力学的基本参量和定律
(8-25)
式 (8-25)说明,对于理想的可压缩流体的绝热流动而言,单位质量流体所具有的焓与动能之和保持常量 。
常数 22
2
2
2
2
1
1
uiui
第二节 弱扰动波传播的物理过程内 容 提 要
弱扰动波的传播与流体可压缩性的关系
弱扰动波传播的物理过程
声音传播速度的计算第二节 弱扰动波传播的物理过程在密度有变化的流场中,相邻两点之间的密度差与它们的压力差密切相关 。 密度对压力的变化率是分析可压缩流体流动的一个重要参量 。 我们将会看到,
密度对压力的变化率与声波的传播速度有密切关系,
声波 就是在可压缩流体中传播的弱扰动波,它的传播速度简称 声速,或称 音速 。
为了说明弱扰动波传播的物理过程,让我们观察图 8-2a所示的理想化模型 。
第二节 弱扰动波传播的物理过程图 8-2 弱扰动波传播的物理过程第二节 弱扰动波传播的物理过程设管道的截面积为 A,对控制体写出连续性方程
ρaA=(ρ+dρ)(a-du)A
略去二阶无穷小量,得
ρdu=adρ (8-26)
对控制体建立动量方程,并注意到控制体的体积趋近于零,
其质量力近似为零,且可忽略切应力的作用,于是动量方程可写成
pA-(p+dp)A=ρaA[(a-du)-a]
整理后可得
dp=ρadu (8-27)
由式 (8-26)及式 (8-27),消去 du可得到音速公式第二节 弱扰动波传播的物理过程
(8-28)
由于弱扰动波在传播过程中,流体的密度,压力及温度的变化无限小,且过程进行得很快,因此可以认为这个过程是等熵过程 。 于是音速公式 (8-28)可写成
(8-29)
音速公式 (8-29)无论对气体还是液体都是适用的 。 从式 (8-
29)可以看出,流体 中的音速与其可压缩性密切相关,它表示改变单位密度必须改变的压力值 。 因此,愈难压缩的流体,其中的音速越快；愈易压缩的流体,其中的音速越慢 。
d
d pa?
S
pa )(


第二节 弱扰动波传播的物理过程绝对刚体中声音的传播速度为无穷大 ∞。 实际中的物质都是可以压缩的 。 如常温条件下,纯水中的音速为 a≈1490m/s；
空气中的音速为 a≈343m/s。
对于完全气体的等熵过程,p/ρk=常数,对它进行微分,并考虑到完全气体的状态方程 p=ρRT,可得因此 完全气体的音速公式 可写成
(8-30)
可见,完全气体中的音速是热力学温度的函数 。 它也是一个过
TRkpkp S )(
TRkpka
第二节 弱扰动波传播的物理过程程量,而不是常数 。 就是说,音速 a主要取决于气体的种类 (k，
R)和热力学温度 (T)。
对于空气,k=1.4,R=287.06J/kg·K,代入式 (8-30),得
)/(05.20 smTa?
第三节 弱扰动波在运动流场中的传播特征内 容 提 要
弱扰动波在静止流场中的传播特征
弱扰动波在亚音速流场中的传播特征
弱扰动波在超音速流场中的传播特征
马赫数、马赫锥、马赫线及马赫角的概念第三节 弱扰动波在运动流场中的传播特征马赫数 M是体现流场中流体可压缩性大小的重要参量 。 相同马赫数的流场具有相似的流动特征,它们的弹性力相似 。
根据马赫数的大小不同,可 将流场的流动特征分为三类,即
M<1 为亚音速流动；
M=1 为音速流动；
M>1 为超音速流动 。
为了说明亚音速流和超音速流的根本区别,我们首先来讨论均匀来流流场中弱扰动波的传播特征 。
设在静止流场中某点 O上存在一弱扰动源,则该扰动源产生的弱扰动波将以音速 a向四周传播,如图 8-3a所示 。 若坐标原点取在该扰动源上,则弱扰动波向四周传播的速度可写成 。
ria
第三节 弱扰动波在运动流场中的传播特征若在均匀来流速度为 的流场中某点 O上存在一弱扰动源,则该扰动源产生的弱拢动波仍以速度 a相对于流体向四周传播 。 现以 O点为原点,沿流体流动方向作 x轴,由于流体本身以速度 u∞沿 x轴方向运动,故弱扰动波传播的绝对速度为
。 下面我们就三种情况分别讨论 。
(1)亚音速流动 (M<1)
若均匀来流为亚音速流动,则弱扰动波可以传播到整个流场 。 由图 8-3b可见,在 τ=0时刻,从 O点发出的弱扰动波,在
τ1=Δτ时刻将传播到以 O1为中心 (OO1=u∞Δτ),以 aΔτ为半径的球面上；而在 τ2=2Δτ时刻将传播到以 O2为中心 (OO2=2u∞Δτ),以
2aΔτ为半径的球面上；依此类推 。 因为
iuu
iuia r
第三节 弱扰动波在运动流场中的传播特征图 8-3 弱扰动波的传播特征第三节 弱扰动波在运动流场中的传播特征图 8-3 弱扰动波的传播特征第三节 弱扰动波在运动流场中的传播特征
u∞Δτ

流体力学与流体机械
(一 )
多媒体教学课件李文科 制作第一章 流体及其物理性质
第一节 流体的定义和特征
第二节 流体作为连续介质的假设
第三节 流体的密度和重度
第四节 流体的压缩性和膨胀性
第五节 流体的粘性及牛顿内摩擦定律
第六节 液体的表面性质第一节 流体的定义和特征内 容 提 要
1,流体的定义
2,流体的流动性
3,流体与固体的区别
4,液体与气体的区别第一节 流体的定义和特征物质存在的形态有三种,固体,液体 和 气体 。
我们 通常把能够流动的液体和气体统称为 流体 。
从力学角度来说,流体在受到微小的剪切力作用时,将连续不断地发生变形 (即流动 ),直到剪切力的作用消失为止 。 所以,流体可以这样来定义：
在任何微小剪切力作用下能够连续变形的物质叫作流体 。
流体和固体由于 分子结构 和 分子间的作用力 不同,因此,
它们的性质也不同 。 在相同体积的固体和流体中,流体所含有的分子数目比固体少得多,分子间距就大得多,因此,流体分子间的作用力很小,分子运动强烈,从而决定了 流体具有流动性,而且流体也没有固定的形状 。
第一节 流体的定义和特征流体与固体相比有以下区别：
(1)固体既能够抵抗法向力 ——压力和拉力,也能够抵抗切向力 。 而 流体仅能够抵抗压力,不能够承受拉力,也不能抵抗拉伸变形 。 另外,流体即使在微小的切向力作用下,也很容易变形或流动 。
(2)在弹性限度内,固体的形变是遵循应变与所作用的应力成正比这一规律 (弹性定律 )的；而 对于流体,则是遵循应变速率与应力成正比的规律的 。
(3)固体的应变与应力的作用时间无关,只要不超过弹性极限,作用力不变时,固体的变形也就不再变化,当外力去除后,形变也就消失； 对于流体,只要有应力作用,它将连续变形 (流动 ),当应力去除后,它也不再能恢复到原来的形状 。
第一节 流体的定义和特征液体和气体虽都属于流体,但两者之间也有所不同 。 液体的分子间距和分子的有效直径相当 。 当对液体加压时,只要分子间距稍有缩小,分子间的排斥力就会增大,以抵抗外压力 。 所以液体的分子间距很难缩小,即 液体很难被压缩 。 以致一定质量的液体具有一定的体积 。 液体的形状取决于容器的形状,并且由于分子间吸引力的作用,液体有力求自己表面积收缩到最小的特性 。 所以,当容器的容积大于液体的体积时,液体不能充满容器,故在重力的作用下,液体总保持一个自由表面,通常称为 水平面 。
气体的分子间距比液体大,在标准状态 (0℃,101325Pa)下,
气体的平均分子间距约为 3.3× 10－ 6mm,其 分子的平均直径第一节 流体的定义和特征约为 2.5× 10－ 7 mm。 分子间距比分子平均直径约大十倍 。 因此,
只有当分子间距缩小得很多时,分子间才会出现排斥力 。 可见,
气体是很容易被压缩的 。 此外,因气体分子间距与分子平均直径相比很大,以致分子间的吸引力很微小,而分子热运动起决定性作用,所以 气体没有一定的形状,也没有固定的体积,
它总是能均匀地充满容纳它的容器而形成不了自由表面 。
第二节 流体作为连续介质的假设内 容 提 要
1,流体微团的概念
2,把流体作为连续性介质假设的意义
3,把流体作为连续性介质假设的合理性第二节 流体作为连续介质的假设众所周知,任何流体都是由无数的分子组成的,分子与分子之间具有一定的空隙 。 这就是说,从微观的角度来看,流体并不是连续分布的物质 。 但是,流体力学所要研究的并不是个别分子的微观运动,而是 研究由大量分子组成的宏观流体在外力作用下的机械运动 。 我们所测量的流体的密度,速度和压力等物理量,正是大量分子宏观效应的结果 。 因此,在流体力学中,取 流体微团 来代替流体的分子作为研究流体的 基元 。
所谓流体微团是指一块体积为无穷小的 微量流体 。 由于流体微团的尺寸极其微小,故可作为流体质点来看待 。 这样,流体就可以看成是由无限多的连续分布的 流体质点 所组成的连续介质 。
第二节 流体作为连续介质的假设这种 对流体的连续性假设是合理的 。 因为在流体介质中,
流体微团虽小,但却包含着为数众多的分子 。 例如,在标准状态下,1mm3的气体中含有 2.7× 1016个分子； 1mm3的液体中含有 3× 1019个分子 。 可见,分子之间的间隙是极其微小的 。 因此,在研究流体的宏观运动时,可以忽略分子间的空隙,而认为流体是连续介质 。
当把流体看作是连续介质以后,表征流体属性的各物理量
(如流体的密度,速度,压力,温度,粘度等 )在流体中也应该是连续分布的 。 这样就 可将流体的各物理量看作是空间坐标和时间的 连续函数,从而可以引用连续函数的解析方法等数学工具来研究流体的平衡和运动规律 。
第二节 流体作为连续介质的假设把流体作为连续介质来处理,对于大部分工程技术问题都是正确的,但对于某些特殊问题则是不适用的 。 例如,火箭在高空非常稀薄的气体中飞行以及高真空技术中,其分子间距与设备尺寸可以比拟,不再可以忽略不计 。 这时不能再把流体看成是连续介质来研究,而需要运用分子运动论的微观方法来研究 。
第三节 流体的密度和重度内 容 提 要
一,流体的密度
二,流体的重度
三,流体的比重和比容第三节 流体的密度和重度一,流体的密度单位体积流体所具有的质量称为流体的 密度 。 它表示流体质量在空间分布的密集程度 。
对于流体中各点密度相同的 均匀流体,其密度为
(1—1)
式中 ——流体的密度 (kg/m3)
m——流体的质量 (kg)
V— 流体的体积 (m3)。
对于各点密度不同的 非均匀流体,在流体的空间中某点取包含该点的微小 体积 ΔV,该体积内流体的质量为 Δm,则该点的密度为
(1-2)
V
m
V
m
V
m
d
dlim
0ΔV

第三节 流体的密度和重度二,流体的重度单位体积流体所具有的重量,即作用在单位体积流上的重力称为流体的 重度 。 它表示流体重量在空间分布的密集程度 。
均匀流体的重度为
(1-3)
式中 γ ——流体的重度 (N/m3)
G— 流体的重量 (N)
V— 流体的体积 (m3)
(1-4)
式中 ΔV——包含某点的微小体积；
V
G
V
G
V
G
d
dlim
0ΔV

第三节 流体的密度和重度
ΔG——该体积内的流体重量 。
在地球的重力场中,流体的密度和流体的重度之间的关系为 (1-5)
注意,流体的密度 ρ 与地理位置无关,而流体的重度 γ由于与重力加速度 g有关,所以它将随地理位置的变化而变化 。
三,流体的比重和比容应该注意,不要把流体的 重度 和流体的 比重 混淆起来 。 在工程上,液体的比重 是指液体的密度或重度与标准大气压下
4℃ 纯水的密度或重度之比,用 S表示 。
即
(1-6)
它是一个无因次量 。
OHOH
S
22

g
第三节 流体的密度和重度气体的比重,是指某气体的密度或重度与在某给定的压力和温度下空气或氢气的密度或重度之比 。 它没有统一的规定,
必须视给定的条件而定 。
流体密度的倒数称作 比容,即单位质量的流体所占有的体积,用?来表示,单位为 m3/kg,即
(1-7)
我们经常见到的煤气和烟气等都是混合气体,混合气体的密度可按各组分气体所占体积百分数来计算,即
(1-8)
式中 — 混合气体中各组分气体的密度；
— 混合气体 中各组分气体所占的体积百分数 。
1?v

n
i
iinn
1
2211
n21，，
n21，，
第四节 流体的压缩性和膨胀性内 容 提 要
一,流体的压缩性
二,流体的膨胀性
三,理想气体状态方程
四,可压缩流体和不可压缩流体第四节 流体的压缩性和膨胀性一,流体的压缩性在一定的温度下,流体的体积随压力升高而缩小的性质称为流体的 压缩性 。 流体压缩性的大小用 体积压缩系数 βp表示 。
它表示当温度保持不变时,单位压力增量所引起的流体体积的相对缩小量,
(1-9)
式中 βp— 流体的体积压缩系数 (m2/N)
dp— 流体的压力增量 (Pa)
dV/V— 流体体积的相对变化
dρ/ρ——流体密度的相对变化量 。
pp
V
Vp
VV
d
d1
d
d1
d
/d
p

第四节 流体的压缩性和膨胀性由于压力增加时流体的体积缩小,即 dp与 dV的变化方向相反 。 故上式中加一负号,以使体积压缩系数 βp保持正值 。
液体的体积压缩系数一般都很小 。
体积压缩系数的倒数称为 体积弹性系数,或称体积 弹性模量,用 E表示,即
(1-10)
工程上常用体积弹性系数来衡量流体压缩性的大小 。 式 (1-
10)表明,对于同样的压力增量,E值小的流体,其体积变化率大,较易压缩； E值大的流体,其体积变化率小,较难压缩 。
E的单位与压力相同,为帕或牛 /米 2。
d
d
d
d1
p
p
V
pVE
第四节 流体的压缩性和膨胀性二,流体的膨胀性在一定的压力下,流体的体积随温度升高而增大的性质称为流体的 膨胀性 。 流体膨胀性的大小用 体积膨胀系数 β Τ 来表示,它表示当压力保持不变时,温度升高 1K所引起的流体体积的相对增加量 。 即
(1-11)
式中 βT— 流体的体积膨胀系数,也称 温度膨胀系数 或 热膨胀系数 (1/℃ 或 1/K)；
dT— 流体温度的增加量 (K)。
其它符号同前 。
TT
V
VT
VV
d
d1
d
d1
d
/d
T

第四节 流体的压缩性和膨胀性由于温度升高,流体的体积膨胀,故 dT与 dV同号 。 液体的体积膨胀系数也很小 。
流体的体积膨胀系数 βT还决定于压力 。 对于大多数液体,
βT随压力的增加稍有减小 。 但水的 βT值在 50℃ 以下时随压力的增加而增大,在 50℃ 以上时,是随压力的增加而减小 。
三,理想气体状态方程气体的压缩性和膨胀性要比液体大得多 。 这是由于气体的密度随温度和压力的改变将发生显著的变化 。 对于理想气体,
其密度与温度和压力之间的关系可用理想气体状态方程式来表示,即 (1-12)
或写成 (1-12a)
RTpv?
RTp
第四节 流体的压缩性和膨胀性式中 p— 气体的绝对压力 (Pa)
v— 气体的比容 (m3/kg)；
R— 气体常数 (J/kg·K)
T— 热力学温度 (K),T=t℃ +273
ρ— 气体的密度 (kg/m3)。
气体状态方程说明,气体的比容同绝对压力成反比,而同热力学温度成正比 。
当气体在运动过程中压力变化不大时,其绝对压力可视为常数次,此时,气体的密度可按 等压过程 来计算 。
由 得：
(1-13)
tTttT
T
T
T

1/1
0
0
0
0
0000
t
TT t00
第四节 流体的压缩性和膨胀性式中 ρ0— 温度为 0℃ 时气体的密度 (kg/m3)
ρt— 温度为 t℃ 时气体的密度 (kg/m3)；
T0,T— 分别为 0℃ 和 t℃ 时的热力学温度 (K)
β— 气体的体积膨胀系数,1/273(1/K)。
同理可得到气体的体积在等压过程中随温度的变化关系式为
Vt=V0(1+βt) (1-14)
式中 Vt— 温度为 t℃ 时的气体的体积 (m3)；
V0— 温度为 0℃ 时的气体的体积 (m3)。
第四节 流体的压缩性和膨胀性四,可压缩流体和不可压缩流体由上可知,压力和温度的变化都会引起流体密度的变化 。
任何流体,不论是气体还是液体都是可以压缩的,只是可压缩程度不同而已 。 就是说,流体的压缩性是流体的基本属性 。
通常 液体的压缩性都很小,随着压力和温度的变化,液体的密度仅有微小的变化,在工程上的大多数情况下,可以忽略压缩性的影响,认为液体的密度不随压力和温度的变化而变化 。
是一个常数 。 于是 通常把液体看成是不可压缩流体 。 例如,可在通常的压力和温度变化范围内,取一个 标准大气压下 4℃ 时水的最大密度 ρ=1000kg/m3作为计算值 。 这样并不影响工程上的精度要求,而且使工程计算大为简化 。
第四节 流体的压缩性和膨胀性气体的压缩性都很大,由热力学可知,当温度不变时,理想气体的体积与压力成反比 (波义尔定律 ),压力增加一倍,其体积减小为原来的一半；当压力不变时,气体的体积与热力学温度成正比 (盖 ·吕萨克定律 ),温度升高 1℃,气体的体积就比
0℃ 时的体积膨胀 1/273。 所以,通常 把气体看成是可压缩流体,
它的密度不能作为常数,而是随压力和温度而变化的 。
把液体看作是不可压缩流体,把气体看作是可压缩流体,
这都不是绝对的 。 在实际工程中,要不要考虑流体的压缩性,
要视具体情况而定 。 例如,在研究管道中的 水击现象 和水下爆炸等问题时,水的压力变化较大,而且变化过程非常迅速,这时水的密度变化就不可忽略,即要考虑水的压缩性,把水当作第四节 流体的压缩性和膨胀性可压缩流体来处理；又如,在加热炉或锅炉尾部的烟道和通风管道中,气体在整个流动过程中,压力和温度的变化都很小,
其密度变化也很小,可作为不可压缩流体处理；再如,当气体对物体流动的相对速度比音速小得多时,气体的密度变化很小,
可近似地看成是常数,也可当作不可压缩流体来处理 。
气体的可压缩性通常用马赫数来度量,马赫数定义为
(1—15)
式中 M— 马赫数,
u— 气体的流速 (m/s)
a— 在该气体温度下,声音在气体内的传播速度,即当地音速 (m/s)。
a
uM?
第四节 流体的压缩性和膨胀性当 M＜ 0.3的情况下,流体的密度变化约在 4%以内,因此,
对于 以 M＜ 0.3流动的气体,可按不可压缩流体处理 。 以空气为例,标准状态下的空气,当 M=0.3时,其速度约相当于
100m/s,这就是说,在标准状态下,若空气流速 u＜ 100m/s，
就可以不考虑压缩性的影响 。 对于流体的可压缩性,也有人直接采用流体密度的变化率来度量,即当流体在流动过程中,其密度变化小于 3～ 5%时 可作为不可压缩流体来处理,否则,
将作为可压缩流体处理 。
第五节 流体的粘性及牛顿内摩擦定律内 容 提 要
一,流体的粘性和粘性力
二,牛顿内摩擦定律
三,流体粘度的测量及恩氏粘度
四,粘性流体和理想流体
五,牛顿流体和非牛顿流体第五节 流体的粘性及牛顿内摩擦定律一,流体的粘性和粘性力所谓 流体的粘性 是指流体在流动时,流体内部质点间或流层间因相对运动而产生内摩擦力,以抵抗其相对运动的性质 。
自然界中所存在的各种流体内部都有阻碍流体流动的作用,即都具有粘性 。 但是,不同的流体其粘性的大小是不相同的 。 流体的粘性是由流体分子之间的内聚力和分子不规则热运动的动量交换综合构成的 。 流体与不同相的表面接触时,粘性表现为流体分子对表面的 附着作用 。
由流体的粘性作用而产生的阻滞其流动的作用力,就称为粘性力 或称 内摩擦力 。
现通过实验来进一步说明：
第五节 流体的粘性及牛顿内摩擦定律将两块平板相隔一定的距离水平放置,其间充满某种流体,
并使下板固定不动,上板以某一速度 u0向右平行移动,如图 1-
1所示 。 由于流体与平板间有 附着力,紧贴上板的一薄层流体将以速度 u0随上板一起向右运动,而紧贴下板的一薄层流体将和下板一样静止不动 。 两板之间的各流体薄层在上板的带动下均作平行于平板的运动,且其速度均匀地由下板的零变化到上板的 u0,在这种情况下,板间流体流动的速度是按直线变化的 。
可见,由于各流层的速度不同,流层间就有相对运动,因而必定产生切向阻力,即 内摩擦力 。 作用在两个流体层接触面上的内摩擦力总是 成对出现 的,它们大小相等而方向相反,
分别作用在相对运动的两流体层上 。 速度较大的流体层第五节 流体的粘性及牛顿内摩擦定律图 1-1 流体粘性实验示意图 图 1-2 粘性流体的速度分布第五节 流体的粘性及牛顿内摩擦定律作用在速度较小的流体层上的 内摩擦力 T,其方向与流体流动的方向相同,使速度较小的流体层加速,而速度较小的流体层作用在速度较大的流体层上的内摩擦力 T',其方向与流体流动的方向相反,阻碍流体流动,使速度较大的流体层减速 。 应该指出,在一般情况下,流体流动的速度并按直线的规律变化,
而是按曲线规律变化的,如图 1-2所示 。
第五节 流体的粘性及牛顿内摩擦定律二,牛顿内摩擦定律根据牛顿实验研究的结果得知,运动的流体所产生的内摩擦力 (即粘性力 )的大小与垂直于流动方向的速度梯度成正比,
与接触面的面积成正比,并与流体的物理性质有关,而与接触面上压力的关系甚微,这就是 牛顿内摩擦定律,也叫 牛顿粘性定律,其数学表达式为
(1-16)
式中 T— 流体层接触面上的内摩擦力 (N)
A— 流体层间的接触面积 (m2)
du/dy— 垂直于流动方向上的速度梯度 (1/s)；
y
uAT
d
d
第五节 流体的粘性及牛顿内摩擦定律
μ— 与流体的物理性质有关的比例系数,称为 动力粘性系数 或 动力粘度,简称为 粘度,有时也称为 绝对粘度 。 在一定的温度和压力下,动力粘度为一常数 。 它的单位为帕 ·秒或千克 /米 ·秒,牛 ·秒 /米 2。
流体的动力粘性系数 μ是衡量流体粘性大小的物理量 。 从式 (1-16)可知,当速度梯度 du/dy=0时,内摩擦力等于零 。 所以,
当流体处于静止状态或以相同的速度流动 (各流层之间没有相对运动 )时,流体 的粘性就表现不出来 。
上 式中 正负号的意义是,当速度梯度 du/dy＜ 0时取负号；
当 du/dy＞ 0时取正号,使 T始终保持为正值 。 至于内摩擦力 T
的方向要根据坐标轴的方向来判断 。
第五节 流体的粘性及牛顿内摩擦定律流体层间单位面积上的内摩擦力称为 粘性切应力,用 τ表示,其表达式为
(1-17)
式中符号同上 。
y
u
A
T
d
d
第五节 流体的粘性及牛顿内摩擦定律在研究流体流动问题 和推导流体运动规律的公式时,常常同时存在粘性力和惯性力,粘性力与动力粘度 μ成正比,而惯性力与流体的密度 ρ成正比,因此比值 μ/ρ经常出现在公式中 。
为了计算方便起见,常以?来表示其比值,即
(1-18)
式中?— 称为流体的 运动粘性系数 或称 运动粘度 (m2/s)。
影响流体粘度的因素：
流体的粘性主要受 压力 和 温度 的影响 。
在通常压力下,压力对流体粘性的影响很小,可忽略不计 。
在高压下,流体的粘性随压力的升高而增大 。

第五节 流体的粘性及牛顿内摩擦定律液体的粘性随温度的升高而减小；气体的粘性随温度的升高而增大 。 构成液体粘性的主要因素是分子间的 吸引力 (内聚力 ),温度升高,液体分子间的吸引力减小,其粘性降低 ； 构成气体粘性的主要因素是气体分子作不规则热运动时,在不同速度分子层间所进行的 动量交换 。 温度越高,气体分子热运动越强烈,动量交换就越频繁,气体的粘性就越大 。
水的动力粘度 μ 与温度的关系可近似用下述经验公式计算
(1-19)
式中 μt— t℃ 时水的动力粘度 (Pa·s)；
μ0— 0℃ 时水的动力粘度,其值为 1.792× 10-3Pa·s；
2
0
t 0 0 0 2 2 1.00 3 3 7.01 tt

第五节 流体的粘性及牛顿内摩擦定律
t——为水温 (℃ )。
气体的动力粘度 μ 与温度的关系可用下面的经验公式计算
(1-20)
式中 μt— 气体在 t℃ 时的动力粘度 (Pa·s)
μ0— 气体在 0℃ 时的动力粘度 (Pa·s)
C— 与气体种类有关的常数
T— 气体的热力学温度,T=t℃ +273 (K)。
式 (1-20)只适用于压力不太高 (例如 p＜ 106 Pa)的场合,这时可视气体的粘度与压力无关 。 水蒸气的动力粘度随温度和压力而变,压力稍高,上式便不适用 。
2
3
0t )2 7 3(
2 7 3 T
CT
C

第五节 流体的粘性及牛顿内摩擦定律三,流体粘度的测量及恩氏粘度要直接测量流体的粘度 μ或 ν是非常困难的,它们的值往往是通过测量与其有关的其他物理量,然后再由有关的方程进行计算而得到 。 由于计算所依据的基本方程不同,测定的方法也各异,所要测量的有关物理量也不尽相同 。
(1)落球方法,使已知直径和重量的小球,沿盛有试验液体的玻璃圆管中心线垂直降落,用测量小球在试验液体中自由沉降速度的方法去计算该液体的粘度 。
(2)管流方法,让被测粘度的流体,以一定的流量流过已知管径的管道,再在管道的一定长度上用测压计测出这段管道上的压力降,从而计算出流体的粘度 。
第五节 流体的粘性及牛顿内摩擦定律
(3)旋转方法,在两不同直径的同心圆筒的环缝中充以试验流体,其中一圆筒固定,另一圆筒以已知角速度旋转,由于可以测定所需力矩,则可由计算求得该流体的粘度 。
(4)泄流法,将已知温度和体积的待测液体,通过仪器下部已知管径的短管自由泄流而出,测定规定体积的液体全部流出的时间 。
由于泄流时间与粘度的关系不能精确地按方程计算,所以这类粘度计都是把待测液体的泄流时间与同样体积已知粘度的液体的泄流时间相比较,从而推求出待测液体的粘度 。
工业上测定各种液体粘度常用的粘度计的测量原理就是泄流法 。 下面就工业粘度计的结构及其测量方法简述一下 。
第五节 流体的粘性及牛顿内摩擦定律目前我国和俄罗斯,德国等欧洲国家是采用 恩格勒
(Engler)粘度计,英国采用 Redwood粘度计,美国采用 Saybolt
粘度计 。 它们只是结构上的差别,原理都是 一样的 。
恩格勒 粘度计的结构如图 1-6所示 。 测量时,先用木制针阀堵住锥形短管 3,再将体积为 220cm3的被测液体注入贮液罐 1
内,将水箱 2中的水加热,以便使贮液罐 1内的被测液体保持一定的温度 (一般,水和酒精等液体要求保持在 20℃,润滑油
50℃,燃料油 80℃ ),而后迅速拔起针阀,使被测液体从锥形短管 3内流入长颈瓶 4中,流出至 200cm3时为止,记下所需要的时间 τ,然后用同样方法测定 200cm3蒸馏水在 20℃ 下经锥形短管流出所需要的时间 τ0(此时间约为 51秒 )。
第五节 流体的粘性及牛顿内摩擦定律于是,被测液体在规定温度下的恩格勒粘度 (简称恩氏粘度 )为
(1-22)
求得恩氏粘度后,可由下面的半经验公式求出被测液体的运动粘度
m2/s (1-23)
图 1-6 恩格勒粘度计
02.0
0
E
410)0 6 3 1.00 7 3 1.0(
EE?
第五节 流体的粘性及牛顿内摩擦定律四,粘性流体和理想流体
1,粘性流体,自然界中的各种流体都是具有粘性的,统称为粘性流体或称实际流体 。 由于粘性的存在,实际流体的运动一般都很复杂,这给研究流体的运动规律带来很多困难 。 为了使问题简化,便于进行分析和研究,在流体力学中常引入理想流体的概念 。
2,理想流体,理想流体是一种假想的,完全没有粘性的流体 。 实际上这种流体是不存在的 。 根据理想流体的定义可知,
当理想流体运动时,不论流层间有无相对运动,其内部都不会产生内摩擦力,流层间也没有热量传输 。 这就给研究流体的运动规律等带来很大的方便 。 因此,在研究实际流体的运动第五节 流体的粘性及牛顿内摩擦定律规律时,常先将其作为理想流体来处理,找出流体流动的基本规律后,再对粘性的影响进行试验观测和分析,用以对由理想流体所得到的流动规律加以修正和补充 。 从而得到实际流体的流动规律 。 另外,在很多实际问题中流体的粘性作用并不占主导地位,甚至在某些场合实际流体的粘性作用表现不出来 (如
du/dy=0),这时可将实际流体当作理想流体来处理 。
应该指出,这里所说的 理想流体和热力学中的理想气体的概念完全是两回事 。 理想气体是指服从于理想气体状态方程的气体,而理想流体是指没有粘性的流体 。 为了区别起见,在流体力学中,常将服从于理想气体状态方程的气体定义为 完全气体 。
第五节 流体的粘性及牛顿内摩擦定律五,牛顿流体和非牛顿流体
1,牛顿流体,运动流体的内摩擦切应力与速度梯度间的关系符合于牛顿内摩擦定律的流体,称为牛顿流体,即所有的气体以及如水,甘油等这样一些液体都是牛顿流体 。
2,非牛顿流体,实验表明,象胶液,泥浆,纸浆,油漆,
低温下的原油等,它们的 内摩擦切应力与速度梯度间的关系不符合于牛顿内摩擦定律,这样的流体称为 非牛顿流体 。 非牛顿流体可分为几种不同类型 。 如 塑性流体,假塑性流体,胀塑性流体,屈服假塑性流体 和 时间相关性粘性流体 等 。
y
u
d
d
第五节 流体的粘性及牛顿内摩擦定律图 1-7 非牛顿流体流变特性
1-牛顿流体； 2-塑性流体 ;3-假塑性流体； 4-胀塑性流体第六节 液体的表面性质内 容 提 要
一,表面张力
二,毛细现象第六节 液体的表面性质一,表面张力在日常生活中经常看到清晨的露珠或雨天的水滴挂在树叶或草叶上,水银在平滑的表面上成球形滚动等,这些现象表明液体自由表面有明显的欲成球形的收缩趋势,引起这种收缩趋势的力称为液体的 表面张力 。
表面张力是由分子的内聚力引起的,其作用结果使液体表面看起来象是一张均匀受力的弹性膜 。 不难想象,处于自由表面附近的液体分子所受到周围液体和气体分子的作用力是不相平衡的,气体分子对它的作用力远小于相应距离另一侧液体分子的作用力 。 因此,这部分分子所受到的合力是将它们拉向液体内部 。 受这种作用力最大的是处于液体自由表面上的分子,
第六节 液体的表面性质随着同自由表面距离的增加,所受到的作用力将逐渐减小 。 直到一定距离以后,液体周围所施加的力彼此抵消 。
若假想在液体自由表面上任取一条线将其分开,则表面张力的作用将使两边彼此吸引,作用方向将与该线相垂直 。 可见,
表面张力实际是一种拉力 。 我们 将单位长度上所受到的这种拉力定义为表面张力系数,用 σ表示,它的单位是 N/m。
表面张力的数值是很小的,在一般计算中可以不予考虑 。
只有当液体自由表面的边界尺寸非常小,如很细的玻璃管,很狭小的缝隙等时,表面张力的影响才明显,不可忽略不计 。
表面张力随温度变化而变化 。 当温度升高时,表面张力减小 。 表面张力也因液体自由表面所接触的气体不同而有差异 。
第六节 液体的表面性质表面张力所引起的 附加法向压力 可由 拉普拉斯公式 求得
(1-28)
式中 σ ——表面张力系数 (N/m)
R1,R2— 液体曲面在互相垂直的二平面上的曲率半径 (m)。
对于球形液滴,R1=R2=R,液滴内外的压力差为
(1-29)
式中 R— 球形液滴的半径 (m)。
)11(
21 RR
p
Rp
2
第六节 液体的表面性质二,毛细现象若把直径很小两端开口的细管插入液体中时,表面张力的作用将使管内液体出现升高或下降的现象,我们称之为,毛细现象,。 这种足以形成毛细现象的细管称为,毛细管,。
产生毛细现象的根本原因是 液体表面张力的作用以及液体对固体壁面的润湿性能 。 如图 1-8,当把细管插入液体中时,
若液体分子间的内聚力小于它同固体管壁间的附着力,液体将能附着,润湿该固体壁面,并沿固体管壁向外伸展,产生向上弯曲的液面 。 另外,由于表面张力的存在,将产生一向上的附加压力,而使液体沿固体管壁上升到一定的高度 (如图 1-8a)；
若液体的内聚力大于液体与固体管壁间的附着力,液体将不能第六节 液体的表面性质图 1-8 液体在毛细管内上升和下降
(a)润湿管壁的液体的液面上升；
(b)不润湿管壁的液体的液面下降第六节 液体的表面性质附着,润湿固体壁面,而沿管壁向内回缩产生向下弯曲的液面 。
另外,表面张力将产生向下的附加压力,而使液体沿固体管壁下降到一定高度 (如图 1-8b)。
毛细管中液体上升或下降的高度可由图 1-8求得 。 沿液面与管壁的 接触角 为 θ,管径为 d,液体密度为 ρ,表面张力系数为 σ,由液柱重量与表面张力垂直分量相平衡,即可得
(1-30)
式中的 θ 角取决于液,气的种类,管壁材料等因素 。 通常,对于水和洁净的玻璃 θ=0°,水银和洁净的玻璃 θ=139° 。
dg
h
ghdd


c o s4
4
1
c o s
2
第六节 液体的表面性质工程中常用的测压管,毛细现象往往造成较大的误差,一般情况下测压管的管径应大于 10mm。 另外在研究液滴的破碎,
气泡的形成等问题时,也必须要考虑表面张力的作用 。
本 章 小 结一、基本概念二、基本定律和基本方程三、重要的性质和结论

流体力学与流体机械
(二 )
多媒体教学课件李文科 制作第二章 流体静力学
概 述 流体静力学研究的内容
第一节 作用在流体上的力
第二节 流体的静压力及其特性
第三节 流体平衡微分方程和等压面
第四节 流体静力学基本方程
第五节 绝对压力、相对压力和真空度第二章 流体静力学
第六节 浮力作用下气体静力学基本方程
第七节 液柱式测压计原理
第八节 液体的相对平衡
第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心
第十节 静止液体作用在曲面上的总压力第二章 流体静力学流体静力学是研究静止状态下的流体在外力作用下的平衡规律,以及这些规律的实际应用 。
宇宙万物都处在不停的运动之中,真正静止的物体是不存在的 。 但是,从工程应用的角度来看,在多数情形下,忽略地球自转和公转的影响,而把地球选作 惯性参照系,对于研究问题的结果还是足够精确的 。 当物体相对于惯性参照系没有运动时,我们便说该物体处于 静止状态或平衡状态 。 如果我们选择本身具有加速度的物体作为参照系,即 非惯性参照系,当物体相对于非惯性参照系没有运动时,便说它处于 相对静止或相对平衡状态 。 对于研究流体宏观机械运动的流体力学来说,
也是如此 。
第二章 流体静力学既然处于静止或相对静止状态的流体对参照系没有运动,
则实际流体的粘性作用表现不出来,切应力 τ=0。 所以 本章所讨论的流体平衡规律,不论是对理想流体,还是对实际流体都是适用的 。
第一节 作用在流体上的力内 容 提 要
一,表面力及其表示方法
二,质量力及其表示方法作用在流体上的力可分为两大类,表面力 和 质量力 。
一,表面力及其表示方法表面力是指作用在所研究的流体的表面上,并且与流体的表面积成正比的力 。 也就是该流体体积周围的流体或固体通过接触面作用在其上的力 。 表面力不仅是指作用在流体外表面上的力,也包括作用在流体内部任一表面上的力 。
表面力一般可 分解成两个分力,即与流体表面垂直的法向力 P和与流体表面 相切的切向力 T。 在连续介质中,表面力不是一个集中的力,而是沿着表面连续分布的 。 因此,在流体力学中,常用单位表面积上所作用的表面力 — 法向应力 和 切向应力 来表示,其 单位为 N/m2。
第一节 作用在流体上的力第一节 作用在流体上的力由粘性所产生的 内摩擦力 和流体受到的固体壁面的摩擦力,
以及固体壁面对流体的压力等都 是表面力 。
如图 2-1所示,在流体中任取一体积为 V,表面积为 A的流体作为研究对象,所取的这部分流体以外的流体或固体通过接触面必定对该部分流体产生作用力 。 在分离体表面的 a点取一微元面积 ΔA,作用在 ΔA上的表面力为 ΔF,将 ΔF分解为沿法线方向 n的法向力 ΔP和沿切线方向 τ的切向力 ΔT,当 ΔA缩小趋近于点 a时,便得到作用在 a点的法向应力 p和切向应力 τ,即
(2-1)
(2-2)
A
T
A
T
A
P
A
P
p
d
d
lim
d
d
lim
0ΔA
0ΔA
第一节 作用在流体上的力流体的压力 p就是指作用在单位面积上的法向应力的大小 。
图 2-1 作用在流体上的表面力第一节 作用在流体上的力二,质量力及其表示方法质量力 是指作用在流体的所有质点上,并且和流体的质量成正比的力 。 它可以从远距离作用于流体内每一个流体质点上 。 对于均匀流体,质量力又与流体的体积成正比,因此,质量力又称为 体积力 。 例如,在重力场中由地球对流体全部质点的引力作用所产生的 重力 ；带电流体所受的 静电力,以及有电流通过的流体所受的 电磁力 等都是质量力 。 当我们应用达朗伯原理去研究流体的加速运动时,虚加在流体质点上的 惯性力 也属于质量力 。 惯性力的大小等于质量乘以加速度,其方向与加速度的方向相反 。
第一节 作用在流体上的力质量力的大小常以作用在单位质量流体上的质量力,即单位质量力来度量 。 单位质量力通常用 来表示 。
在直角坐标系中,设质量为 m的流体所受的质量力为 F,它在各坐标轴上的投影分别为 Fx,Fy,Fz,则单位质量力 f在各坐标轴上的分量分别为
(2-3)
则 (2-4)
单位质量力及其在各坐标轴上的分量的单位是 N/kg或 m/s2，
与加速度的单位相同 。 如在重力场中,对应于 单位质量力的重力数值就等于重力加速度 g,其单位为 m/s2。
m
Ff
m
Ff
m
Ff z
z
y
y
x
x,，
kfjfiff zyx
f?
第二节 流体的静压力及其特性内 容 提 要
1,流体静压力的概念
2,流体静压力的基本特性第二节 流体的静压力及其特性在流体内部或流体与固体壁面间所存在的单位面积上的法向作用力称为流体的压力 。 当流体处于静止或相对静止状态时,流体的压力就称为 流体的静压力 。
流体的静压力具有两个基本特性：
特性一,流体静压力的方向与作用面相垂直,并指向作用面的内法线方向 。
特性二,静止流体中任一点流体静压力的数值与作用面在空间的方位无关,只是该点坐标的函数 。 也就是说,在静止流体中任一点处各方向的流体静压力均相等 。
下面就来证明这两个特性,根据流体的特性可知,流体不能够承受拉力 (表面层的表面张力除外 ),在微小的剪切力作用第二节 流体的静压力及其特性下也会发生变形,变形必将引起流体质点的相对运动,这就破坏了流体的平衡 。 因此,在平衡条件下的流体不能承受拉力和切力,只能承受压力,而压力就是沿内法线方向垂直作用于作用面上 。 这就证明了流体静压力的第一个特性 。 如图 2-2所示,
静止流体对容器的静压力恒垂直于器壁 。
为了证明第二个特性,在静止流体中取出直角边长各为
dx,dy,dz的微元四面体 ABCD,如图 2－ 3所示 。 假设作用在
△ ACD,△ ABD,△ ABC和 △ BCD四个平面上的平均流体静压力分别为 px,py,pz和 pn,pn与 x,y,z轴的夹角 (亦即斜面
△ BCD的法线 n与 x,y,z轴的夹角 )分别为 α,β,γ。 由于静止流体不存在拉力和切力,因此作用在静止流体上的表面力第二节 流体的静压力及其特性图 2-2 静压力恒垂直于器壁图 2-3 微元四面体受力分析第二节 流体的静压力及其特性只有压力 。 作用在各面上流体的总压力分别为
(dAn为 △ BCD的面积 )
除了表面力外,还有作用在微元四面体流体微团上的质量力,该质量力分布在流体微团的全部质点中,设流体微团的平均密度为 ρ,而微元四面体的体积为 dV=dxdydz/6,则
nnn
zz
yy
xx
ApP
yxpP
xzpP
zypP
d
dd
2
1
dd
2
1
dd
2
1




第二节 流体的静压力及其特性微元四面体内流体质量为 dm=ρdxdydz/6。 假设作用在流体上的单位质量力 f在各坐标轴上的分量分别为 fx,fy,fz,则作用在微元四面体上的总质量力 W在各坐标轴上的分量分别为由于流体的微元四面体处于平衡状态,故作用在其上的一切力在各坐标轴上投影的总和等于零 。 对于直角坐标系,则有
zz
yy
xx
fzyxW
fzyxW
fzyxW
ddd
6
1
ddd
6
1
ddd
6
1
第二节 流体的静压力及其特性
ΣFx=0,ΣFy=0,ΣFz=0
在 x轴方向上力的平衡方程为把 Px,Pn和 Wx的各式代入得由于 dAncosα=dydz/2,代入上式并简化得当微元四面体以 A点为极限时,dx,dy,dz都趋近于零,则上式成为
0ddd61c o sddd21 xnnx fzyxApzyp
0d31 xfpp xnx?
0co s xnx WPP?
第二节 流体的静压力及其特性同理可证所以 (2-5)
由于 n的方向是完全可以任意选取的,则式 (2-5)表明：从各个方向作用于一点的流体静压力大小是相等的 。 也就是说,
作用在一点的流体静压力的大小与该点处的作用面在空间的方位无关 。 从而证明了流体静压力的第二个特性 。
虽然流体中同一点的各方向的静压力相等,但空间不同点的静压力则可以是不同的 。 因流体是连续介质,所以流体静压力应是空间点的坐标的连续函数 。 即
p=p(x,y,z)
nzyx
nzny
nx
pppp
pppp
pp


，
第三节 流体平衡微分方程和等压面内 容 提 要
一,流体平衡微分方程
二,有势质量力及力的势函数
三,等压面及其特性第三节 流体平衡微分方程和等压面一,流体平衡微分方程静止流体在外力作用下,其内部形成一定的压力分布,
为了弄清外力作用下静止流体内的压力分布规律,并用来解决工程实际问题,首先需要建立流体平衡微分方程式 。
如图 2-4所示,从静止流体中取出一边长分别为 dx,dy、
dz的微元平行六面体,其中心点为 a,坐标为 (x,y,z),该点的流体静压力为 p=p(x,y,z)。
作用在平衡六面体上的力有表面力和质量力 。 由于流体处于平衡状态,所以没有切应力,故表面力只有沿内法线方向作用在六面体六个面上的静压力 。
过 a点作平行于 x轴的直线交左右两平面的中心 b,c两点 。
第三节 流体平衡微分方程和等压面图 2-4 平衡微元平行六面体及 x方向的受力第三节 流体平衡微分方程和等压面由于静压力是点的坐标的连续函数,所以在 b,c两点上的静压力按泰勒级数展开后,并略去二阶以上的无穷小量,分别等于 和 。 由于六面体的面积都是微元面积,
故可把这些压力视为作用在这些面上的平均压力 。 此外,设微元六面体流体的平均密度为 ρ,流体的单位质量力为,它在各坐标轴上的分量分别为 fx,fy,fz。 则微元六面体的质量力沿
x轴的分力为 fxρdxdydz。 由于微元六面体处于平衡状态,则有
ΣFx=0,ΣFy=0,ΣFz=0。 在 x轴方向 上或
2
d
2
d x
x
ppx
x
pp


0dddddd
0ddddd)
2
d
(dd)
2
d
(


zyx
x
p
zyxf
zyxfzy
x
x
p
pzy
x
x
p
p
x
x
f?
第三节 流体平衡微分方程和等压面如果用微元体的质量 ρdxdydz去除上式,则得到单位质量流体在 x方向上的平衡方程同理可得
(2-6)
写成向量形式
(2-6a)
这就是 流体平衡微分方程式 。 它是欧拉在 1755年首先提出的,
所以又称为 欧拉平衡微分方程式 。
0dg r a
1
0
1
0
1
0
1

pf
z
p
f
y
p
f
x
p
f
z
y
x
第三节 流体平衡微分方程和等压面欧拉平衡微分方程的物理意义为,当流体平衡时,作用在单位质量流体上的质量力与压力的合力相互平衡,它们沿三个坐标轴的投影之和分别等于零 。 欧拉平衡微分方程是流体静力学最基本的方程,它可解决流体静力学中许多基本问题 。
在 圆柱坐标系下 流体的平衡微分方程式的形式为
(2-7)
0
1
0
1
0
1
z
p
f
r
p
f
r
p
f
z
r

第三节 流体平衡微分方程和等压面上式中 fr,fθ,fz分别为单位质量力在径向 r,切向 θ和轴向 z上的分量 。
在推导欧拉平衡微分方程的过程中,对质量力的性质及方向并未作具体规定,因而本方程 既适用于静止流体,也适用于相对静止的流体 。 同时,在推导中对整个空间的流体密度是否变化或如何变化也未加限制,所以它 不但适用于不可压缩流体,
而且也适用于可压缩流体 。 另外,流体是处在平衡或相对平衡状态,各流层间没有相对运动,所以它 既适用于理想流体,也适用于粘性流体 。
为了便于积分和工程应用,流体平衡微分方程式可以改写为另一种形式,即 全微分形式 。
第三节 流体平衡微分方程和等压面现将式 (2-6)中各分式分别乘以 dx,dy,dz,然后相加得因为压力 p是坐标的连续函数,故 p的全微分为于是,流体平衡微分方程式 (2-6)又可表示为
(2-8)
这就是直角坐标系下流体平衡微分方程的全微分形式 。
同样,对于圆柱坐标系下流体平衡微分方程式的全微分式为
(2-9)
0)ddd(1)ddd( zzpyypxxpzfyfxf zyx?
zzpyypxxpp dddd
)ddd(d zfyfxfp zyx
)ddd(d zfrfrfp zr
第三节 流体平衡微分方程和等压面二,有势质量力及力的势函数根据场论的知识,有势质量力及力的势函数有如下定义：
设有一质量力场,若存在一单值函数 U(x,y，
z),满足,则称该质量力场为有势力场,力 称为有势质量力,函数 U(x,y,z)称为该力场的 势函数 。
由流体平衡微分方程式 (2-6a)可以看出,如果流体为不可压缩流体,其密度 ρ=常数,则存在一单值函数 U(x,y,z),满足所以,根据有势质量力的定义,可以得出这样的 结论：,凡满足不可压缩流体平衡微分方程的质量力必然是有势力 。,
fpU
g r a d1g r a d?
)( zyxf,，?
Uf grad f?
第三节 流体平衡微分方程和等压面或者说：,不可压缩流体只有在有势质量力的作用下才能够处于平衡状态 。,
上式中 U=U(x,y,z)为力的势函数,质量力 为有势质量力 。 由于因此可得
(2-10)
上述向量式的两边同时点乘以,得
(2-11)
z
U
f
y
U
f
x
U
f
fkfjfifk
z
U
j
y
U
i
x
U
U
zyx
zyx

，，

g r a d
kzjyixs dddd
sfzfyfxf
z
z
U
y
y
U
x
x
U
U
zyx

dddd
dddd

f?
第三节 流体平衡微分方程和等压面上式表明,力的势函数的全微分 dU为单位质量力 在空间移动 距离所做的功 。 可见,有势质量力所做的功与路径无关 。
比较式 (2-8)和式 (2-11)
dp=ρdU 或 p=ρU+C (2-12)
上式即为不可压缩流体内部静压力 p与力的势函数 U之间的关系式,积分常数 C可由边界条件确定 。
f?
s?d
第三节 流体平衡微分方程和等压面三,等压面及其特性静止流体中压力相等的各点所组成的面称为 等压面 。 例如液体与气体交界的自由表面就是最明显的等压面,其上各点的压力都等于液面上气体的压力 。 既然在等压面上各点的压力都相等,则 可用 p(x,y,z)=C来表示 。 在不同的等压面上其常数
C的值是不同的,而且流体中任意一点只能有一个等压面通过 。
所以流体中可以作一系列的等压面 。 在等压面上 dp=0,代入
(2-8)式,可得到 等压面微分方程为
(2-13)
0ddd zfyfxf zyx
第三节 流体平衡微分方程和等压面等压面具有以下三个重要特性：
(1)不可压缩流体中,等压面与等势面重合 。
所谓等势面就是力的势函数 U(x,y,z)=C的面 。 由式 (2-
12)可以看出,对于不可压缩流体,等压面也就是等势面 。
(2)在平衡流体中,作用于任一点的质量力必定垂直于通过该点的等压面 。
在等压面上某点任取一微元弧段,作用在该点上的质量力为 ( 如图 2-5),由 等 压 面 微 分 方 程 式 (2-13) 可知,,因此 与 必定垂直,这就说明,作用在平衡流体中任一点的质量力必定垂直于通过该点的等压面 。 由等压面的这一特性,我们就可以根据作用在流体质点上的质量
0d sf
f?
s?d
s?df?
第三节 流体平衡微分方程和等压面力的方向来确定等压面的形状 。 或者由等压面的形状去确定质量力的方向 。 例如,
对于只有重力作用的静止流体,因重力的方向总是垂直向下的,所以其等压面必定是水平面 。
(3)两种互不相混的流 图 2-5 质量力与等压面的关系体处于平衡状态时,其分界面必定为等压面 。 如处于平衡状态下的油水分界面,气水分界面等都是等压面 。
第四节 流体静力学基本方程内 容 提 要
1,重力流体的概念
2,流体静力学基本方程的形式
3,流体静力学基本方程的物理意义
4,流体静力学基本方程的使用条件
5,基准面的选取和等压面的确定第四节 流体静力学基本方程欧拉平衡微分方程式是流体静力学的最一般的方程组,它代表流体静力学的普遍规律,它在任何质量力的作用下都是适用的 。 但在自然界和工程实际中,经常遇到的是作用在流体上的质量力只有重力的情况 。 作用在流体上的质量力只有重力的流体简称为 重力流体 。 现在我们就来研究质量力只有重力的静止流体中的压力分布规律 。
如图 2-6所示,坐标系的 x轴和 y轴为水平方向,z轴垂直向上 。 因为质量力只有重力,故单位质量力在各坐标轴上的分量为此处 g为重力加速度,它代表单位质量流体所受的重力 。
gfff zyx 00,，
第四节 流体静力学基本方程图 2-6 重力作用下的静止流体第四节 流体静力学基本方程因为重力加速度的方向垂直向下,与 z轴方向相反,故式中加一,—” 号 。 将上述质量力各分量代入压力微分方程式 (2-8)得或写成对于不可压缩流体,γ =常数 。
(2-14)
或 (2-14a)
式中 C为积分常数,可由边界条件确定 。
这就是 重力作用下的流体平衡方程,通常称为 流体静力学基本方程 。 它适用于平衡状态下的不可压缩均质重力流体 。
0d
d
dd


z
p
zgp
Czp
Cz
p


第四节 流体静力学基本方程对于在 静止流体中任取的 1和 2两点,它们的垂直坐标分别为 z1和 z2,静压力分别为 p1和 p2(见图 2-6)。 则式 (2-14)可以写成
(2-15)
流体静力学基本方程的物理意义,即 力学意义,能量意义和 几何意义,
力学意义,式 (2-14a)中 γz为单位底面积,z高度的流体柱具有的重力,称为 位压 ； p为单位面积上流体所受的压力,称为 静压,即流体的静压力 。 它们的单位都是 牛顿 /米 2。 式 (2-
14a)表明,平衡状态下的不可压缩重力流体所受到的位压和静压彼此平衡 。
2
2
1
1 zpzp

第四节 流体静力学基本方程能量意义,式 (2-14)中的 z表示单位重量流体相对于某一基准面的位能,称为 比位能 。 从物理学得知,把质量为 m的物体从基准面提升一定高度 z后,该物体所具有的位能是 mgz，
则单位重量物体所具有的位能为,(mgz)/(mg)=z。
式 (2-14)中的 p/γ表示单位重量流体的压力能,称为 比压力能 。 因为压力为 p,体积为 V的流体所做的膨胀功为 pV,则单位重量物体所具有的压力能为,pV/G=p/γ。
比位能 z和比压力能 p/γ的单位都是 焦耳 /牛顿 。
关于比压力能的概念,可参照图 2-7作进一步解释：将图中右侧玻璃管上端封闭,并抽成真空 (p'0=0)。 然后与大容器相连,在开孔处液体静压力 p的作用下,液体进入测压管克服第四节 流体静力学基本方程重力作功,在管中上升一定的高度 hp,从而增加了液柱的位能 。
所以称为 p/γ为单位重量流体的压力能 (比压力能 ),它的大小恰好等于液柱上升的高度 hp,即 hp=p/γ。
比位能与比压力能之和
(p/γ+z)称为单位重量流体的 总势能 。 所以式 (2-14)表示在 重力作用下静止流体中各点的单位重量流体的总势能是相等的 。 这就是 静止流体中的能量守恒定律 。 图 2-7 闭口测压管中液柱上升高度第四节 流体静力学基本方程几何意义,式 (2-14)中的 z为流体质点距某一基准面的高度,
称为 位置高度,或称为 几何压头 或 位压头 ； 式 (2-14)中的 p/γ表示单位重量流体的压力能与一段液柱的高度相当,称之为 压力高度,或称为 压力压头 或 静压头 。 它们的单位都是 米 。 位压头与静压头之和 (p/γ+z)称为 测压管压头 。 因此式 (2-14)也表示 静止流体中各点的测压管压头都是相等的 。 如图 2-8所示,图中 AA线或 A'A'线称为测压管压头 线,它们都是水平线 。
第四节 流体静力学基本方程图 2-8 静止流体的测压管压头线第四节 流体静力学基本方程在工程 实际中,常常需要计算有自由液面的静止液体中任意一点的静压力 。 为此,可取自由液面为基准面,向下取液体深度 h为垂直坐标 (如图 2-6)。 由于深度 h的方向与 z轴的方向相反,所以 dh=-dz,于是
dp=-ρgdz=γdh
对于不可压缩流体,γ =常数 。
p=γh+C (2-16)
式中 C为积分常数,可由边界条件确定 。 因为当 h=0时,p=p0为自由液面上的气体压力,则 C=p0,代入上式得
(2-17)
hpp 0
第四节 流体静力学基本方程式 (2-17)为流体静力学基本方程的另一种形式,通常又称为 水静力学基本方程 。 由它得到以下四个 重要结论：
(1)在重力作用下的静止液体中,静压力 p随深度 h按线性规律变化 。 即随深度 h的增加,液体静压力 p值随之成正比地增大 。
(2)静止液体内任一点的静压力由两部分组成：一部分是自由液面上的 压力 p0；另一部分是底面积为 1,深度为 h,重度为 γ的一段液体柱的重量 γh。
(3)在静止液体中,位于同一深度 (h=常数 )的各点的静压力都相等 。 即静止液体内任一水平面都是等压面 。
(4)静止液体表面上所受到的压力 p0(即外部压力 ),能够第四节 流体静力学基本方程大小不变地传递到液体内部的每一点上去 。 此即帕斯卡定律 。
通过上述分析可知,流体静力学基本方程的 适用条件 是：
只受重力作用的不可压缩的静止流体 。
基准面的选取,基准面一般是选取一个与地球同心的椭球面 。 对于研究小范围内的工程问题时,可取水平面作为基准面 。 至于基准面的具体位置,原则上是可以任意选定的,视计算的方便而定 。
等压面的确定,对于静止的流体,主要是看等密度的同种流体 是否连通,如果该流体是连通的,则该流体内的任一水平面都是等压面 。 否则 (如某一流体被另一流体隔开 ),该流体内的水平面就不一定是等压面,要视具体情况确定 。
第四节 流体静力学基本方程对于相对静止的流体,除了作匀速直线运动和垂直等加速运动的流体可用上述方法确定等压面外,一般情况下是用解析方法由等压面方程来确定等压面 。
第五节 绝对压力、相对压力和真空度内 容 提 要
1,绝对压力的概念
2,相对压力的概念
3,正压、负压和零压的概念
4,真空度的概念第五节 绝对压力、相对压力和真空度对于流体压力的测量和标定有两种不同的基准：
第一种是以没有流体分子存在的完全真空时的绝对零压力
(p=0)为基准来度量流体的压力,称之为 绝对压力 。
另一种是以同一高度的当地大气压力为基准来度量流体的压力,称为 相对压力 。
或 (2-18)
式中 p— 流体的绝对压力 (Pa)
pa— 当地大气压力 (Pa)；
pm— 流体的相对压力 (Pa)。
amam pppppp
第五节 绝对压力、相对压力和真空度由于流体的 相对压力 pm可以由压力表直接测得,所以又称之为 表压力 。 若流体的绝对压力高于当地大气压力时,其相对压力为正值,我们称为 正压 ；若流体的绝对压力低于当地大气压力时,其相对压力为负值,我们称为 负压 。 这时流体处于真空状态 。 例如水泵和风机的吸入管中,锅炉炉膛以及烟囱底部等处的绝对压力都低于当地大气压力,这些地方的相对压力都是负值,即都是负压 。
所谓 真空度 是指流体的绝对压力小于当地大气压力所产生真空的程度 。 它不是流体的绝对压力,而是流体的绝对压力不足于当地大气压力的差值部分,亦即负的相对压力,也称为 真空压力,常用 pv表示 。 用数学式表示为第五节 绝对压力、相对压力和真空度
(2-19)
如 以液柱高的形式来表示真空压力,就称为 真空高度,即
(2-20)
例如,某设备内流体的绝对压力为 0.2atm,求其相应的真空度为多少?
真空度 (真空压力 ),pv=pa-p=1-0.2=0.8 atm
真空高度 (以水柱高表示 )：
hv=pv/γ=(0.8× 9.81× 104)/(9.81× 103)=8.0 mH2O
由此可见,若某点的绝对压力为零,则 pv=pa,称该点处于绝对真空,即 理论上的最大真空度 。

ppph aV
V

maV pppp
第五节 绝对压力、相对压力和真空度在工程上还常以真空压力与大气压力相比的百分数来表示真空的程度 。
为了正确的区别和理解绝对压力,相对压力和真空度及其相互间的关系,
可用图 2-9来表示 。
图 2-9 绝对压力,大气压力,相对压力及真空度的相互关系第六节 大气浮力作用下气体的静力学基本方程内 容 提 要
1,大气浮力作用下气体静力学基本方程的形式
2,大气浮力作用下气体静力学基本方程的使用条件
3,大气浮力作用下气体静力学基本方程的物理意义第六节 大气浮力作用下气体的静力学基本方程在工程实际中所使用的热工设备等,并不是置于真空之中,
而是放置在大气空间,处于大气的包围之中的,所以,这些设备内的流体都要受到大气的浮力作用 。 特别是热气体受大气浮力的影响会更大 。 因此,讨论大气浮力作用下气体的静力学规律更具有实际意义 。
图 2-10为一盛有某种气体的容器或设备 (如空调室,锅炉炉膛等 )置于大气空间中,设容器内气体的重度为 γg,容器外空气的重度为 γa,在容器内距基准面 z高度处,气体的绝对压力为 p,在容器外同一高度处大气的压力为 pa。 现在用式 (2-14a)
对容器内的气体和容器外的大气分别列出静力学基本方程,即第六节 大气浮力作用下气体的静力学基本方程图 2-10 大气浮力作用下的静止气体第六节 大气浮力作用下气体的静力学基本方程
(1)
(2)
由式 (1)减去式 (2),并注意到 p－ pa=pm为气体的相对压力,得
(2-21)
式 (2-21)就是 大气浮力作用下气体的静力学基本方程 。 该方程的 使用条件 与式 (2-14)相同 。
下面来说明式 (2-21)的 力学意义 和 能量意义,
力学意义,式 (2-21)中 (γg-γa)z为底面积为 1,高度为 z的气体柱的重力 γgz与其所受到的大气浮力 γaz之差,即气体柱的 有效重力,单位为 牛顿 /米 2。 pm 为容器内 z高度 处气体的
Czp agm )(
2
1
Czp
Czp
aa
g


第六节 大气浮力作用下气体的静力学基本方程相对压力,单位为牛顿 /米 2。 式 (2-21)表明,静止状态下的气体所受到的有效重力与其相对压力相平衡 。
由式 (2-21)可以看出,对于热的气体,γg＜ γa,γg-γa＜ 0，
因此,热气体的相对压力 pm 沿高度方向 是越往上越大,而越往下越小 。
能量意义,式 (2-21)中 (γg-γa)z为单位体积气体相对于基准面所具有的 相对位能,即有效重力相对于基准面所具有的做功的本领； pm 为单位体积气体所具有的 相对压力能,即流体的压力相对于大气所做的膨胀功 。 它们的单位是 焦耳 /米 3。
第六节 大气浮力作用下气体的静力学基本方程式 (2-21)表明,静止状态下单位体积气体所具有的相对总势能是守恒的 。
对于容器中的 1,2两点,式 (2-21)可以写成
(2-22)
2211 )()( zpzp agmagm
第七节 液柱式测压计原理内 容 提 要
一,测压管 (单管测压计 )
二,U型管测压计
三,U型管差压计
四,斜管微压计第七节 液柱式测压计原理流体静压力的测量仪表很多,根据测量原理不同,常用的测压计可分为 液柱式,机械式 和 电气式 三类 。 本节只介绍液柱式测压计的原理 。 液柱式测压计是以重力作用下的液体平衡方程为基础的,它是用液柱高度或液柱高度差来测量流体的静压力或压力差 。 液柱式测压计结构简单,使用方便,一般适用于测量低压 (1.5× 105Pa以下 ),真空压力和压力差 。
下面介绍几种常用的液柱式测压计及其测压原理 。
一,测压管 (单管测压计 )
测压管是一种最简单的液柱式测压计 。 为了减少毛细现象所造成的误差,通常采用一根内径大于 10mm的直玻璃管 。 测压时将测压管的下端与盛有液体的压力容器所要测量处的小孔第七节 液柱式测压计原理相连接,上端开口与大气相通,如图
2-11所示 。
在被测液体的压力作用下,若液体在玻璃管中上升的高度为 h,液体的重度为 γ,当地大气压力为 pa,则根据流体静力学基本方程式 (2-17)得容器中 A点的绝对压力为
A点处的相对压力为图 2-11 测压管
hpp a
hppp am
第七节 液柱式测压计原理于是,用测得的液柱高度 h,则可得到容器中某处的绝对压力和相对压力 。
应当注意,(1)由于各种液体重度不同,所以仅标明高度尺寸不能代表压力的大小,还必须同时 注明是何种液体的液柱高度 才行 。 (2)测压管只 适用于测量较小的压力,一般不超过
10kPa。 如果被测压力较高,则需要加长测压管的长度,使用就很不方便 。 (3)测压管中的工作介质就是被测容器 (或管道 )
中的流体,所以 测压管只能用于测量液体的正压,而对于测量液体的负压以及气体的压力则不适用 。 (4)在测量过程中,测压管一定要垂直放置,否则将会产生测量误差 。
第七节 液柱式测压计原理二,U型管测压计这种 测压计是一个装在刻度板上的两端开口的 U型玻璃管 。
测量时,管的一端与大气相通,另一端与被测容器相接 (如图
2-12),然后根据 U型管中液柱的高度差来计算被测容器中流体的压力 。 U型管内装有重度 γ2大于被测流体重度 γ1的液体工作介质,如水,酒精,四氯化碳和水银等 。 它是根据被测流体的性质,被测压力的大小和测量精度等来选择的 。 如果被测压力较小时 (如测量气体的压力时 ),可用水或酒精作为工作介质；
如果被测压力较大时 (如测量液体的压力 ),可用水银作为工作介质 。 但一定要 注意,工作介质与被测流体相互不能掺混 。
第七节 液柱式测压计原理
U型管测压计的测量范围比测压管大,但一般也不超过
0.3MPa。 U型管测压计可以用来测量容器中高于大气压的流体压力,也可以用来测量容器中低于大气压的流体压力,即也可作为真空计来测量容器中的真空度 。
下面分别介绍用 U型管测压计测量 p＞ pa和 p＜ pa两种情况的测压原理 。
(一 )当被 测容器中的流体压力高于大气压力,即 p＞ pa时,
如图 2-12(a)所示 。 U型管在没有接到测点 A以前,左右两管内的液面高度相等 。 U型管接到测点上后,在测点 A的压力作用下,左管液面下降,右管液面上升,直至达到平衡 。 这时,被测流体与管内工作介质的分界面 1-2为 一水平面 。 由于第七节 液柱式测压计原理图 2-12 U型管测压计第七节 液柱式测压计原理
U型管测压计是连通器,1-2断面以下都是工作液体,所以 1-2
断面为等压面 。 因此,U型管左右两管中点 1和点 2的静压力相等,即 p1=p2由式 (2-17),可得
p1=p+γ1h1 p2=pa+γ2h2
所以 p+γ1h１ =pa+γ2h2
则容器中 A点的绝对压力为
p=pa+γ2h2-γ1h1 (a)
A点的相对压力为
pm=p-pa=γ2h2-γ1h1 (b)
于是,可以根据测得的 h1和 h2以及已知的 γ1和 γ2计算出被测容器中流体某点处的绝对压力和相对压力 。
第七节 液柱式测压计原理
(二 )当被测容器中的流体压力小于大气压力,即 p＜ pa时,
如图 2-12(b)所示 。 在大气压力作用下,U型管右管内液面下降,
左管内液面上升,直到平衡为止 。 这时两管工作介质的液面高度差为 h2。 过右管工作介质的分界面作水平面 1-2,它是等压面,即 p1=p2。 由式 (2-17)可得
p1=p+γ1h1+γ2h2 p2=pa
所以有 p+γ1h1+γ2h2=pa
则容器中 A点的绝对压力为
p=pa-γ1h1-γ2h2 (c)
A点的真空度 (或负表压 )为
pv=pa-p=γ1h1+γ2h2 (d)
第七节 液柱式测压计原理如果 U型管测压计用来测量气体的压力,因为气体的度很小,式 (a)到式 (d)中的 γ1h1项可以忽略不计 。
如果被测流体的压力较高,用一个 U型管则较长,可以采用串联 U型管组成多 U型管测压计 。 通常采用双 U型管或三 U型管测压计 。
第七节 液柱式测压计原理三,U型管差压计
U型管差压计用来测量两个容器或同一容器 (或管道等 )流体中不同位置两点的压力差 。 测量时,把 U型管两端分别和不同的压力测点 A和 B相接,如图 2-14所示 。 U型管中应注入较两个容器内的流体重度为大且不相混淆的液体作为工作介质 (即 γ
＞ γA,γ＞ γB)。
若 pA＞ pB,则 U型管内液体沿右面管上升,平衡后,1-2断面为等压面,即 p1=p2。 由 静力学基本方程 (2-17)
p1=pA+γA(h1+h)
p2=pB+γBh2+γh
由于 p1=p2,因此第七节 液柱式测压计原理图 2-14 U型管差压计第七节 液柱式测压计原理
pA+γA(h1+h)=pB+γBh2+γh
则 pA-pB=γBh2+γh-γA(h1+h)
=(γ-γA)h+γBh2-γAh1
若两个容器内是同一流体,即 γA=γB=γ1,则上式可写成
pA-pB=(γ-γ1)h+γ1(h2-h1)
若两个容器内是同一气体,由于气体的重度很小,U型管内的气柱重量可以忽略不计,
pA-pB=γh
如果测量较小的液体压力差时,也可以采用倒置式 U型管差压计 。 如果被测量的流体的压力差较大,则 可采用双 U型管或多 U型管差压 计 。
第七节 液柱式测压计原理四,斜管微压计当测量很 微小的流体压力时,为了提高测量精度,常常采用斜管微压计 。 斜管微压计的结构如图 2-16所示 。 它是由一个大容器连接一个可以调整倾斜角度的细玻璃管组成,其中盛有重度为 γ的工作液体 (通常用密度为 ρ=800kg/m3的酒精作为工作液体 )。
在测压 前,斜管微压计的两端与大气相通,容器与斜管内的液面平齐 (如图中的 0-0断面 )。 当测量容器或管道中的某处压力时,将微压计上端的测压口与被测气体容器或管道的测点相接,若被测气体的压力 p＞ pa,则在该压力作用下,微压计容器中液面下降 h1的高度至 1-1位置,而倾斜玻璃管中的液面上第七节 液柱式测压计原理图 2-16 斜管微压计第七节 液柱式测压计原理升了 l长度,其上升高度 h2=lsinα。 这样,微压计中两液面的实际高度差为 h=h1+h2。 若设微压计中容器的横截面积为 A1,斜管中的横截面积为 A2,由于容器内液体下降的体积与斜管中液体上升的体积相等,则 h1=lA2/A1。 于是,根据流体静力学基本方程式 (2-17),得被测气体的绝对压力为
(a)
其相对压力为
(b)
上式 (a),(b)中 k=γ[(A2/A1)+sinα],称为 斜管微压计常数 。
lkpl
A
A
p
hhphpp


a
1
2
a
21aa
)s in(
)(


lkppp am
第七节 液柱式测压计原理当 A1,A2和 γ不变时,它仅是倾斜角 α的函数 。 改变 α的大小,可以得到不同的 k值,即可 使被测压力差得到不同的放大倍数 。 对于每一种斜管微压计,其常数 k值一般都有 0.2,0.3、
0.4,0.6和 0.8五个 数据以供选用 。
如果用斜管微压计测量两容器或管道上两点的压力差时,
可将压力较大的 p1与微压计测压口相接,压力较小的 p2与倾斜的玻璃管出口相连,则测得的压力差为除斜管微压计外,常用的微压计还有双杯双液微压计和补偿式微压计等 。
klhpp21
第八节 液体的相对平衡内 容 提 要
一,匀速直线运动液体的相对平衡
二,水平等加速运动液体的相对平衡
三,等角速度旋转液体的相对平衡第八节 液体的相对平衡一,匀速直线运动液体的相对平衡若盛有液体的容器作匀速直线运动,容器内的液体相对于地球是运动的,但液体相对容器却是静止的,液体质点之间也不存在相对运动 。 因此,作用在液体上的质量力只有重力而没有惯性力 。 此外,液体质点间也不存在粘性力 。 这样,只要把坐标系取在容器上,前面所讨论的关于重力作用下的静止流体的平衡规律及其特性将完全适用 。 即它们的等压面是水平面,
等压面方程为 z=C
液体内任一点的静压力可以由流体静力学基本方程式求得,即 p=p0+γh
第八节 液体的相对平衡二,水平等加速运动液体的相对平衡若盛有液体的容器在水平方向作等加速直线运动,那么,
容器内的液体相对于容器来说便处于相对平衡状态 。 但容器是等加速前进的,必然带动其中的液体等加速前进,即液体实际上是处于等加速运动中 。 假若我们把参考坐标系选在容器上,
则容器中的液体相对于该参照系便处于相对平衡状态 。 为了方便起见,我们将 x轴和 y轴放在容器中的液体自由表面上,坐标原点放在液体自由表面中心,x轴的方向与运动方向一致,z轴垂直向上,如图 2-17所示 。 当我们应用达朗伯原理来分析液体对该非惯性参照系 xyz的相对平衡时,作用在液体质点上的质量力除重力外,还要虚加一个大小等于液体质点的质量乘以加第八节 液体的相对平衡图 2-17 水平等加速运动容器中液体的相对平衡第八节 液体的相对平衡速度,方向与加速度方向相反的惯性力 。 设容器的加速度为 a，
则作用在单位质量液体上的质量力为将上述单位质量力的分量代入压力微分方程式 (2-8)得将上式积分,得
(2-23)
为确定积分常数 C,我们引进边界条件：当 x=0,z=0时,p=p0，
代入上式得 C=p0。
于是 (2-24)
上式就是 水平等加速直线运动容器中液体的静压力分布公式 。
它表明,压力 p不仅随坐标 z而变化,而且还随坐标 x而变化 。
gffaf zyx 0,，
)dd(d zgxap
Cgzaxp )(?
)(0 gzaxpp
第八节 液体的相对平衡下面进一步研究图 2-17所示情况的等压面方程 。
将单位质量力的分量代入等压面微分方程式 (2-13)
adx+gdz=0
积分上式,得 ax+gz=C (2-25)
这就是 等压面方程 。 显然,水平等加速直线运动容器中液体的等压面已不是水平面,而是一族平行的斜面 。 该倾斜的平面族与 x
α=tg-1(a/g) (2-26)
在自由液面上,因 x=0时,z=0,则等压面方程中的积分常数 C=0,因此 自由液面的方程式 为
axs+gzs=0 (2-27)
或 zs=-axs/g (2-27a)
第八节 液体的相对平衡式中 xs,zs为自由液面上任意一点的坐标 。
将式 (2-24)
p=p0-ρ(ax+gz)=p0+ρg(-ax/g-z)
将式 (2-27a)
p=p0+ρg(zs-z)=p0+γh (2-24a)
式中 h=zs-z,为某点距液体倾斜自由液面下的深度,简称 淹深 。
比较式 (2-24a)和式 (2-17)可以看出,水平等加速直线运动容器中液体的静压力在深度方向的分布规律与静止流体中的静压力分布规律是相同的,即液体内任一点的静压力均等于液面上的压力 p0加上液体的重度 γ与该点淹深 h的乘积 。
第八节 液体的相对平衡三,等角速度旋转液体的相对平衡
2-19所示,盛有密度为 ρ 的液体的圆筒形的容器绕其铅直中心轴 z以等角速度 ω旋转 。 开始时液体受离心惯性力的作用向外甩,原来静止时的水平自由液面中心处的液体下降,
而周围的液体沿器壁上升 。 当旋转达到稳定后,整个液体就像刚体一样随容器的转动而转动,自由液面成为稳定的凹形曲面 。
这时液体质点之间以及液体质点与器壁之间都没有相对运动,
液体相对容器处于相对平衡状态 。 根据达朗伯原理,作用在液体质点上的质量力除了重力以外,还要虚加一个 离心惯性力,
它的大小等于液体质点的质量乘以向心加速度,方向与向心加速度的方向相反 。 于是,在圆柱坐标系下,作用在单位第八节 液体的相对平衡图 2-19 等角速度旋转容器中液体的相对平衡第八节 液体的相对平衡质量流体上的质量力的各分量为式中 r为液体质点到旋转轴的距离 。
将单位质量力的各分量代入压力微分方程式 (2-9),得对上式积分得
(2-28)
根据边界条件,当 r=0,z=0时,p=p0,则积分常数Ｃ =p0,于是
(2-29)
这就是等角速度旋转容器中液体的静压力分布公式 。 上式表明在同一高度上,液体的静压力沿径向按半径的二次方增长 。
gffrf zθ2r 0,，?
)dd(d 2 zgrrp
Czgrp )2(
22?
)2()2(
22
0
22
0 zg
rpzgrpp
第八节 液体的相对平衡下面进一步求出旋转容器中液体的等压面方程 。
将单位质量力的各分量代入等压面微分方程式得积分得
(2-30)
式 (2-30)表明,等角速度旋转容器中液体的等压面是一族 绕 z轴的旋转抛物面 。 在自由表面上,当 r=0时,z=0,可得积分常数
C=0。 故自由 表面方程为
(2-31)
或
(2-31a)
0ddd zθr zfrfrf?
0dd2 zgrr?
Czgr2
22?
02 s
2
s
2
zgr?
g
rz
2
2
s
2
s

第八节 液体的相对平衡式中 rs,zs为自由表面上任一点的坐标 。
将式 (2-31a)代入式 (2-29),可得
(2-29a)
式中 h=zs-z,为液体中某点距自由表面的垂直距离,即距自由表面下的深度,简称 淹深 。
可以 看出,绕铅直轴等角速度旋转容器中液体的静压力分布公式 (2-29a)与静止液体中静压力分布公式 (2-17)完全相同,
即液体内任一点的静压力均等于液面上的压力 p0加上液体的重度与该点淹深的乘积 。
hpzzpp 0s0 )(
第八节 液体的相对平衡下面我们再来讨论两种特殊的情况：
(1)如图 2-20所示,在装满液体的圆筒形容器顶盖中心处开口,当这种容器绕其垂直中心轴作等角速度旋转时,液体虽然受离心惯性力的作用而向外甩,但由于受容器顶盖的限制,
液面并不能形成旋转抛物面 。 尽管如此,但根据边界条件,当
r=0,z=0时,p=pa,故容器中液体内各点的静压力分布仍为作用在顶盖上各点流体静压力仍按旋转抛物面分布,中心点 O
处的流体静压力为 p=pa,离开中心各点压力都大于 pa,顶盖边缘点 B处的流体静压力为最大,其值为 p=pa+γω2R2/2g,如图中箭头所示 。 角速度 ω 越大,则边缘处的流体静压力越大 。
)2(
22
zgrpp a
第八节 液体的相对平衡图 2-20 顶盖中心开口的容器第八节 液体的相对平衡
(2)如图 2-21所示,在装满液体的圆筒形容器的顶盖边缘处开口,当这种容器绕其垂直中心轴作等角速度旋转时,液体由于受离心惯性力的作用而向外甩,但在容器内部产生的真空又将液体吸住,以致液体跑不出去 。 根据边界条件,当 r=R，
z=0时,p=pa,得积分常数 C=pa-γω2R2/2g,故液体内各点的静压力分布规律为
(2-32)
可见,尽管液面没有形成旋转抛物面,但作用在容器顶盖上各点流体静压力仍按旋转抛物面的规律分布 。 顶盖边缘开口
B处为大气压力 pa,大气压力的等压面如图 ACB所示 。 旋转抛物面 ACB以上的流体静压力均小于大气压力,即有真空存在,
]2 )([
222
zg rRpp a
第八节 液体的相对平衡图 2-21 顶盖边缘开口的容器第八节 液体的相对平衡越靠近顶盖中心 O处,其真空度越大 。 O点处的真空度最大,
其真空度为 γω2R2/2g(即为 OC液柱高 )。 顶盖上各点的真空度如图中箭头所示,顶盖中心点 O处的流体静压力为或可见,角速度 ω 越大,则中心处的真空度越大 。 工程上所用的离心式泵和离心式风机都是应用流体静力学的这一规律制作的 。
当叶轮回转时,在中心处形成真空,将流体吸入,再借离心惯性力的作用甩向边缘,提高压力,而后输送出去 。
g
R
ppp
g
R
pp
am
a
2
2
22
22


第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心内 容 提 要
一,解析法
(一 ) 确定总压力的大小和方向
(二 ) 确定总压力的作用点 ——压力中心
二,图解法第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心在工程实际中,有时需要解决液体对固体壁面的总作用力问题 。 在已知流体的静压力分布规律后,求总压力的问题,实质上就是求受压面上分布力的合力问题 。 本节讨论作用在平面上的总压力及其压力中心 。
作用在平面上总压力的计算方法有两种,解析法 和 图解法 。
一,解析法
(一 )确定总压力的大小和方向设有一面积为 A的任意形状的平面 ab,与水平液面成 α的夹角,液面上的压力为 p0,如图 2-24所示 。 取平面 ab的延伸面与水平液面的交线为 ox轴,取 ab所在平面上与 ox轴垂直的 线为第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心图 2-24 作用在平面上的液体总压力第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心
oy轴 。 为了分析方便起见,我们将平面 ab绕 oy轴转动 90° (如图 2-24)。 图中 C点为 ab面的形心,D点为总压力的 作用点 。
由于流体静压力的方向指向作用面的内法线方向,所以,
作用在平面上各点的静压力的方向相同,其合力可按平行力系求和的原理来确定 。 设在受压平面上任取一 微元面积 dA,其中心点在液面下的深度为 h,作用在 dA中心点上的压力为
p=p0+γh,则作用在微元面积 dA上的总压力 为
dP=pdA=(p0+γh)dA=p0dA+γysinαdA
根据平行力系求和原理,作用在整个面积 A
P=∫Ａ pdA=∫Ａ p0dA+γsinα∫Ａ ydA
第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心
=p0A+γsinα∫Ａ ydA
式中 ∫Ａ ydA为面积 A对 ox轴的 静面矩,由理论力学知,它等于面积 A与其形心坐标 yc的乘积,即 ∫Ａ ydA=ycA。 如以 pc代表形心 C处液体的静压力,则上式可写成
P=p0A+γsinαycA=(p0+γhc)A=pcA (2-33)
上式表明,静止液体作用在任意形状平面上的总压力的 大小,
等于该平面形心处的静压力与平面面积的乘积 。
液体总压力的 方向 垂直指向受压面的内法线方向 。
第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心
(二 )确定总压力的作用点 ——压力中心总压力的作用点又称为压力中心 。 由于液体的静压力与液深成正比,越深的地方其静压力越大,所以压力中心 D在 y轴上的位置必然低于形心 C。
压力中心 D的位置,可根据理论力学中的 静力矩定理 求得,即 各分力对某一轴的静力矩之和等于其合力对同一轴的静力矩 。 现在,作用在每个微元面积 dA上的微小总压力 dP对
ox轴的静力矩之和 为
∫Ａ ydP=∫Ａ y(p0+γysinα)dA
=p0∫Ａ ydA+γsinα∫Ａ y2dA
第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心
=p0ycA+γsinαIx (a)
式中 Ix=∫Ａ y2dA为面积 A对 ox轴 的 惯性矩 。
总压力 P对 ox
PyD=(p0+γhc)AyD=(p0+γycsinα)AyD (b)
由于合力对某轴之矩等于各分力对同轴力矩之和,
(p0+γycsinα)AyD=p0ycA+γsinαIx (c)
根据惯性矩平行移轴定理,如果面积 A对通过它的形心 C并与 x轴平行的轴的惯性矩为 Ixc,则 Ix=Ixc+y2cA,代入 (c)式 后得
Ayp
AyIAypy
c
cxcc
D )s i n(
)(s i n
0
2
0



第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心即
(2-34)
当 p0=0时,上式简化为
(2-35)
或写成 (2-35a)
由于 Ixc/(ycA)恒为正值,故有 yD＞ yc。 说明 压力中心 D点总是低于形心 C。
Ay
I
yy
Ay
I
yy
c
cx
cD
c
cx
cD


Ayp
Iyy
c
xc
cD )s in(
s in
0


第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心如果平面 ab在 x方向不对称,则可用与上述同样的方法求得压力中心的 x坐标为
(3-36)
式中 Ixy=∫AxydA为面积 A对 x轴和 y轴的惯性积； Ixyc是对通过形心 C且平行于 x轴和 y轴的轴的惯性积 。 在工程实际中,受压面常是对称于 y轴的,则压力中心 D一定在平面的对称轴上,不必另外计算 xD。
Ay
I
x
Ay
I
x
c
cyx
c
c
yx
D
第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心二,图解法用图解法来计算静止液体作用在平面上的总压力,仅 适用于底边平行于水平面的矩形平面的情况 。 使用图解法,首先需要绘制静压力分布图,然后再根据它来计算总压力 。
静压力分布图 是依据水静力学基本 方程 p=p0+γh,直接在受压面上绘制表示各点静压力大小和方向的图形 。 现以图 2-25
中垂直壁面 AB左侧为例绘制静压力分布图 。 设横坐标为 p,纵坐标为 h,坐标原点与壁面的 A点重合 。 根据静压力与液深成线性变化的规律,先按比例定出 AB两 端点的静压力,并用线段表示在相应点上,用箭头表示静压力作用的方向,然后用第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心图 2-25 静压力分布图第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心直线连接线段的两端点 C,D,便绘出壁面 AB左侧的静压力分布图 (梯形 ABCD)。
现把静压力 分布图分成 p0和 γh作用的两部分 。 过 A点作
AE∥ CD,平行四边形 AEDC部分就是液面上静压力 p0作用的静压力分布图；三角形 ABE部分就是液柱高 h产生的静压力 γh
作用的静压力分布图 。 实际中,液面上的压力常为大气压,大气压不仅对 AB的左侧面有作用对 AB的右侧面也同样有作用,
而且两侧面的压力大小相等,方向相反,互相抵消,对受压面不产生力学效应 。 因此工程计算中,只考虑相对压力的作用,
不计及大气压的影响,即只考虑静压力分布图 ABE。
第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心图 2-26绘出了几种常见受压面的静压力分布图 。
图 2-26 不同受压面上的静压力分布图第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心现在用式 (2-33)对高为 H,宽为 b,底边平行于水平面的垂直矩形平面 AB(如图 2-25),计算其总压力,为由图 2-25看出,上式中 (2p0+γH)H/2 恰为静压力分布图 ABCD
的面积,我们用 S表示,则上式可写成
P=S·b (2-37)
由此可见,液体作用在底边平行于水平面的矩形平面上的总压力,等于静压力分布图的面积与矩形平面宽度的乘积 。
HbHp
HbHpHbhpApP cc
)2(
2
1
)
2
1
()(
0
00



第九节 静止液体作用在平面上的总压力及压力中心或者说,其总压力等于静压力分布图的体积 。
由于静压力分布图所表示的正是力的分布情况,而总压力则是平面上各微元面积上所受液体压力的合力 。 所以 总压力的作用线,必然通过静压力分布图的形心,其方向垂直指向受压面的内法线方向 。 而且压力中心位于矩形平面的对称轴上 。
如果静压力分布图为三角形,则压力中心位于距底边三分之一高度处 。
第十节 静止液体作用在曲面上的总压力内 容 提 要
1,静止液体作用在曲面上的总压力的水平分力
2,静止液体作用在曲面上的总压力的垂直分力
3,压力体的概念
4,实压力体与虚压力体
5,总压力作用点的确定第十节 静止液体作用在曲面上的总压力计算静止液体作用在曲面上的总压力,同样是求作用在每个微元面积上微小压力的合力问题 。 但是,组成整个曲面的各个微元面各自具有不同的方位,它们的法线方向既不平行,也不一定交于一点 。 因此,作用在各微元面积上的压力不是平行力系,而是空间力系 。 所以,不能用平行力系求和的原理或直接积分的方法来计算其总压力 。 一般是将作用在曲面上的总压力分解为水平方向和垂直方向的分力分别进行计算 。 本节以工程上常见的二维曲面为例,分析曲面上总压力的计算方法,
进而将结论推广到一般曲面 。
如图 2-28所示,设有一面积为 A的二维曲面,它在纸面上的投影为 AB,垂直于纸面的宽度为 b,液体在曲面左侧 。 设在第十节 静止液体作用在曲面上的总压力曲面 AB上,液深为 h处取一与底边平行的长条形微元面积 dA，
作用在 dA上 的微小总压力为
dP=(p0+γh)dA
dP垂直于 dA,并与水平面成夹角 α。 现将其分解为水平方向和垂直方向的两个分力 dPx和 dPz。 那么
dPx=dPcosα=(p0+γh)dAcosα
dPz=dPsinα=(p0+γh)dAsinα
由于 dAcosα和 dAsinα分别为微元面积 dA在垂直面上和水平面上的投影面积,分别以 dAx和 dAz表示,代入上式得
dPx=(P0+γh)dAx
dPz=(P0+γh)dAz
图 2-28 作用在二维曲面上的总压力第十节 静止液体作用在曲面上的总压力第十节 静止液体作用在曲面上的总压力将上两式分别积分,即得到总压力的水平分力和垂直分力为
Px=∫Ax(p0+γh)dAx=p0Ax+γ∫AxhdAx (2-38)
Pz=∫Az(p0+γh)dAz=p0Az+γ∫AzhdAz (2-39)
式 (2-38)中 ∫AxhdAx=hcAx为曲面 AB在垂直面上的投影面积 Ax对水平轴 y的静面矩 。 因此式 (2-38)可写成
Px=p０ Ax+γhcAx=(p０ +γhc)Ax=pcAx (2-40)
上式表明,静止液体作用在曲面上的总压力的 水平分力,等于该曲面在垂直于所求分力的垂直投影面上的总压力 。 因此,
可以运用上节所讨论的求解平面上的总压力及其作用点的方法来确定曲面上总压力的水平分力 。
第十节 静止液体作用在曲面上的总压力由 图 2-28可见,式 (2-39)中 ∫AzhdAz为受压曲面 AB与其在自由液面上的投影面 CD之间的柱体 ABCD的体积 。 由于该体积的大小决定于 Pz的值,所以又称此体积为 压力体,用 VP表示 。
因此式 (2-39)
Pz=p0Az+γVP (2-41)
上式表明,静止液体作用在曲面上的总压力的 垂直分力,等于自由液面上的压力作用在该曲面在水平面的投影面积上的总压力与压力体内液体的重量之和 。 总压力的垂直分力的作用线通过压力体的形心 (重心 )而指向受压面 。
总压力的垂直分力 Pz的方向取决于受压曲面与液体的相对位置以及曲面所受相对压力的正负,可能是向下的,也可能是第十节 静止液体作用在曲面上的总压力向上的,要根据具体情况加以判断 。 一般地,如果压力体与作用液体位于曲面的同一侧,Pz的方向向下,这种压力体称为 实压力体 ；如果压力体与作用液体分别位于曲面的两侧,则 Pz的方向向上,这种压力体称为 虚压力体 。
在求出液体对二维曲面的分力 Px和 Pz后,就不难求出液体对曲面的总压力 P。 即
(2-42)
总压力 P的作用线与水平线的夹角 α 为
α=tg-1(Pz/Px) (2-43)
P的作用线通过 Px和 Pz作用线的交点,但该交点不一定在曲面上 。 要 确定总压力 P在曲面上的作用点,可先作出 Px和 Pz
22 zx PPP
第十节 静止液体作用在曲面上的总压力的作用线,然后作出 P的作用线,这条作用线与曲面的交点即为总压力 P的作用点 。
以上是对二维曲面所受液体总压力的分析和计算,对于三维曲面所受液体总压力的计算,上述方法同样适用 。 只要再求出另一个水平 分力 Py即可 。 类似于 Px的计算,总压力 P在 y轴方向的水平分力为
Py=(p0+γhc)Ay=pcAy (2-44)
则三维曲面所受液体的总压力为
(2-45)
222
zyx PPPP
本 章 小 结一、基本概念二、基本定律和基本方程三、重要的性质和结论

流体力学与流体机械
(三 )
多媒体教学课件李文科 制作第三章 流体动力学基础
第一节 流体流动的起因
第二节 流场的特征及分类
第三节 迹线与流线
第四节 流管、流束、流量和平均流速
第五节 流体的连续性方程
第六节 理想流体的运动微分方程第三章 流体动力学基础
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用
第八节 沿流线非稳定流动的伯努利方程
第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化
第十节 动量方程和动量矩方程第一节 流体流动的起因内 容 提 要
1,浮力造成的自然流动
2,压差造成的强制流动第一节 流体流动的起因由不同的起因所造成的流体的流动过程具有不同的流动特征 。 造成流体流动的原因可分为两大方面：
一是由浮力造成的,二是由外力或压差造成的 。
根据流体流动的起因不同,可将流体的流动分为自然流动和强制流动 。
1.自然流动,在流体流动的体系内,因各部分流体的温度不同所导致的密度不同而产生的浮力作用所造成的流动,称自然流动 。 在某流体中,当流体的某一部分受热时,则会因温度的升高而使其密度减小,此时,将在周围温度较低,密度较大的流体所产生的浮力作用下产生上浮的流动；反之,则产生下降的流动 。
第一节 流体流动的起因流体的自然流动一般都是和热量的传递过程同时存在的,
流体流动的特征则直接和换热过程有关,流场的特征与换热的温度场相互制约而并存 。 因此,自然流动中的动量交换过程一般来说是较为复杂的 。
2.强制流动,在流动的体系内,流体在外力或压差的作用下所产生的流动称为强制流动 。 如在泵或风机所提供的压力以及在喷射器所提供的喷射力作用下的流体的流动都属于强制流动 。
对于流体流动的分类,除按流体流动的起因分类外,还有其它一些分类方法,如前已提到过的 不可压缩流体的流动和可压缩流体的流动；理想流体的流动和粘性流体的流动； 以及第一节 流体流动的起因以后我们将要学到的 稳定流动和非稳定流动；层流流动和紊流流动；有旋流动和无旋流动；亚音速流动和超音速流动 等 。
第二节 流场的特征及分类内 容 提 要
一,流场的概念
二,研究流体运动的方法
三,稳定流场和非稳定流场
四,一维流场、二维流场和三维流场
五,控制体的概念第二节 流场的特征及分类一,流场的概念流体是由无限多的连续分布的流体质点所组成,流体的运动一般都是在固体壁面所限制的空间内外进行的 。 例如,室内空气的流动,室外大气的绕流,管道中水,蒸气或煤气的流动等,都是在建筑物的墙壁,管道的管壁等固体壁面所限制的空间内外进行的 。 因此,流体在流动过程中将连续地占据这些空间 。 我们 把流体流动所占据的全部空间称为 流场 。 流体力学的主要任务就是研究流场中流体的运动规律 。
二,研究流体运动的方法流体力学中,研究流体运动的方法有两种,拉格朗日法和 欧拉法 。
第二节 流场的特征及分类
1,拉格朗日法拉格朗日法是将整个流体的运动看作是各个单一流体质点运动的总和 。 他首先着眼于描述单个质点在运动时的位置,
速度,压力及其它流动参量随时间的变化规律,然后把全部质点的运动情况综合起来,得到整个流体的运动 。 拉格朗日法实质上是 利用质点系动力学 来研究连续介质的运动 。
既然拉格朗日法首先描述单个质点沿其轨迹的运动,而流体又是由无数质点组成的,这就需要设法标明所描述的是哪个质点的运动 。 为此,选取在某一初始时刻 τ0各个质点的位置坐标 a,b,c来作为它们的标记 。 不同的质点在 τ0时必然占有各自不同的位置,因此,把 a,b,c作为 变数就能代表所有的第二节 流场的特征及分类流体质点 。 同时,每个流体质点在运动过程中的空间位置都是随时间 τ 在不断变化 。 所以,在直角坐标系中 流体质点的轨迹方程 可表示为
(3-1)
式中 a,b,c和 τ称为拉格朗日变数 。

)(
)(
)(
，，，
，，，
，，，
cbazz
cbayy
cbaxx
第二节 流场的特征及分类将式 (3-1)对时间求导,可得到某个 流体质点的速度为
(3-2)






)(
d
d
)(
d
d
)(
d
d
，，，
，，，
，，，
cbazzz
u
cbayyy
u
cbaxxx
u
z
y
x
第二节 流场的特征及分类同理可得到某个 流体质点的加速度为
(3-3)
流体质点的其它流动参量可以类似地表示为 a,b,c和 τ的函数 。 如 p=p(a,b,c,τ)
ρ=ρ(a,b,c,τ)
2
2
2
2
2
2
)(
)(
)(
，，，
，，，
，，，
cbazu
a
cbayu
a
cbaxu
a
z
z
y
y
x
x
第二节 流场的特征及分类
2,欧拉法欧拉法是以流体运动的空间作为观察对象,即着眼于整个流场的状态 。 研究某一时刻位于各不同空间点上流体质点的速度,压力,密度及其它流动参量的分布,然后把各个不同时刻的流体运动情况综合起来,从而得到整个流体的运动 。
实质上,欧拉法是研究表征流场内流体流动特征的各物理量的场 ——向量场和标量场 。 如速度场,压力场和密度场等 。
一般情况下,同一时刻不同空间点上流动参量是不同的,
因此,流动参量是空间点的坐标 (x,y,z)的函数,而在不同时刻同一空间点上流动参量也是不同的,因而,流动参量也是时间 τ 的函数 。 如第二节 流场的特征及分类
(3-4)
或
(3-4a)
(3-5)
(3-6)
式 (3-4)至式 (3-6)所 表示的函数式依次代表速度场,压力场和密度场 。 对于流体运动中的其它物理参量也可用同样的函数形式来表示 。
)(
)(
)(
)(
)(
)(

，，，
，，，
，，，
，，，
，，，
，，，
zyx
zyxpp
zyxuu
zyxuu
zyxuu
zyxuu
zz
yy
xx
第二节 流场的特征及分类在欧拉法中,通过流场中某点的流体质点的加速度可表示为：
(3-7)
或
(3-7a)
d
d
d
d
d
d
d
d z
z
uy
y
ux
x
uuua










d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
z
z
uy
y
ux
x
uuu
a
z
z
uy
y
ux
x
uuu
a
z
z
uy
y
ux
x
uuu
a
zzzzz
z
yyyyy
y
xxxxx
x
第二节 流场的特征及分类由于在流场中任一流体质点都沿着一定的轨迹运动,可见,
运动的流体质点所经过的空间点的坐标也是随时间变化的,即
x,y,z都是时间 τ
x=x(τ),y=y(τ),z=z(τ) (a)
式 (a)是流体质点的运动轨迹方程 。 将式 (a)对时间 τ求导即得到流体质点沿运动轨迹的三个速度分量为
(b)
将式 (b)代入式 (3-7)和式 (3-7a)得
(3-7b)
zyx u
zuyux
d
d
d
d
d
d,，
z
uu
y
uu
x
uuua
zyx?




第二节 流场的特征及分类
(3-7c)
由式 (3-7b)可知,用欧拉法求得的流体质点的加速度由两部分组成,第一部分是 由于某一空间点上的流体质点的速度随时间变化而产生的,称为 当地加速度 或 时变加速度,即式
(3-7b,c)中等式 右端的第一项； 第二部分是 由于某一瞬时流体质点的速度随空间点的变化而引起的,称为 迁移加速度 或
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
a
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
a
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
a
z
z
z
y
z
x
z
z
y
z
y
y
y
x
y
y
x
z
x
y
x
x
x
x
第二节 流场的特征及分类位变加速度,即式 (3-7b)中等式右端的后三项 。 当地加速度与迁移加速度之和称为 总加速度 。
为了加深对当地加速度与迁移加速度的理解,现举例说明这两个加速度的物理意义 。 如图 3-1所示,不可压缩流体流过一个中间有收缩形的变截面管道,截面 2比截面 1小,则截面 2
图 3-1 流体在变截面管道内的流动第二节 流场的特征及分类的速度就要比截面 1的速度大 。 所以当流体质点从 1点流到 2点时,由于截面的收缩引起速度的增加,从而产生了迁移加速度；
如果在某一段时间内流进管道的流体输入量有变化 (增加或减少 ),则管中每一点上流体质点的速度将相应发生变化 (增大或减少 ),从而产生了当 地加速度 。
在流体运动过程中,流体质点的其它流动参量的变化率也可写成与式 (3-7b)同样的形式,如
z
u
y
u
x
u
z
p
u
y
p
u
x
p
u
pp
zyx
zyx


d
d
d
d
第二节 流场的特征及分类在圆柱坐标系下,流体质点的加速度计算式为：
(3-8)
z
u
u
r
u
u
r
u
u
u
a
r
uu
z
u
u
r
u
u
r
u
u
u
a
r
u
z
u
u
r
u
u
r
u
u
u
a
z
z
zz
r
z
z
r
zr
r
z
rr
r
r
r





2
第二节 流场的特征及分类三,稳定流场和非稳定流场流体质点的流动参量是位置坐标 (x,y,z)和时间 τ 的函数,
一般情况下流体质点的流动参量是随位置坐标和时间而变化的 。
当流场中的流体在流动时,若流体质点的流动参量 (如速度 u和压力 p等 )不随时间 τ而变化,而只是位置坐标 (x,y,z)
的函数,这种流场被称为 稳定流场 。 稳定流场中流体的流动参量,如速度 u和压力 p等表达式可写成
0
0
),,(
),,(
p
u
zyxpp
zyxuu
或第二节 流场的特征及分类稳定流场内流体的流动称为 稳定流动 。 如 图 3-2(a)所示,
在容器的侧壁开一小孔,液体从小孔向外流出 。 如果设法使容器内的液面高度保持不变 (如连续往容器内注入一定量的液体 )，
那么所观察到的从小孔流出的流股轨迹 也是不变的 。 这说明孔口处的流速以及流股内各空间点上的流速都不随时间而变化,
这种情况下的流动即为稳定流动 。 但是,在流股内不同的位置上的流体质点的运动速度则是不同的 。 就是说,稳定流动时,
流场中各点的流动参量虽然与时间无关,但一般仍是空间坐标的函数 。
如果流场中的流体在流动时,流体质点的流动参量既随时间而变化又随坐标而变化,这种流场则称为 非稳定流场 。
第二节 流场的特征及分类
(a)稳定流 (b)
图 3-2 稳定流动和非稳定流动第二节 流场的特征及分类这时的流动参量是时间 τ和坐标 (x,y,z)的函数,如速度,压力的表达式可写为非稳定流场内流体的流动则称为 非稳定流动 。 如图 3-2(b)，
如果不往容器内补充液体,显然随着流体从小孔向外流 出,容器内液面不断下降 。 这时可观察到,随着时间的增长,从小孔流出的流股的轨迹从初始状态逐渐向下弯曲 。 这说明流股内部各点的流速等各流动参量不仅是坐标的函数,而且随时间在不断地变化 。 这种情况下的流动则为非稳定流动 。
0
0
),,,(
),,,(
p
u
zyxpp
zyxuu
或第二节 流场的特征及分类非稳定流动是比较多见的 。 但如果我们观察的时间比较长,
其流动参量的变化平均值趋于稳定；或者流体的流动参量随时间的变化非常缓慢,且在较短的时间内研究这种流动时,都可以近似地认为它们是稳定流动或作为稳定流动来处理 。 这样做,
方法比较简便,而且能满足工程上的实际需要 。
第二节 流场的特征及分类四,一维流场,二维流场和三维流场一般地,流体的流动都是在三维空间内进行,流体的流动参量多是三个坐标的函数,这种流场称为 三维流场 。 如自然环境中风或水的流动等都属三维流场内的流动 。 如果流场中流体的流动参量是两个坐标或是一个坐标的函数,则它们分别被称为 二维流场 和 一维流场 。 很显然,自变量的数目越少,问题就越简单,因此,在流体力学的研究和实际工程技术中,在可能的条件下应尽量将三维的流场简化为二维流场甚至一维流场予以解决或近似求解 。
例如图 3-3所示一变截面圆管内粘性流体的流动,流体质点的速度既是半径 r的函数,又是沿轴线距离 x的函数,即第二节 流场的特征及分类
u=f(r,x)
显然这种流场为二维流场,但在工程上常将其简化为一维流场来求解 。 其办法就是在每个截面上取速度的平均值,图 3-3中
u在相应截面上的平均值 。 于是有即速度场只是 x的函数,这就是一维流场的问题 。
图 3-3 管内流速分布图
u
)(xfu?
第二节 流场的特征及分类五,控制体的概念所谓 控制体,就是根据所研究问题的需要,在流场中划定的某一个确定的空间区域 。 这个区域的周界称为 控制面 。 控制体的形状是根据流体的流动情况和边界位置任意选定的,
但一旦选定之后,则不再随流体的流动及过程的进行而变化 。
同时,控制体的形状和位置相对于所选定的坐标系来说也是固定不变的 。 另外,控制 面可以是实际存在的表面,也可以是设想的表面 。 如图 3-4所示的 1234区域为所选的控制体,它相对于坐标系 xoy是固定的不变的,图中 1-3控制面和 2-4控制面是实际存在的表面,1-2控制面和 3-4控制 面为设想的表面 。
第二节 流场的特征及分类图 3-4 控制体和控制面第三节 迹线与流线内 容 提 要
一,迹线
二,流线
1,流线的概念
2,流线具有的两个特点
3,流线的性质
4,流线的微分方程第三节 迹线与流线为了使整个流场形象化,进而得到不同流场的运动特征,
需要研究同一流体质点在不同时间内或者同一瞬时众多流体质点间流动参量的关系,也就是质点参量的综合特性 。 前者称为迹线研究法,后者称为 流线研究法 。
一,迹线迹线 就是流体质点在一段时间内的运动轨迹线 。 如在水流中撒入细微的铝粉或镁粉,然后去跟踪某些铝粉或镁粉微粒
(每一铝粉或镁粉微粒可近似表示一个流体质点 ),就可观察到它们的运动轨迹,也就是流体质点的迹线 。 通过迹线可以看出流体质点是作直线运动,还是作曲线运动,以及它们的运动途径在流场中是如何变化的 。
第三节 迹线与流线一般情况下,只有以拉格朗日法表示流体质点的运动时才能作出迹线 。 迹线的特点是,对于每一个质点都有一个运动轨迹,所以迹线是一族曲线,而且迹线只随质点不同而异,
而与时间无关 。 研究流体质点的迹线是拉格朗日法的内容,为了适应欧拉法的特点,还必须引入流线的概念,它也能形象地描绘出流场内的流动形态 。
二,流线流线 是在同一瞬时流场中连续分布的不同位置的质点的流动方向线 。 或者说,流线 是某一瞬时的一条空间曲线,该曲线上每一流体质点的速度方向都与曲线在该点的切线方向相重合 。 亦即 流线上各质点的流速都与流线相切 。
第三节 迹线与流线如图 3-5(a)所示,设在某一瞬时 τ,流场内某一空间点 a处的流体质点速度为 ua,沿 ua方向无穷小距离 b处的流体质点在同一瞬时 τ的流速为 ub,沿 ub方向无穷小距离 c处的流体质点在同一瞬时 τ的流速为 uc,依次类推,在同一瞬时 τ的流场空间内,
有一条经过流体质点 a,b,c,d,e…… 的折线 abcde…… 。 如果把这条折线上相邻点间的距离无限缩短并趋于零,则该折线就成为一条光滑的曲线,如图 3-5(b),这条光滑的曲线就是 τ
瞬时流场中的一根流线 。 我们还可以用简单的实验来显示出流场中的流线形状 。 例如在水流中撒布闪光铝粉或镁粉,在摄影灯光照射下,用快速照相机在极短的曝光时间内拍摄水流的照片,即可得到流线图 。 在照片上可以看出,这第三节 迹线与流线
(a)折线 (b)
图 3-5 流线示意图些流线是由很多闪亮的短线汇聚组成的,这些短线是在短促的曝光时间内,由很多铝粉或镁粉颗粒各自划出的 。 可见流线是客观存在的,它直接显示出流场内的流动形态 。
第三节 迹线与流线流线具有以下两个特点：
(1)流线是在某一瞬时所得到的一条曲线,而不是在一段时间内跟踪流体质点运动所得到的曲线 。
(2)它不是某一流体质点在运动中的轨迹线,而是通过很多个位于不同坐标点上的流体质点的运动速度向量所描绘出的曲线 。
第三节 迹线与流线流线的性质：
(1)在稳定流场中,流线在空间的位置和形状都不随时间而变化 。 在非稳定流场中,流线在空间的位置和形状是随时间而变化的 。
(2)在稳定流场中,流线和迹线相重合 。 在非稳定流场中,流线和迹线不重合 。
(3)流线与流线之间不能相交,同时,流线也不可能有分支,即不可能有横过流线的流体流动 。
(4)流线不能发生突然折转 。
第三节 迹线与流线现用反证法解释第三个性质的结论 。 如图 3-6所示,假定有两条流线 1,2在 A点相交,按流线的定义,在 A点所作出的代表流体质点速度向量的切线应有两条 。 可是在同一瞬时,
一个流体质点只能有一个速度向量,不可能同时有两个不同的速度向量,即一个流体质点在同一瞬时不可能同时向两个方向运动 。 除非 A点的速度为零,是一个驻点；或者 A点的速度无穷大,是一个 奇点 。 图 3-6 假定流线相交图第三节 迹线与流线这样,流线已被分割成了四条,而不再是两条相交的流线 。 所以过 A点只能有一条流线 。 故流线是不可能相交的 。 同时,流线也不可能有分支 (两条流线在某点相切除外 )。
另外,流体被视为连续介质,其中各点的流动参量都是坐标的连续函数 。 如果出现流线急剧折转现象,则必然破坏函数的连续性规律 。 所以只有在平滑曲线形状时才能保证连续流动条件 。 在工程设计中,对于和流体运动有直接关系的物体表面,
如管嘴的入口和风机的叶片等总是尽量作成流线型的,以减少能量损失 。
第三节 迹线与流线流线的微分方程式：
如图 3-7所示,在流线 上 A点处的流体质点的速度为 u,它在 x,y,z坐标轴上的投影分别为 ux,uy,uz,A点处流线上的一微元段长为 ds,其投影分别为 dx,dy,dz。 根据流线的定义,
A点的速度 u必与 A点的切线相重合,于是 有由此得到
(3-9)
式 (3-9)就是直角坐标系下的 流线微分方程式 。
su
u
s
y
u
u
s
x
u
u zyx
d
zd
d
d
d
d,，
第三节 迹线与流线在圆柱坐标系下的流线微分方程式为
(3-10)
图 3-7 流线上速度向量分解
zr u
z
u
r
u
r ddd
第四节 流管、流束、流量和平均流速内 容 提 要
1,流管和流束的概念
2,有效截面的概念
3,均匀流的概念
4,流量的概念及其计算
5,平均流速的概念第四节 流管、流束、流量和平均流速流线只能表示流场中流体质点的流动参量及流场的形态,
但不能表明流过的流体数量 。 为此引入流管和流束的概念 。
如图 3-9所示,在给定的瞬时在流场内任作一条不是流线的封闭曲线 B,通过封闭曲线 B上各点作流线,这些流线所构成的管状表面称之为 流管 。 因为流管是由流线构成的,所以它具有流线的一切特性 。 即流管上各点的流速方向都与流管的表面相切,流体质点不能穿过流管流进或流出 。 流管就象固体管子一样,将流体限制在管内 (或管外 )流动 。 流管内部流动的流体,亦即充满流管的一束流线族,则称为 流束 。 在稳定流场中,流束或流管的形状不随时间而改变；在非稳定流场中,将随时间改变其形状和位置 。
第四节 流管、流束、流量和平均流速图 3-9 流管示意图 图 3-10 有效截面第四节 流管、流束、流量和平均流速在流束中与各流线都相垂直的 横截面称为流束的 有效截面
(或 过流截面 )。 流束中流线互相平行时,其有效截面为平面；
流线不平行时,其有效截面为曲面 。 如图 3-10所示 。
对于不可压缩流体,当流线皆为平行直线时的流动称为 均匀流 ；否则,称为 非均匀流 。 均匀流同一流线上各质点的速度相等,因此,其迁移加速度皆为零 。
有效截面面积为无限小的流束或流管,称为 微元流束 或 微元流管 。 对于微元流束,其有效截面上各点的速度可以认为是相同的 。
单位时间内通过有效截面的流体的数量,称为 流量 。 流体的数量可以用体积,质量或重量来计量,因此 流量又分为 体积第四节 流管、流束、流量和平均流速流量 (米 3/秒 ),质量流量 (千克 /秒 )和 重量流量 (牛顿 /秒 ),并分别用 Q,M和 G来表示 。
在流管内取一微小的有效 截面 dA,在 dA上可以认为流体的各个流动参量各点都相同 (如图 3-9)。 因此,通过有效截面 A
的体积流量 Q,质量流量 M和重量流量 G分别 为
(3-11)
(3-11a)
(3-11b)
式中 u— 有效截面上任意一点的速度,m/s；
ρ ——与速度 u相对应的流体的密度 (kg/m3)。
A dAuM?
A dAuQ
A dAugG?
第四节 流管、流束、流量和平均流速以上计算必须先找出微元流束的速度 u在整个有效截面 A上的分布规律,然后才能积分求解,但其速度分布规律在大部分工程问题中是很难能用解析法来确定的 。 因此,在工程计算中为了方便起见,引入平均流速的概念 。 平均流速是一个假想的流速 。 即假定在有效截面上各点都以相同的平均流速流过,
这时通过该有效截面上流体的体积流量仍与各点以真实流速 u
流动时所得到的体积流量相同 。
若以 表示流管有效截面上的平均流速,按其定义可得则
(3-12)
u


A
A
Au
AA
Q
u
AuAuQ
d
1
d
第五节 流体的连续性方程内 容 提 要
一,直角坐标系下的三维连续性方程
二,圆柱坐标系下的三维连续性方程
三,一维稳定管流的连续性方程第五节 流体的连续性方程连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用 。 我们认为流体是连续介质,它在流动时连续地充满整个流场 。 在这个前提下,当研究流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面时,可以断定：若在某一定时间内,流出的流体质量和流入的流体质量不相等时,则这封闭曲面内就一定会有流体密度的变化,以便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；如果流体是不可压缩的,则流出的流体质量必然等于流入的流体质量 。 上述结论可以用数学分析表达成微分方程,称为 连续性方程 。
第五节 流体的连续性方程一,直角坐标系下的三维连续性方程在流场中任取一个微元平行六面体作为控制体,其边长分别为 dx,dy,dz(如图 3-11)。 假设微元六面体形心 a的坐标为 (x，
y,z),密度为 ρ(x,y,z,),速度为 。 现在来讨论流体经微元六面体各表面的流动情况 。
首先确定微元体六个面上的有关流动参量 。 由于微元六面体的各个表面都是很小的,故可以认为每个表面上各不同流体质点的流动参量都是相同的 。 因此,六个微元表面上的有关的流动参量可利用泰勒公式展开成以点 a(x,y,z)的有关流动参量来表示 。 现在先讨论 x轴方向上的流动情况,在垂直于 x轴的左侧面上 (b点 )流体的密度和流速 按泰勒级数展开后分别为
u?
第五节 流体的连续性方程图 3-11 微元六面体第五节 流体的连续性方程上两式忽略二阶以上无穷小量,并简化后为








2
2
2
2
2
2
)
2
d
(
!2
1
)
2
d
(
!1
1
)()
2
d
(
)
2
d
(
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1
)
2
d
(
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1
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2
d
(
x
x
x
x
u
x
x
x
x
u
zyxuzy
x
xu
x
x
x
x
x
x
x
x
zyxzy
x
x
x
x
xx
，，，，
，，，，

2
d
)()
2
d
(
2
d
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2
d
(
x
x
u
zyxuzy
x
xu
x
x
zyxzy
x
x
x
xx


，，，，
，，，，

第五节 流体的连续性方程应用同样的分析方法,可写出垂直于 x轴的右侧面 上 (c点 )流体的密度和流速表示式,即所以,在单位时间内从左侧微元面 dydz流入微元体的流体质量为同样在单位时间内从右侧微元面 dydz流出微元体的流体质量为单位时间内沿 x轴方向流体质量的变化为
2
d
)()
2
d
(
2
d
)()
2
d
(
x
x
u
zyxuzy
x
xu
x
x
zyxzy
x
x
x
xx


，，，，
，，，，

zyxxuuxx xx dd)2d)(2d(
zyxxuuxx xx dd)2d)(2d(
第五节 流体的连续性方程同理,在单位时间内沿 y轴和 z轴方向流体质量的变化分别为因此,
(a)
由于流体是作为连续介质来研究的,所以式 (a)所表示的六面体内流体质量的总变化,必然引起六面体内的流体的密度
zyx
x
u
zyx
x
u
x
u
zy
x
x
u
u
x
x
zy
x
x
u
u
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ddd
)(
ddd)(
dd)
2
d
)(
2
d
(dd)
2
d
)(
2
d
(




zyxzuzyxyu zy ddd)(ddd)( ；
zyx
z
u
y
u
x
u zyx ddd)()()(





第五节 流体的连续性方程的变化 。 在单位时间内,微元六面体内流体因密度变化而引起的质量变化为
(b)
根据流体流动的连续性,式 (a)和式 (b)必然是相等的,即全式通除以 dxdydz,移项后得
(3-13)
或写成
(3-13a)
zyxzyx
z
u
y
u
x
u zyx dddddd])()()([





zyx ddd
0)(
)()(


z
u
y
u
x
u zyx
0)(d iv u
第五节 流体的连续性方程将式 (3-13)中各项展开,合并整理后,可得到连续性微分方程的另一种形式,即
(3-13b)
式 (3-13)就是直角坐标系下可压缩流体不稳定流动的三维连续性方程,该式具有普遍意义 。
对于可压缩流体的稳定流动,由于,则上式可写为
(3-14)
或 (3-14a)
0)(
d
d?



z
u
y
u
x
u zyx?
0
0)(
)()(

z
u
y
u
x
u zyx
0)(d iv?u
第五节 流体的连续性方程若流体是不可压缩的,则不论是稳定流动或非稳定流动,
其密度 ρ 均为常数,故 式 (3-13)可简化为
(3-15)
或 (3-15a)
式 (3-15)为不可压缩流体的三维连续性方程 。 它对于稳定流动和非稳定流动都适用 。 物理意义是,在单位时间内通过单位体积流体表面流入和流出控制空间的流体体积是相等的 。
对于二维流动的不可压缩流体,式 (3-15)可写为
(3-16)
0?

z
u
y
u
x
u zyx
0?
y
u
x
u yx
0div?u?
第五节 流体的连续性方程二,圆柱坐标系下的三维连续性方程在圆柱坐标系下的流场中,取出一微元六面体 ABCD作为控制体,如图 3-12所示 。 与上述推导方法相似,在忽略高阶无穷小量后,作如下简化推导：
单位时间内经 AB,BC和 CA面流入微元体的流体质量分别为同样,单位时间内经 CD,DA和 BD面流出微元体的流体质量分别为
rru
zru
zru
z dd
dd
ddr


第五节 流体的连续性方程图 3-12 圆柱坐标系下的微元体第五节 流体的连续性方程则单位时间内,微元体中的流体质量改变量为
(a)
同时,在单位时间内由于微元体中流体的密度变化而引起的微
(b)
rrz
z
u
u
zr
u
u
zrrr
r
u
u
z
z
r
r
dd]d
)(
[
dd]d
)(
[
dd)d](d
)(
[
zrzurururu zrr ddd])()()([
zrr ddd
第五节 流体的连续性方程根据质量守恒原理可知,式 (a)必然与式 (b)相等,即上式两边同除以 rdθdrdz,并整理后得
(3-17)
式 (3-17)就是圆柱坐标系下的三维连续性方程 。
对于不可压缩流体,密度 ρ =常数,连续性方程为
(3-18)
zrrzrzurururu zrr dddddd])()()([
0)()()(?



z
u
r
u
r
u
r
u zrr?


0?



z
u
r
u
r
u
r
u zrr
第五节 流体的连续性方程三,一维稳定管流的连续性方程如图 3-13所示,A1,A2为流管的两个有效截面 。 dA1,dA2
为微元流束的有效截面,相应截面上的速度为 u1和 u2,流体的密度为 ρ1和 ρ2。 选取 控制体如图中虚线所示 。 根据质量守恒定律,在稳定流动的条件下,单位时间内流入控制体的质量应等于流出控制体的质量,即控制体内的质量应保持不变,即
(3-19)
式中 A——整个控制体的表面积,即控制面的面积,m2；
un— 控制面上各点的外法向速度,m/s。
根据流管的性质,不可能有流体穿过流管管壁流进流出,
即在流管侧表面上的法向速度 un=0,因此,式 (3-19)可以写成
0dA Au n?
第五节 流体的连续性方程图 3-13 流管内的流动第五节 流体的连续性方程
(3-20)
如果取 ρ1,ū1和 ρ2,ū2分别表示 A1和 A2截面上的平均密度和平均流速,则式 (3-20)可 写为
(3-21)
对于不可压缩流体,ρ 为常数,则有
(3-22)
或
(3-22a)
式 (3-22)是不可压缩流体一维稳定管流的连续性方程 。 它说明管截面上的平均流速与有效截面的面积成反比,即对于同一根流管 (或固体管道 ),在不可压缩流体稳定流动的条件下,管径
1
2
2
1
2211
A
A
u
u
AuAu
222111 AuAu
21 A 222A 111 dd AuAu
第五节 流体的连续性方程大的截面上平均流速小,而管径小的截面上平均流速大 。
应当指出,在推导流体连续性方程的过程中,并没有涉及到作用于流体上的力 。 故上述推导的各连续性方程式对于理想流体和粘性流体都是适用的 。
第六节 理想流体的运动微分方程内 容 提 要
一,直角坐标系下理想流体的运动微分方程
二,圆柱坐标系下理想流体的运动微分方程
三,理想流体沿流线的运动微分方程第六节 理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程是牛顿第二定律在流体力学上的具体应用 。 它建立了理想流体的密度,流速,压力和外力之间的关系 。 下面就来讨论理想流体的运动微分方程 。
一,直角坐标系下理想流体的运动微分方程如图 3-15所示,在流动的流体中取出一边长分别为 dx,dy、
dz,平均密度为 ρ的微元平行六面体作为研究对象 。 由于是理想流体,所以作用在微元六面体上的外力只有质量力和垂直于表面的压力,而没有粘性力 。 若微元六面体的形心 A点的坐标为 (x,y,z),速度为 u,速度分量分别为 ux,uy,uz,压力为 p，
则作用在微元体六个表面中心点的压力可按泰勒级数展开后,
并忽略二阶以上无穷小量,表示于图 3-15上 。 例如在垂第六节 理想流体的运动微分方程图 3-15 微元六面体的受力情况第六节 理想流体的运动微分方程直于 x轴的左右两个平面中心点上的压力各等于由于各表面都是微元面积,所以这些压力可以作为各表面上的平均压力 。 另外,假设作用在微元六面体上的单位质量力 f的分量分别为 fx,fy和 fz。 则按牛顿第二定律 ΣF=ma,可以得到 x
轴方向的运动微分方程
2
d
2
d x
x
ppx
x
pp

,
d
d
ddd
ddddd)
2
d
(dd)
2
d
(
x
x
u
zyx
zyxfzy
x
x
p
pzy
x
x
p
p

第六节 理想流体的运动微分方程整理后,得同样可得到 y轴方向和 z轴方向上的运动微分方程 。 于是,理想流体的运动微分方程为
(3-23)
它的向量形式为
(3-24)
d
d1 x
x
u
x
pf?




d
d1
d
d1
d
d1
z
z
y
y
x
x
u
z
p
f
u
y
p
f
u
x
p
f
d
dg r a d1 upf
第六节 理想流体的运动微分方程若以当地加速度和迁移加速度表示方程组 (3-23)各式右边的加速度,便得到
(3-25)
理想流体的运动微分方程又称为欧拉运动微分方程,它对于不可压缩流体和可压缩流体都是适用的 。 当流体处于平衡状态时,ux=uy=uz=0,该运动微分方程成为欧拉平衡微分方程 。
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
z
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
y
p
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z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
x
p
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z
z
z
y
z
x
z
z
y
z
y
y
y
x
y
y
x
z
x
y
x
x
x
x



1
1
1
第六节 理想流体的运动微分方程二,圆柱坐标系下理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程在圆柱坐标系下的形式,可用上述同样的办法导出,这里不再详细推导,只给出推导结果：
(3-26)
式 (3-26)就是圆柱坐标系下的理想流体运动微分方程,或称为欧拉运动微分方程 。 它的应用条件同式 (3-25)。
z
u
u
r
u
u
r
u
u
u
z
p
f
r
uu
z
u
u
r
u
u
r
u
u
u
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z
u
u
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u
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r
u
u
u
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p
f
z
z
zz
r
z
z
r
zr
r
z
rr
r
r
r





1
1
1
2
第六节 理想流体的运动微分方程三,理想流体沿流线的运动微分方程如图 3-16所示,在理想流体的流场中,在流线方向上取出一长为 ds,端面积为 dA的柱形微元流体 。 根据流线的定义,
速度向量必定与流线相切,因此给出速度场为,
设柱形微元流体的平均密度为 ρ,中心处的压力为 p,上,下游两端面上的压力按泰勒级数展开后,并略去二阶以上无穷小量为 和,方向垂直于两端面 。 由于是理想流体,没有粘性力,所以柱形微元流体侧面上的表面力只有压力,都垂直于轴线,它们在流线方向上的分量为零 。 又设
),(?suu
2
d
2
d s
s
pps
s
pp


第六节 理想流体的运动微分方程图 3-16 流体微团受力分析第六节 理想流体的运动微分方程微元柱形流体所受的质量力只有重力,方向垂直向下,大小为
ρgdAds。 微元柱形流体运动所产生的切向加速度为 as,其受力情况见图 3-16。 根据牛顿第二定律,ΣFs=mas,有式中 θ 为流线切线与铅直轴的夹角 。
上式化简后并用 ρdAds去除,得
(a)
由于 (b)
(c)
ssaAsAgA
s
s
ppAs
s
pp ddc o sddd)
2
d(d)
2
d(


s
u
u
us
s
uuu
a
s
z
s
z
ag
s
p
s
s




d
d
d
d
c o slim
0c o s
1
0s
第六节 理想流体的运动微分方程将式 (b),(c)代入式 (a),得
(3-27)
这就是理想流体沿流线流动的运动微分方程,或称欧拉运动微分方程 。 它适用于理想流体在重力作用下沿流线方向流动的情况,并且对于可压缩流体和不可压缩流体的非稳定流动也都适用 。 同时,它表达了某一瞬时沿任意一根流线流体质点的压力,密度,速度和位移之间的微分关系 。
在稳定流动的条件下,,同时 p,z,u只是距离 s的函数,可将偏导数改写为全导数,从而得到理想流体沿流线稳
01 suuuszgsp
0u
第六节 理想流体的运动微分方程定流动的运动微分方程为
(3-28)
如果流体只是在水平面内流动,
(3-29)
0ddd uuzgp
0dd uup
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用内 容 提 要
1,伯努利方程的形式
2,伯努利方程的物理意义
3,伯努利方程的应用条件
4,使用伯努利方程时应注意的问题第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用前面已经推导出理想流体在重力作用下沿流线稳定流动的欧拉运动微分方程
(3-28)
对上式沿流线积分,得到
(3-30)
对于可压缩流体,必须根据状态方程等,找出压力 p与密度 ρ
之间的函数关系,上式第一项才能积分 。 对于不可压缩流体,
ρ 为常数,于是得到
Cuzgp
2
d 2
0ddd uuzgp
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用
(3-31)
式 (3-31)就是著名的伯努利方程,它是单位质量流体的机械能守恒方程,所以也称 能量方程 。 它是由伯努利于 1738年首先提出的 。 伯努利方程在工程实际中得到广泛的应用 。
根据伯努利方程的推导过程,我们可以得到其 应用条件是,不可压缩的理想流体只在重力作用下沿着某一根特定的流线稳定流动的情况 。 在应用伯努利方程式 (3-31)时必须满足这些条件 。
Cuzgp
2
2
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用对于单位重量流体,式 (3-31)可写成
(3-31a)
对于单位体积流体,式 (3-31)还可写成
(3-31b)
式 (3-31a)多用于液体的流动情况,式 (3-31b)多用于气体的流动情况 。
1
2
2
C
g
uzp
2
2
2
C
g
uzp
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用下面我们进一步讨论伯努利方程的 物理意义 。
伯努利方程的能量意义：
p/γ 表示单位重量流体所具有的压力能,称为 比压力能,
单位为 焦耳 /牛顿 。
z表示单位重量流体所具有的位能,称为 比位能,单位为焦耳 /牛顿 。
u2/2g表示单位重量流体所具有的动能,称为 比动能,单位为 焦耳 /牛顿 。
另外,单位重量流体所具有的压力能和位能之和 (p/γ +z)
称为单位重量流体的 总势能 ；
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用同样,单位重量流体所具有的压力能,位能和动能之和
(p/γ+z+u2/2g)称为单位重量流体的 总机械能 。
式 (3-31a)表明,理想的不可压缩流体在重力作用下沿流线稳定流动时,其单位重量流体的压力能,位能和动能之和保持常数,即 机械能是守恒的,并且 它们之间可以互相转换 。
但是沿不同的流线其积分常数值一般不同 。
式 (3-31)和式 (3-31b)中各项分别表示单位质量流体和单位体积流体所具有的压力能,位能和动能,也分别称为比压力能,比位能和比动能,单位分别为焦耳 /千克和焦耳 /米 3。
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用伯努利方程的几何意义：
p/γ ——表示单位重量流体的压力能与一段液柱的高度相当,称为压力高度,或称为压力压头和静压头,单位为米 ；
z——为流体质点相对于基准面的高度,称为位置高度,或称为几何压头和位压头,单位为米 ；
u2/2g——表示在没有阻力的情况下,具有速度 u的流体质点沿铅直方向向上自由喷射所能达到的高度,称为速度压头或动压头,单位为米 。
伯努利方程式 (3-31a)中,静压头和位压头之和称为 测压管压头 ；静压头,位压头和动压头三者之和称为 总压头 。
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用分别用 Hc和 Hz表示 。
即由于伯努利方程式 (3-31a)中各项都表示一高度,所以可用几何图形来表示它们之间的关系,如图 3-17所示 。 设以管中心线上的这根流线作为分析对象,连接中心线上各点 z的线叫做几何压头线 或 位压头线 ；连接 p/γ各顶点而成的线叫做 测压管压头线,它表示流线上各点 (p/γ+z)的变化 情况 。 就理想的不可压缩流体而言,由于没有能量损失,沿流线各点的总压头不
g
u
z
p
H
z
p
H
z
c
2
2


第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用图 3-17 沿流线的各压头线第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用变,即 总压头线是一条水平线 。 但是在这根流线上各点的 p/γ、
z和 u2/2g之间是可以相互转换的 。
另外,伯努利方程是由欧拉运动微分方程积分得来的,所以它除了具有能量意义和几何意义外,还具有力学意义 。
第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用伯努利方程的力学意义：
p为单位面积上流体受到的压力,称为 静压,牛顿 /米 2；
γz为单位面积上,z高度的流体柱所具有的重力,称为 位压,牛顿 /米 2；
(u2/2g)γ相当于流体对单位面积上所作用的惯性冲击力,
称为 动压,牛顿 /米 2。
流场中某点处流体的静压与动压之和称为 总压 或 全压,牛顿 /米 2。
如果流体只在水平方向上流动,或者流场中坐标 z的变化与其它流动参量相比可以忽略不计时,则式 (3-31)可写为第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用
(3-32)
式 (3-32)表明,沿流线压力越低,则流速越高 。 对于液体而言,
当压力降低到汽化压力以下时,液体汽化生成气泡,称为空泡现象,这时伯努利方程不再适用 。
当伯努利方程应用于同一根流线上的不同两点时,式 (3-31)
至式 (3-31b)可分别 写成
(3-33)
(3-33a)
Cup
2
2
g
u
z
p
g
u
z
p
u
zg
pu
zg
p
22
22
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
1
1
1




第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及其应用
(3-33b)
式中 p1,z1,u1和 p2,z2,u2分别为同一根流线上 1,2两点处流体质点的参量 。
应当指出,对于液体来说,由于 在流动过程中受大气浮力的影响甚小,可以忽略不计,所以伯努利方程式 (3-33)中的压力 p1和 p2可以用绝对压力,也可以用相对压力,而不必考虑大气浮力的影响 。 对于气体来说,特别是热气体,由于在流动过程中受大气浮力的影响很大,比位能也将产生很大的变化,所以伯努利方程式 (3-33)中的压力 只能用绝对压力 (对于在同一水平面内的流线除外 )。

g
uzp
g
uzp
22
2
2
22
2
1
11
第八节 沿流线非稳定流动的伯努利方程内 容 提 要
1,非稳定流动的伯努利方程
2,非稳定流动伯努利方程的应用条件第八节 沿流线非稳定流动的伯努利方程前面我们推导的理想流体沿流线非稳定流动的运动微分方程式 (3-27)为
(3-27)
对于不可压缩流体,ρ =常数,上式可以写成一般来说,是流线上位置坐标 s的函数 。 令时间保持不变,
沿流线积分上式,可得现设 1,2是流线上的两点,则有
u
01?



s
uuu
s
zg
s
p

0)
2
(
2


uuzgp
s
Csuuzgp s?
d
2 0
2

第八节 沿流线非稳定流动的伯努利方程
(3-34)
式 (3-34)就是不可压缩理想流体在重力作用下沿流线非稳定流动的伯努利方程 。 该方程的 使用条件是,不可压缩的理想流体只在重力作用下沿着某一根特定的流线非稳定流动的情况 。
s
uu
zg
pu
zg
p
s
uu
zg
p
s
uu
zg
p
s
s
ss
d
22
d
2
d
2
2
1
21
2
2
2
2
2
1
1
1
0
2
2
2
2
0
2
1
1
1






第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化内 容 提 要
1,弯曲流线主法线方向上的运动微分方程
2,弯曲流线主法线方向上流体速度的变化规律
3,弯曲流线主法线方向上流体压力的变化规律
4,弯曲河道主法线方向上流体液位的变化规律第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化现在我们来讨论垂直于流线的主法线方向上的速度和压力的变化规律 。 参看图 3-24,在流线 BB'上 M点处取一柱形微元流体,柱轴与流线上 M点处的主法线相重合,柱形微元体的两个端面与柱轴相垂直,端面面积为 dA,柱体长为 dr,M点的曲率半径为 r。 设 M点处的流体压力为 p,流速为 u,柱形流体微团 (微元体 )的平均密度为 ρ,所受的质量力只有重力 。 则微元体在流线主法线方向所受到的力为,两端面上的总压力分别为重力在主法线方向的分量为 ρgdrdAcosθ,微元体侧面上的压力在主法线方向的分量为零,对于理想流体无粘性力 。 微元
ArrppArrpp d)2d(d)2d(,
第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化图 3-24 流体微团受力分析第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化体在 M点主法线方向的加速度 ar(即法向加速度 )为 -u2/r。 根据牛顿第二定律 ΣFr=mar,有将上式进行简化整理,并注意到 cosθ=,得
(3-35)
式 (3-35)为理想流体沿流线稳定流动时主法线方向的运动微分方程 。
r
u
Ar
ArgA
r
r
p
pA
r
r
p
p
2
dd
c o sddd)
2
d
(d)
2
d
(



rz
r
u
r
zg
r
p 21?

第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化对于不可压缩流体,ρ 为常数,式 (3-35)可 写成
(3-36)
另外,在流场中各条流线的伯努利常数 (p/ρ+gz+u2/2=C)都具有同一数值的条件下,伯努利常数 C沿 r方向不变,因此它对
r的导数等于零,即或
(3-37)
比较式 (3-36)和式 (3-37),得
r
u
uzg
p
r
u
zg
p
r


)(
0)
2
(
2
r
uzgp
r
2
)(
第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化或积分后的 (3-38)
式中 C是沿径向的积分常数,一般来讲它是沿流线方向不同位置坐标 s的函数 。 由此可见,在弯曲流线的主法线方向上,流体的速度随曲率半径的增大而减小 。 所以流体在弯曲的管道中流动时,其内侧的流速高,而外侧的流速低,如图 3-25所示 。
对于流体在同一水平面内流动的情况 (z=0),也可以得到同样的结论 。
0)(
2


ururru
r
u
u
r
u
Cru?
第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化图 3-25 弯曲流道中压力和速度分布图第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化下面讨论沿流线主法线方向上压力的变化规律 。
由式 (3-36) 可看出,等式右端 永远为正值,所以 也永为正值 。 这意味着随曲率半径 r的增大,也增大 。 如果流线都位于同一水平面内 (即在水平面内流动 ),或者重力变化的影响可以忽略不计时,
式 (3-36)可 写为
(3-39)
)( zgp
r
r
uzgp
r
2
)(
r
u2
)( zgp
0
2

r
u
r
p?
第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化由此可见,在弯曲 流线主法线方向上压力 p随曲率半径 r的增大而增加 。 所以流体在弯曲的管道中流动时,其内侧的压力小,而外侧的压力大 (如图 3-25所示 )。 沿流线主法线方向压力和速度的分布规律常用来分析工业上的旋风除尘器,旋风分离器以及燃烧装置上的旋风室等装置内的流动情况 。
同样,对于明渠流动,压力 p为 大气压保持不变,则式 (3-
36)可写 成
(3-40)
这说明,在弯曲河道的外侧的水位将高于河道内侧的水位 。
对于直线流动,即 r→∞,由式 (3-36)得到
(3-41)
0
2

gr
u
r
z
Czgpzgp
r


或0)(
第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化图 3-26 直线流动中垂直于流线方向上的压力分布第九节 沿流线主法线方向速度和压力的变化设 1和 2是流线的某一垂直线上的任意两点 (图 3-26),则有
(3-41a)
式 (3-41)说明,在直线流动的条件下,沿垂直于流线的方向上的压力分布服从于静力学基本方程式 。
在直流流动中,如果不计重力的影响,则在式 (3-39)中令
r→∞,得它表明,当流线为直线且忽略重力的影响时 (即在同一水平面内的直线流动 ),沿流线法线方向上 的压力梯度为零,即没有压力变化 。
2
2
1
1 zgpzgp

0rp
第十节 动量方程和动量矩方程内 容 提 要
一,动量方程
二,动量矩方程第十节 动量方程和动量矩方程一,动量方程前面我们讨论了连续性方程,欧拉运动方程和伯努利方程 。
这些方程可以用来解决许多实际问题,如确定管道截面积,计算流体的流速,流量和压力分布等 。 而在本节中将要讨论的动量方程则特别适合于求解某些流体与流体间或流体与固体间有相互作用力的问题 。
流体的动量方程是动量守恒定律在流体力学中的具体应用 。
在物理学中,动量守恒定律有两种不同的表述方式 。 第一种表述方式是,物体动量的变化量等于该物体所受到的外力的总冲量 。
(3-42))(dd umF
第十节 动量方程和动量矩方程另一种表述方式是,物体动量对时间的变化率等于作用在该物体上的外力之和 。 即
(3-43)
流体的动量方程就是动量守恒定律第二种表述方式的具体形式 。
就是说,将式 (3-43)具体应用于讨论问题所取的控制体的流体上,便可得到流体的动量方程,即
(3-44)
式中 为控制体内流体的动量； 为作用在控制体内
V V A n AuuVuVuF dddd d
d
)(d umF
F
V Vu d

第十节 动量方程和动量矩方程流体上的外力之和 。 为控制体内流体的动量随时间的变化率,在稳定流动的条件下这一项为零； 为单位时间内通过控制面进出控制体的流体动量的变化量 。 速度
un为控制面外法线方向上流体质点的速度 。 V为控制体的体积,
A为控制面的面积 。 在稳定流动的条件下,式 (3-44)可写为
(3-45)
其投影形式为
(3-45a)
A n Vuu d




A
nzz
A
nyy
A
nxx
A
n
AuuF
AuuF
AuuF
AuuF
d
d
d
d

V Vu d
第十节 动量方程和动量矩方程式 (3-45)和 (3-45a)就是稳定流动流体的动量方程 。
如图 3-27所示,我们取一根流管,并取流管的管壁和有效截面为控制面 。 设有效截面上流体的流速为均匀分布,ΣF是作用在控制体上的外力的总和,根据式 (3-45a)有
(3-46)
根据连续性方程可把式 (3-46)改写为



11112222
11112222
11112222
znznz
ynyny
xnxnx
uuAuuAF
uuAuuAF
uuAuuAF



QuAuA nn 111222
第十节 动量方程和动量矩方程图 3-27 流管内的控制体第十节 动量方程和动量矩方程
(4-46a)
稳定流动的动量方程的特点是,在计算过程中只涉及控制面上的流动参量,而不必考虑控制体内部的流动状态 。 因此它也可用于控制体内存在参量间断面的情况 。 其次,它不同于连续性方程和伯努利方程,动量方程是一个向量方程,应用投影方程比较方便 。 使用时应 注意 适当地选择控制面,完整地表达出作用在控制体和控制面上的外力,注意流动方向和投影的正负等 。



)(
)(
)(
12
12
12
zzz
yyy
xxx
uuQF
uuQF
uuQF
第十节 动量方程和动量矩方程应当指出,实际流体在管道内流动时,其管截面上的速度分布是不均匀的,并且一般情况下截面上的速度分布规律很难确定 。 所以 工程上常用截面平均流速来计算流体的动量 。 但是用平均流速计算出的流体的动量比实际流体的实际动量为小,需要加以修正,即若截面上流体的密度 ρ 均匀分布,则
(3-47)
式中 β ——动量修正系数,它是单位时间内通过有效截面的实
AA Au
u
AAu
Au
d)(1
d
2
2
2
AuAu 2A 2 d
第十节 动量方程和动量矩方程际动量与 按截面平均流速计算的流体动量的比值,它的大小取决于截面上流速分布的均匀程度 。 在工业管道和明渠流动中,
β的实验值一般为 1.02～ 1.05,因此,工程计算常取 β=1。 引用截面平均流速并取 β=1,式 (3-46a)对于实际流体的流动情况 仍然适用,只需要将相应的流速改用平均流速即可 。
第十节 动量方程和动量矩方程二,动量矩方程流体的动量矩方程是动量矩守恒定律在流体力学中的具体应用 。 对于某一控制体来说,动量矩守恒定律可表述为,作用在控制体上的外力矩之和等于单位时间内控制体中流体动量矩的变化量与单位时间内通过控制面进出控制体的流体动量矩的变化量之和 。 其数学表达式为
(3-48)
式中 为作用在控制体上的外力矩之和 。



V A
n
V
AuruVru
VrurFM
dd
d
d
d



rFM
第十节 动量方程和动量矩方程为单位时间内控制体中流体动量矩的变化量,
在稳定流动中该项为零； 为单位时间内通过控制面进出控制体的流体动量矩的变化量 。 为各外力或动量的作用点到矩心的距离,即 向径 。
如果将式 (3-48)具体应用到图 3-27所 示的流管上,可以得到稳定流的动量矩方程为
(3-49)
或写成 (3-50)
式中 Fτ,u1τ和 u2τ分别为外力 F及流速 u1和 u2在以 r,r1和 r2为半径的圆周上的切向分量 。
V Vru d
A n Auru d
r?
)(
)(
1122
1122
ruruQrFM
ruruQrFM




第十节 动量方程和动量矩方程在应用动量方程时应当注意下列事项：
1.建立坐标系 。 按坐标系的方向确定速度与外力的各分量的正负号,与坐标方向相同者取正号,反之取负号 。
2.正确选择控制体 。 流体流入与流出的截面应选在流线为平行直线的地段上,流经控制体的固体表面应是控制空间的一部分控制面 。
3.所有作用在控制体上的外力和通过各控制面的动量变化率在列动量方程时都应计算进去 。 由于在选定的控制体范围内大气压的作用相互抵消,因此压力 p常按相对压力计算 。
4.当所选定的控制体范围不大时,流体所受的重力可以忽略不计 。
第十节 动量方程和动量矩方程另外,前面讨论的是控制体静止不动的动量方程 。 当控制体以匀速 uk相对于固定坐标系 XYZ运动时,仍然属于惯性控制体,因为控制体对于 XYZ并没有加速度 。 在稳定流的条件下,
式 (3-45)对于固结在匀速运动的控制体上的坐标系 xyz同样是适用的,但是式中所有的速度都是指相对于控制体的速度,因此,
动量方程可写成
(3-51)
式 (3-51)可应用于任一惯性控制体 (静止的控制体或以匀速运动的控制体 ),式中注角 xyz,只是为了强调此处速度是相对于控制体的速度 (即相对速度 )。
A d AuuF xyznxyz
本 章 小 结一、基本概念二、基本定律和基本方程三、重要的性质和结论

流体力学与流体机械
（四）
多媒体教学课件李文科 制作第四章 流体的有旋流动和无旋流动
第一节 流体微团运动的分析
第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度
第三节 平面流与流函数
第四节 势流与速度势函数
第五节 几种基本的平面有势流动
第六节 有势流动的叠加第一节 流体微团运动的分析内 容 提 要
一,移动
二,转动
三,线变形运动
四,角变形运动第一节 流体微团运动的分析刚体 的运动一般可以分解为 移动 和 转动 两部分 。 但流体与刚体不同,流体受力便会发生运动状态的变化,即流体具有流动性,极易变形 。 因此,流体微团 在运动过程中不但会发生移动和转动,而且还会发生变形运动 。 所以,在一般情况下流体微团的运动 可以分解为 移动,转动 和 变形运动 三部分 。
变形运动 又分为 线变形运动 和 角变形运动 两种情况 。 下面我们分别讨论这几种运动情况 。
一,移动在流场中取一微元平行六面体的流体微团,各边长分别为
dx,dy,dz,形心 a处沿三个坐标轴的速度分量分别为 ux,uy、
uz,如图 4-1所示 。 如果微团内各点的速度在坐标轴上的分量第一节 流体微团运动的分析图 4-1 微团移动分析也都是 ux,uy和 uz,那么整个流体微团就只有移动,也就是说流体微团只能从一个位置移动到另一个新的位置,而其形状和大小及方位并不改变 。
第一节 流体微团运动的分析二,转动同上在流场中取一微元平行六面体的流体微团,转动前流体微团的各边分别与坐标轴平行,为讨论方便起见,我们先讨论流体微团绕垂直于 xoy平面的轴 (z轴 )转动的情况,如图 4-2所示 。 设 O点在 x轴和 y轴方向的速度分量分别为 ux和 uy。 当 A点在 y轴方向的分速度不同于 O点在 y轴方向的分速度及 B点在 x轴方向的分速度不同于 O点在 x轴方向的分速度时,流体微团才会发生旋转 。 A点在 y轴方向的分速度和 B点在 x轴方向 的分速度可按泰勒级数展开,并略去高阶无穷小量而得到,它们分别为
y
y
uux
x
uu x
x
y
y dd?

和第一节 流体微团运动的分析图 4-2 微团旋转运动分析第一节 流体微团运动的分析它们 相对于 O点的对应分速度 (相对于 O点的线速度 )分别为所以它们相对于 O点的角速度 (逆时针方向旋转为正 )应分别为
A点上
B点上而对于微团中其它各点绕 z轴转动的角速度 （ 如 C点等 ） 则是由该点 y向的分速度在 x轴方向的变化量和 x向的分速度在 y轴方向的变化量共同产生的 。 因此,我们可以把整个微团绕 z轴 转动的
y
y
ux
x
u xy dd
和
y
u
yy
y
u
x
u
xx
x
u
xx
yy

d/d
d/d
第一节 流体微团运动的分析分角速度用 OA与 OB在 xoy平面内的平均角速度来表示,即同理,可求得流体微团绕 x轴和 y轴转动的角速度分量 ω x和 ω y。
于是流体微团旋转角速度 ω 的三个分量分别为
(4-1)
)(
2
1
y
u
x
u xy
z?


)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
y
u
x
u
x
u
z
u
z
u
y
u
xy
z
zx
y
yz
x
第一节 流体微团运动的分析而 (4-2)
写成向量形式为
(4-3)
式中 为 哈米尔顿算子,为速度
222
zyx
uukji zyx

r o t2121
k
y
u
x
u
j
x
u
z
u
i
z
u
y
u
uuu
zyx
kji
u
xyzxyz
zyx


)()()(
r o t
kzjyix



u
rot u?
第一节 流体微团运动的分析的旋度,在流体力学中也称为流场的 涡量,一般用 表示,即
。 那么涡量在各坐标轴上的分量可表示为
(4-4)
而
(4-5)
当涡量,即 ωx=ωy=ωz=0时,流体的流动是无旋的,称为 无旋流动,否则称为 有旋流动 。
222
2
2
2
zyx
xy
zz
zx
yy
yz
xx
y
u
x
u
x
u
z
u
z
u
y
u








0ro t u

2?
第一节 流体微团运动的分析应当指出,判断流体微团是有旋流动还是无旋流动,完全取决于流体微团是否绕其自身轴旋转,而与流体微团本身的运动轨迹无关 。 如图 4-3所示,流体微团的运动轨迹均为圆周线,在 (a)中微团自身有转动,是有旋流动；在 (b)中 微团自身没有转动,是无旋流动 。
第一节 流体微团运动的分析
(a)有旋流动 (b)无旋流动图 4-3 流体微团的运动轨迹第一节 流体微团运动的分析对于圆柱坐标系来说因此,用上述类似的分析方法可以得到圆柱坐标系下的流体微团的旋转角速度及涡量的计算公式,即
(4-6)
(4-7)
zzrr iuiuiuu


222
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
zr
r
z
zr
z
r
r
u
r
u
r
u
r
u
z
u
z
u
r
u




第一节 流体微团运动的分析
(4-8)
(4-9)
写成向量 (4-6a)
(4-8a)








r
u
r
u
r
u
r
u
z
u
z
u
r
u
r
zz
zr
z
rr
2
2
2
zzrr
zzrr
zr
iii
iii










222
第一节 流体微团运动的分析三,线变形运动线变形运动 是指流体微团的形状随时间在变化,而微团的形心位置和方位并不改变的一种变形运动 。 所以线变形运动又称作 体变形运动 。 对于不可压缩流体来说,流体微团的线变形运动并不改变其体积的大小 。
流体微团的 线变形速度 是用直线距离上单位时间单位长度的伸长量 (或缩短量 )来表示的 。 线变形速度在各个坐标轴上的分量分别用 εx,εy,εz表示 。 如图 4-4所示,在流场中任取一流体微团,形心点为 O,OA平行于 x轴,长度为 dx,OB平行于 y
轴,长度为 dy,OC平行于 z轴 (垂直于纸面 ),长度为 dz。 形心
O点处流体质点的速度 u在各坐标轴上的分量为 ux,uy,uz。
第一节 流体微团运动的分析图 4-4 微团线变形运动分析第一节 流体微团运动的分析
A点的 x向分速度和 B点的 y向分速度及 C点的 z向分速度可按泰勒级数展开并略去高阶无穷小量得到,它们 分别为则 A点相对 O点在 x轴方向的相对速度为 ； B点相对 O点在 y轴方向的相对速度为 ； C点相对 O点在 z轴方向的相对速度为 。 就是由于这些相对速度的存在,将造成流体微团在各坐标轴方向伸长 (或缩短 )。 在 dτ时间内 OA在 x轴
z
z
uuy
y
uux
x
uu z
z
y
y
x
x ddd?


,、
x
x
u x d
y
y
u y d
z
z
u z d
第一节 流体微团运动的分析方向的伸长量为 ；在 dτ时间内 OB到 y轴方向的缩短量为 ；在 dτ时间内 OC在 z轴方向的伸长量 (或缩短量 )为 。 则在 x轴方向上流体微团在单位时间内单位长度的伸长量为在 y轴方向上流体微团在单位时间内单位长度的缩短量为
dd x
x
u x
dd y
y
u y
dd z
z
u z
y
u
y
y
y
u
y
y
y
dd
dd
x
u
x
x
x
u
x
x
x
dd
dd
第一节 流体微团运动的分析同理,在 z轴方向上流体微团在单位时间内单位长度的伸长量
(或缩短量 )为由此得到 流体微团的线变形运动速度分量为
(4-10)
z
u
z
z
z
u
z
z
z
dd
dd
z
u
y
u
x
u
z
z
y
y
x
x
第一节 流体微团运动的分析如果 我们用 ε 来表示流体微团在单位时间内的 体积变形率,
或称 体积膨胀率 。 则有
(4-11)
式中 为速度 的散度 。 显然,对于不可压缩流体,ε=0，
即体积变形率为零 。
u
z
u
y
u
x
u zyx
zyx
d i v?


u?div u?
第一节 流体微团运动的分析四,角变形运动如果流体微团内各点受力不均,有切向力存在时,将会使流体微团产生角变形运动 。 角变形运动的快慢程度用角变形速度 θ来度量 。 角变形速度 的大小常用流体微团中某一直角的角度在单位时间内的改变量的一半来表示,它在各坐标轴方向的分量分别用 θx,θy,θz表示 。 在流场中任取一流体微团如图 4-5
所示 。 设 O点在 x轴和 y轴方向的分速度分别为 ux和 uy,相对于 O点而言,A点在 y方向 的分速度为,B点在 x方向的分速度为 。 因此相对于 O点的对应的角速度分别为
xxu y d
y
y
u x d
第一节 流体微团运动的分析图 4-5 微团角变形运动分析第一节 流体微团运动的分析
A点上
B点上在 dτ时间内对应的角度变化量分别为则 ∠ AOB在 dτ时间内的总变化量为于是,流体微团在 xoy平面内的角变形速度为
y
u
yy
y
u
x
u
xx
x
u
xx
yy
d/d
d/d
dddd
y
u
x
u xy

,
)d(dddd
y
u
x
u
y
u
x
u xyxy




第一节 流体微团运动的分析同理,可得到流体微团在 yoz平面和 xoz平面内的角变形速度 。
因此,流体微团在三个不同平面内的角变形速度分量分别为
(4-12)
)(
2
1
d
)d(
2
1
y
u
x
uy
u
x
u
xy
xy
z
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
y
u
x
u
x
u
z
u
z
u
y
u
xy
z
zx
y
yz
x
第一节 流体微团运动的分析而 (4-13)
上面我们对流体微团的移动,转动和变形运动分别进行了讨论和分析,但在实际情况下,流体微团的运动一般都同时存在着移动,转动和变形运动 。 因此,在分析流体的实际运动状态时,应当进行综合分析和研究 。
222
zyx
第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度内 容 提 要
涡量场的概念
涡线的概念和涡线微分方程
涡管、涡束、涡旋截面的概念
旋涡强度和速度环量的概念
斯托克斯定理
有旋流动的运动学性质第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度在有旋流动的流场中,全部 或 局部地区 的流体微团绕自身轴旋转,于是就形成了一个用涡量或角速度表示的 涡量场,
或称为旋涡场 。 如同在速度场中曾经引入流线,流管,流束和流量一样,在涡量场中,我们引入涡线,涡管,涡束和旋涡强度的概念 。
涡线 是这样一条曲线,在给定瞬时,曲线上每一点的切线都与该点上流体微团的角速度方向相重合 。 因角速度向量的方向和流体微团的旋转轴是一致的,所以 涡线 也就是沿曲线各个流体微团的瞬时转动轴线,如图 4-6所示 。 一般而言,涡线并不与流线相重合,而是与流线相交 。 在稳定流场中,涡线不随时间而改变 。
第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度图 4-6 涡线 图 4-7 涡管第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度从概念上讲,涡线和流线两者是很相似的 。 其区别只是涡线是以角速度向量代替了流线的线速度向量 。 从涡线的定义我们知道,涡线上各点的切线都是各该点上流体微团的瞬时旋转轴,而其向量代表流体微团的旋转角速度 。 于是,我们可用推导流线微分方程类似的方法得到 涡线微分方程,即
(4-14)
在给定的瞬时,在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线,
通过该封闭曲线上每一点作涡线,这些涡线构成一个管状表面,称为 涡管,如图 4-7所示 。 涡管中充满着作旋转运动的流体,亦即涡管中的所有涡线所构成的涡线族,称为 涡束 。
zyx
zyx

ddd
第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度在稳定流场中,涡管和涡束的形状不随时间而改变 。
垂直于涡管中所有涡线的截面称为 涡旋截面 。
涡管中涡量与涡旋截面的乘积称为 旋涡强度,也称为 涡管强度 或 涡通量 。 常用 I来表示 。
对于涡旋截面为 dA的微元涡管 (或涡束 ),其旋涡强度为
(4-15)
那么,整个涡管的旋涡强度可表示为
(4-16)
旋涡强度和流体微团的角速度不能直接测得 。 但根据 实际观察发现,在有旋流动的流场中,流体环绕某一核心旋转时,
AAuI ddr o td
zzyyxA xAA AAAAAuI dddddr o t

第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度旋涡强度越大,旋转速度越快,旋转的范围就越扩大 。 因此可以推断,在有旋流动中,流场的旋涡强度与流体环绕某一核心旋转的线速度分布有密切的关系 。 为了解决这个问题,我们需要引入 速度环量 的概念,利用速度环量可以计算流场中的旋涡强度 。
在流场中任取一封闭曲线 S,如图 4-8所示,则 流速 u沿此曲线的积分称为曲线 S上的速度环量,用 Γ表示 。
(4-17)
速度环量是个标量,它的正负决定于速度的方向和线积分所绕行的方向 。 一般规定积分时以逆时针方向绕行为正 。 当速度在积分线路 上的投影与 同向时,Γ 为正 。
zuyuxusu zys xs dddd
u?
s?ds?d
第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度图 4-8 速度环量第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度设封闭曲线 S所包围的区域 A为单连通域,根据数学分析中的斯托克斯公式,沿封闭曲线 S的线积分可以化为以 S为边界的曲面 A的面积分 。 即
(4-18)
亦即 (4-18a)
式 (4-18)表明,在流场的单连通域中沿任意封闭曲线的速度环量等于通过以该曲线为边界的任意曲面的所有涡束的旋涡强度 。 这个结论在流体力学中称为 斯托克斯定理 。




AA
zzyy
A
xx
xyzx
A
yz
zy
s
x
s
AuAAAA
yx
y
u
x
u
xz
x
u
z
u
zy
z
u
y
u
zuyuxusu


dr o tdddd
dd)(dd)(dd)(
dddd

I
第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度由斯托克斯定理可知,速度环量的存在不但可以决定流场中旋涡的存在,而且还可以衡量封闭曲线所包围的区域内全部旋涡的总旋涡强度 。
在无旋流动的流场中,涡量 ξ=0,所以沿任何封闭曲线的速度环量都等于零 。 反之也可以断定,如果在一个流动区域内沿任何封闭曲线的速度环量都等于零,那么,该区域内就没有旋涡存在,即该区域内的流动一定是无旋流动 。 因此在求解单连通域的总旋涡强度时,不论流场中的旋涡是连续分布还是分散存在,都不必考虑其中无旋流动区域的大小,可直接沿包围这一区域的封闭曲线求其速度环量来确定 。
在有旋流动的流场中,涡量 ξ≠0,所以,一般情况下沿第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度封闭曲线的速度环量不等于零,即流场中的总旋涡强度不为零 。
但是,有时也会遇到沿某一特定的封闭曲线的速度环量等于零,而该封闭曲线所包围的区域内又有旋涡存在的情况 。 这是由于该区域内同时存在几个大小相等,方向相反的旋涡,其旋涡强度相互抵消,使得该区域的总旋涡强度为零,沿封闭曲线的速度环量也为零 。 所以在判断流场是有旋还是无旋时,不能只根据沿某一特定封闭曲线的速度环量是否为零,或根据某一特定区域的总旋涡强度是否为零来判断,而是根据在流场中沿任何封闭曲线的速度环量是否为零,或根据流场中任何区域内的旋涡强度是否都为零来进行判断 。
第二节 涡线、涡管、涡束和旋涡强度有旋流动有一个重要的 运动学性质,在同一瞬时,通过同一涡管各涡旋截面的旋涡强度都相等 。 该性质为亥姆霍兹第一定理,可以通过斯托克斯定理加以证明 。
根据上述性质可以得到以下 推论,
(1)对于同一涡管来说,涡旋截面越小的地方,流体的涡量或旋转角速度越大 。
(2)涡管不可能在流体内部以尖端形式产生或终止,而只能在流体中自行封闭成涡环,或者附在流体的边界上 。 这是因为在涡旋截面趋近于零的地方,流体的旋转角速度趋近于无穷大 。 实际上这是不可能的 。 例如抽烟人吐出的 烟圈 就是自行封闭的涡环；自然界中的 龙卷风 就开始于地面,终止于云层 。
第三节 平面流与流函数内 容 提 要
平面流动的概念
流函数的概念
流函数存在的条件
流函数与速度分量之间的关系
流函数的性质第三节 平面流与流函数如果流场中流体的流动参量只是两个坐标的函数,即流体的流动参量只随平面内不同点的坐标而变化,这种流动就称作 平面流动 。 平面流动实际上就是二维流动 。
流线可以形象地描绘出流场内的流动形态 。 在数学分析上,
我们可以将描述流场特征的所有流线所构成的流线族用一定的函数形式来表示,这种函数就称为 流函数 。
设有一不可压缩流体的二维平面流动,其连续性方程为
(a)
流线微分方程为
0?

y
u
x
u yx
yx u
y
u
x dd?
第三节 平面流与流函数或写成 (b)
根据数学分析可知,如果式 (b)的左边恰好是某一个函数 ψ=ψ(x，
y)的全微分,即
(4-19)
那么式 (b)就是一个全微分方程 。 函数 ψ(x,y)就称为流函数 。
由式 (4-19)
(4-20)
将式 (4-20)代入平面流的连续性方程式 (a),得
x
u
y
u yx

,
yuxuy
y
x
x xy
ddddd


0dd xuyu yx
0
22




yxxyy
u
x
u yx
第三节 平面流与流函数显然,不可压缩流体二维平面流动的连续性方程是 流函数 ψ 存在的充分和必要条件 。 即流函数 ψ永远满足连续性方程 。 另外还可以看出,在流线上 dψ=0或 ψ=常数,并且 在每条流线上都有它自己的流函数值 。
应当指出,在引入流函数这个概念时,既没有涉及流体是粘性的还是非粘性的,也没有涉及流体是有旋的还是无旋的 。
所以,不论是理想流体还是粘性流体,不论是有旋流动还是无旋流动,只要是不可压缩流体的平面流动,就存在着流函数 。
第三节 平面流与流函数流函数存在下列几个重要性质,
1.流函数 ψ(x,y)=C的方程为流线方程 。
2.通过两条流线间各截面上的流体的体积流量都相等,并恒等于两条流线上的流函数值之差 。
设在给定的 某一瞬时,有两条流线 1和 2,它们的流函数值分别为 ψ1和 ψ2,如图 4-10所示 。 现在我们来证明通过二维不可压缩流体流动的两条流线间的各截面上的体积流量都相等,并且恒等于两条流线上的流函数值之差 。 例如通过 AB截面的体积流量 (取单位宽度 )为
2
1
2
1
2
1
12ddd
y
y
yuQ y
y
y
yxAB
第三节 平面流与流函数图 4-10 流量与流函数值的关系第三节 平面流与流函数
AB方向上 x等于常数 。
同理,通过 BC截面的体积流量为
BC方向上 y等于 常数 。 因此得到
Q12=QAB=QBC=ψ 2-ψ 1 (4-21)
由于同一条流线上各点的流函数值都是相同的,所以上式表明沿流线全长两条流线间的体积流量保持不变,并恒等于两条流线上的流函数值之差 。
3.不可压缩流体平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程 。
即
12
1
2
2
1
2
1
dd)(d

x
x
xuQ x
x
x
x yBC
第三节 平面流与流函数
(4-22)
因为对于二维的无旋流动,ωz=0,即而代入上式,有凡是满足拉普拉斯方程的函数,在数学分析上称为调和函数,所以 流函数是一个调和函数 。
02
2
2
2

yx

0
0
2
2
2
2

yx
x
u
y
u
y
u
x
u
yx
xy


，
第三节 平面流与流函数
4.在不可压缩流体平面无旋流动的流场中,流线与等势线处处正交 。 关于等势线的概念及这一性质的证明,将在下一节中介绍 。
对于圆柱坐标系来说,流函数与速度分量之间的关系为
(4-23)
(4-24)
ddd
1
ruru
r
u
r
u
r
r


,
第四节 势流与速度势函数内 容 提 要
势流的概念
速度位势和速度势函数的概念
速度势函数存在的条件
速度势函数与速度分量之间的关系
速度势函数的性质第四节 势流与速度势函数在有旋流动的流场中,流体质点除具有一定的运动速度
(线速度 )外,还存在着一定的旋转速度 (角速度 ),即 在有旋流动的流场中,既有速度场 u(x,y,z),又有涡量场 ξ(x,y,z)。
一般来说,有旋流动要比无旋流动复杂得多 。 所以 对于一些旋涡强度很弱的有旋流动,可以近似作为无旋流动来处理,这样将会给问题的解析和研究带来可能和方便 。
流体的无旋流动,即角速度 ω=0的流动也称为 有势流动,
简称为 势流 。
在势流流场中,各流体质点仅具有速度向量,而没有角速度向量 。 一般情况下,在某一瞬时,流线上各流体质点的速度具有不同的大小和方向,它们各自具有不同的 速度位势 。
第四节 势流与速度势函数所谓 速度位势 就速度向量在某一方向上的投影与该方向上一段距离的乘积,即 。 如果我们将流场中各流线上具有相同速度位势的点连接起来,所组成的线 (或面 )就称为等势线 (或等势面 )。 速度向量垂直于等势线 (或等势面 )。 在同一条等势线上各流体质点具有相同的速度位势,而在不同的等势线上流体质点将具有不同的速度位势 。 因此,与流线一样,用等势线也可以描述流场的特征 。 对于不同的等势线 (或等势面 )也可以用一定的函数形式来表示,这种函数就称为 速度势函数,
或简称为 速度势 或 势函数 。
在势流流场中,其涡量 (或旋转角速度 )为零,即由式 (4-4)
有
su d?
第四节 势流与速度势函数
(a)
由数学分析可知,上式 (a)是表达式成为某一函数 的全微分的充分必要条件 。 因此,在无旋流动的条件下必然存在函数,它和速度分量 ux,uy,uz的关系为
(4-25)
y
u
x
u
x
u
z
u
z
u
y
u
xy
zx
yz
zuyuxu zyx dddd
zuyuxu zyx ddd
)( zyx,，
)( zyx,，
第四节 势流与速度势函数在给定瞬时,函数 的全微分又可写成比较以上两式,可以得出
(4-26)
函数 就称为速度势函数 。 对于稳定流动 ；
对于非稳定流动,但一般时间 τ 是作为参变量出现的 。 将式 (4-26)代入式 (a),可以发现势函数 的二阶偏导数与求导次序无关 。
z
u
y
u
x
u zyx


,，
z
z
y
y
x
x
dddd



)(,，,zyx?
)( zyx,，
第四节 势流与速度势函数由以上讨论可知,只要流动是无旋的,就一定存在速度势函数 。 反之,只要流场中存在速度势函数,则流动就必定是无旋的 。
速度势函数 φ 存在以下几个重要性质,
1.速度势函数 =C的方程为等势线方程 。 而速度势函数 =C的方程为等势面方程 。
2.速度势函数的梯度就是流场中流体的速度 。 或者说,流体的速度即为速度势函数的梯度 。 按向量分析,有
(4-27)
g r a d kzjyixkujuiuu zyx

)( zyx,，
)( yx,
第四节 势流与速度势函数另外,根据速度位势的定义可知,速度势函数在任意方向上的偏导数等于速度在该方向上的投影 。 根据方向导数的定义,函数 φ 在任一方向 l上的方向导数为
3.不可压缩流体的有势流动,其速度势函数满足拉普拉斯方程 。
将式 (4-26)代入不可压缩流体的连续性方程,可得
(4-28)
lzyx uzluyluxlu
zl
z
yl
y
xl
xl

),c o s (),c o s (),c o s (
),c o s (),c o s (),c o s (


02
2
2
2
2
2


zyx

第四节 势流与速度势函数式 (4-28)是拉普拉斯方程 。 速度势函数 满足拉普拉斯方程,
因而它也是一个调和函数 。
对于不可压缩流体的平面无旋流动,其流函数和速度势函数同时存在 。 比较式 (4-20)和式 (4-26)可知,流函数 ψ 和速度势函数 存在如下的关系
(4-29)
或写成
(4-29a)
满足上述关系的两个调和函数称为 共轭调和函数 。 已知其中的一个函数就能够求出另一个函数 。
0?

yyxx
xyyx


，
第四节 势流与速度势函数
4.在不可压缩流体平面无旋流动的流场中,等势线与流线处处正交 。 这也是前述流函数的重要性质之一 。
我们可以通过求流场中任一点上流线的斜率和等势线的斜率,来证明不可压缩流体平面无旋流动的流场中,等势线与流线处处正交 。 对流场中的任意一点,由流线微分方程可得流线在该点的斜率为
(b)
由等势线微分方程 uxdx+uydy=0可得等势线在该点的斜率为
(c)
x
y
u
u
x
y?
d
d
y
x
u
u
x
y
d
d
第四节 势流与速度势函数由式 (b)和 (c)可知,流线的斜率和等势线的斜率互为负倒数的关系,或者它们两者的乘积等于负一 。 这就说明,在不可压缩流体平面无旋流动的流场中,等势线与流线是处处正交的 。
此外,由数学分析可知,式 (4-29)也是等势线族和流线族互相垂直的条件,即正交性条件 。 即由式 (4-29)也可以证明速度势函数及流函数的上述性质 。 因此,在平面上可以将等势线族和流线族构成正交网络,称为 流网,如图 4-12所示 。 有了流网就可以近似地得出流场中各点的速度分布,从而也可以得出压力分布 。 即 在流场中,流线愈密集的地方,其流速愈大,
而压力愈小 。 它是求解稳定平面势流的近似图解法 。
第四节 势流与速度势函数图 4-12 流网第四节 势流与速度势函数
5.在势流流动的流场中,沿任意曲线上的速度环量等于该曲线两端点上的速度势函数值之差,而与曲线的形状无关 。
沿任意曲线 ab的速度环量为
(4-30)
式 (4-30)说明,在 势流流场中,沿任意曲线 ab的速度环量只取决于起点 a和终止 b的位置,而与曲线 ab的形状无关 。 如果 a点和 b点重合,则曲线 ab为一条封闭曲线,因此 Γab=0。



b
a
ab
b
a
zy
b
a
xab
z
z
y
y
x
x
zuyuxu


dddd
ddd
第四节 势流与速度势函数在圆柱坐标系下,速度势函数与速度分量之间的关系为
(4-31)
(4-32)
此外,我们可以证明,对于稳定的有势流动来说,流场中所有流线的伯努利常数都相同 。 证明从略 。
zururu
z
u
r
u
r
u
zr
zr
dddd
1



,，
第五节 几种基本的平面有势流动内 容 提 要
一,均匀直线流
二,源流和汇流
三,涡流和点涡第五节 几种基本的平面有势流动一,均匀直线流当流体作匀速直线运动时,流场中各点的速度都是大小相等,方向相同的,这种流动就称为 均匀直线流,又称为 等速平行流 。
如图 4-13所示,流体的流动方向与 x轴的夹角为 θ,流场中各点的速度均为 u0,且 u0为一定值 。 则 x和 y方向 的分速度为
ux=u0cosθ,uy=u0sinθ (4-35)
其流函数及速度势函数可由下式求出
dψ=uxdy-uydx=u0cosθdy-u0sinθdx
dφ=uxdx+uydy=u0cosθdx+u0sinθdy
第五节 几种基本的平面有势流动图 4-13 均匀直线流动积分上式可得流函数 ψ 及速度势函数 φ
ψ=u0cosθy-u0sinθx+C1
φ=u0cosθx+u0sinθy+C2
以上两式中的积分常数 C1和 C2可以任意选取,而不影响流体的流动图形 。 若令 C1=C2=0,得
ψ=u0cosθy-u0sinθx=u0(ycosθ-xsinθ)
φ=u0cosθx+u0sinθy=u0(xcosθ+ysinθ) (4-36)
由式 (4-36)可以看出,等势线族 (φ=常数 )和流线族 (ψ=常数 )在流场内处处正交,而且它们都为平行直线,如图 4-13所示 。 各流线与 x轴的夹角为 θ =tg-1(uy0/ux0)。
第五节 几种基本的平面有势流动第五节 几种基本的平面有势流动若流动平行于 x轴,则函数 及 成为
(4-36a)
当流动平行于 y轴时,
(4-36b)
由于流场中各点的速度都相等,根据伯努利方程可以得到
(4-37)
xu
yu
0
0

yu
xu
0
0
Czp

第五节 几种基本的平面有势流动如果均匀直线流动是在同一水平面内,或者重力的影响可以忽略不计时,则有
p=C (4-37a)
即在水平均匀直线流动的流场中,压力是处处相等的 。
第五节 几种基本的平面有势流动二,源流和汇流如图 4-14a所示,设无限平面内有一点 O,流体不断地从 O
点流出后,沿径向均匀地向四周各个方向继续扩散流动,这种流动称为 源流,或简称 点源,O点称为 源点 。 与此相反,若流体不断地沿径向均匀地从四周各个方向流入 O点,则这种流动称为 汇流,或简称 点汇,O点称为 汇点,如图 4-14b所示 。
显然,这两种流动的流线都是从 O点发出的射线,即流体从源点流出和向汇点流入都只有径向速度 ur,而切向速度 uθ为 零 。
现以 O点为原点取柱坐标 (如图 4-14)。 对于不可压缩流体的稳定流动来说,流体每秒钟通过任一半径为 r的单位长度圆柱面上的体积流量 Q都应该相等,即 Q=2πrur=常数 。 流量 Q
第五节 几种基本的平面有势流动图 4-14 源流和汇流第五节 几种基本的平面有势流动又称为 源流强度 (或 汇流强度 ),单位是米 3/秒 ·米 。 由此可得源流 (或汇流 )流场的速度分布为
(4-38)
对于源流,Q＞ 0,因而 ur＞ 0,因此有积分以上两式,并令积分常数 C=0,得
0
2

u
r
Qu
r,
r
rQ
rururu
Q
r
r
Q
rururu
rr
rr
d
2
dddd
d
2
d
2
dddd




第五节 几种基本的平面有势流动
(4-39)
由式 (4-39)可以看出,流线族是以源点为起点的辐射线,
而等势线族是以源点为圆心的同心圆,这说明等势线族与流线族是正交的 。
汇流与源流是互逆过程,流函数和速度势函数的表达式与源流相同,只是符号相反,即
(4-40)



22
1-
ln
2
ln
2
tg
22
yx
Q
r
Q
x
yQQ




22
1-
ln
2
ln
2
tg
22
yx
Q
r
Q
x
yQQ

第五节 几种基本的平面有势流动由于 ur=Q/2πr,当 r→ 0时,ur→∞,所以源点和汇点都是奇点 。 因此其流函数和速度势函数只有在源点或汇点之外才存在,
即除源点或汇点外,整个平面流场上都是有势流动 。
下面来分析一下源流和汇流流场的压力分布情况 。 如果
xoy平面 是无限水平面,则根据伯努利方程,有式中 p∞为在 r→∞ 处的流体压力,该处的速度为 ur=Q/2πr=0。
将 ur=Q/2πr代入上式,得
(4-41)
pup r
2
2
1?
22
2 1
8 r
Qpp

第五节 几种基本的平面有势流动上式说明,压力 p随着半径 r的减小而降低,当 r=r0=
时,p=0。 当 r＜ r0时,绝对压力将出现负值,实际上这是不可能的 。 因此,实际中的源点和汇点是有一定截面积的 。 图 4-15
绘出了当 r0＜ r＜ ∞时点汇沿半径 r的压力分布规律 。
p
Q
2
2
8?
第五节 几种基本的平面有势流动
4-15 点汇沿半径的压力分布第五节 几种基本的平面有势流动三,涡流和点涡设有 一旋涡强度为 I的无限长直线涡束,该涡束象刚体一样以等角速度 ω绕自身轴旋转,并带动涡束周围的流体绕其环流,由于直线涡束为无限长,所以可以认为与涡束垂直的所有平面上流动情况都一样 。 就是说,这种绕无限长直线涡束的流动可以作为平面流动来处理 。 这种由涡束诱导出来的平面流动,
称为 涡流 。 设涡束轴为 z轴,则由涡束所诱导的环流的流线在
xoy平面内都是以坐标原点 O为圆心的同心圆,如图 4-16所示 。
由于涡束以等角速度旋转,因此,涡束 外流体沿同一圆周流线的流动是等速的 。 然而各条不同的圆周流线上流体的速度是不相同的,速度沿半径方向的变化规律可由斯托克斯定理求得 。
第五节 几种基本的平面有势流动图 4-16 涡束诱导出的涡流第五节 几种基本的平面有势流动由斯托克斯定理可知,沿任何圆周流线的速度环量都等于涡束的旋涡强度,即 Γ=2πruθ=I=常数于是
(4-42)
因此,在涡束外流体的速度与半径成反比；而在涡束内,流体则如同刚体一样以等角速度 ω 绕其自身轴旋转,速度与半径成正比,即 uθ=ωr,如图 4-16所示 。 我们 称涡束外的流动区域为势流旋转区,称涡束内的流动区域为 涡核区 。
若涡束的半径 r0→ 0,则涡束就成为一条涡线,这样的涡流称为 点涡,或称 自由涡 。 当 r0→ 0时,uθ →∞,因此涡点是一个奇点,所以 点涡又称 纯环流 。
r
uu r
20,
第五节 几种基本的平面有势流动现在我们来求涡核外势流区的流函数和速度势函数 。 由于积分以上两式,并令积分常数 C=0,得势流区的流函数和速度势函数为
(4-43)
当 Γ>0时,uθ>0,环流为逆时针方向；当 Γ<0时,uθ<0,环流为顺时针方向 。






d
2
dddddd
d
2
dddddd


rururur
r
r
r
rururur
r
r
r



x
y
yxr
1-
22
tg
22
ln
2
ln
2
第五节 几种基本的平面有势流动注意,在涡核区内,流函数为,速度势函数不存在 。
由式 (4-43)可知,涡流的流线族是以涡点为圆心的同心圆周线,而等势线族则是从涡核边缘发出的放射线 。 对于点涡来说,等势线族则是从涡点发出的放射线,即除了涡点以外,整个平面流场都是有势流动 。
下面我们再来分析一下涡流流场内的压力分布规律 。 已知涡束的半径为 r0,涡束边缘上的速度为 uθ0=Γ/2πr0,压力为 p0；
当 r→∞ 时,速度 uθ显然为零,而压力为 p∞。
将式 (4-42)代入伯努利方程 (4-34),得 涡束外势流区的压力分布规律为：
2
2
1 r
第五节 几种基本的平面有势流动
(4-44)
式 (4-44)说明,在涡束以外的势流区内,压力 p随着半径 r的减小而降低 。 从式 (4-44)还可知,当 r→ 0处,p→ -∞,显然这是不可能的 。 所以在涡束内确实存在着如同刚体一样,以等角速度旋转的旋涡区域,即涡核区 。 涡核边缘上的压力为
(4-45)
或写成
(4-45a)
22
2
2 1
82
1
r
pupp



2
0
2
2
2
00
2
0
2
2
2
0
1
82
1
1
82
1
r
upp
r
pupp
o



第五节 几种基本的平面有势流动由式 (4-45a)可以看出,在涡核以外的势流区内,从无穷远处到涡核边缘的压力降是一个常数,它等于以涡核边缘的速度计算的动压 。
由于涡核内为有旋流动,各条流线的伯努利常数不同,因此,流体在径向的压力分布只能根据欧拉运动微分方程求得 。
沿流线主法线方向的欧拉运动微分方程为由于压力 p只沿 r方向变化,令 z=0,并且涡核内 uθ=ωr,故上式可改写为
r
u
r
zg
r
p 21?

rrr
r
up ddd 22
第五节 几种基本的平面有势流动对上式积分,得积分常数 C由边界条件确定 。 在 r=r0处,p=p0,uθ=uθ0,代入上式得积分常数 C为最后得到 涡核区内的压力分布为：
(4-46)
或
(4-46a) 22202
22
0
2
1
2
1
rrpp
uupp





2
0
2
0
2
0
2
00 2
1
2
1
2
1
upuupupC
CuCrp 222 2121
第五节 几种基本的平面有势流动于是,涡核中心的压力为
(4-47)
而涡核边缘的压力为所以
(4-48)
由式 (4-48)可知,在涡核区内,从涡核边缘到涡核中心的压力降为一常数,且等于以涡核边缘的速度计算的动压 。 比较式
(4-45a)和式 (4-48)还可以发现,涡核内,外的压力降是相等的,
都等于以涡核边缘的速度计算的动压 。 涡核内,外的速度分布和压力分布如图 4-17所示 。
2 0 upp c
2
00
2
00
2
1
2
1
upp
upp
c


第五节 几种基本的平面有势流动图 4-17 涡流中涡核内,外的速度和压力分布第五节 几种基本的平面有势流动由于涡核区的压力比涡核外势流区的压力低,故涡流有很强的抽吸作用,它能把势流旋转区中的部分流体抽吸到涡核区内来 。
第六节 有势流动的叠加内 容 提 要
一,螺 旋 流
二,偶 极 流
三,均匀直线流绕圆柱体无环量的平面流动第六节 有势流动的叠加凡是满足拉普拉斯方程的函数在数学分析中都称为调和函数 。 所以流函数和速度势函数都是调和函数 。 根据调和函数的叠加原理,即 若干个调和函数的线性组合仍然是调和函数,
可以将若干个有势流动的速度势函数 (或流函数 )线性组合成一个新的有势流动的速度势函数 (或流函数 )。 如
(4-49)
式中 φ1,φ2,φ3… 和 ψ1,ψ2,ψ3… 分别代表几个简单有势流动的速度势函数和流函数 。 显然,叠加后新的有势流动的速度势函数 φ 和流函数 ψ 也满足拉普拉斯方程 。 根据速度势函数
(或流函数 )与速度分量之间的关系可得




321
321


第六节 有势流动的叠加
(4-50)
或 (4-50a)
式 (4-49)至式 (4-50a)表明,几个简单有势流动的速度势函数及流函数的代数和等于新的有势流动的速度势函数和流函数,它的速度是这些简单有势流动速度的向量和 。
上述叠加原理的方法虽然简单,但在实用上有很大意义,
我们可以应用这一原理,把一些简单的平面有势流动叠加成所需要的新的复杂的有势流动 。 或者将一复杂的有势流动分解几个已知的简单有势流动来分析 。
下面举几个平面有势流动叠加的例子 。







321
321
321
uuuu
uuuu
uuuu
yyyy
xxxx
第六节 有势流动的叠加一,螺旋流螺旋流 是由点源或者点汇流动和点涡流动叠加 (源点或者汇点和涡点重合 )而成的 。 将点源或者点汇 和点涡的速度势函数及流函数分别相加,即可得到螺旋流的速度势函数和流函数 。
如点汇和点涡叠加后得到的螺旋流的速度势函数和流函数为
(4-51)
式中 Γ 取逆时针方向为正 。 令以上两式等于常数,便可得到等势线方程和流线方程为



)ln(
2
1
ln
22
)ln(
2
1
2
ln
2
rQr
Q
rQr
Q



第六节 有势流动的叠加
(4-52)
或写成
(4-53)
式中 C1,C2是两个常数 。 显然,等势线族和流线族是两组相互正交的对数螺旋线族 (如图 4-18),所以称为 螺旋流 。 在图 4-18
所示的螺旋流动 (点汇和点涡叠加的结果 )的流场中,流体是从四周向中心流动 。 工程上常用的 离心分离 器,旋风除尘器 以及水力涡轮机 等设备中的旋转流体的流动情况即可近似看成是这种螺旋流 。


Q
Q
eCr
eCr
2
1



CrQ
CrQ
ln
ln


第六节 有势流动的叠加图 4-18 螺旋流 图 4-19 风机外壳中的流动第六节 有势流动的叠加上述螺旋流的 径向速度 和 切向速度 分别为
(4-54)
总速度为
(4-54a)
代入伯努利方程 (4-34),得流场中的 压力分布为：
(4-55)
式中 p∞为 r→∞ 处的压力,该处的速度 u=0。 对于流场中不同的两点,由伯努利方程可得
(4-56)
r
Q
r
Q
uuu
rr
u
r
Q
r
u
r
r
24
2
1
2
22
22
22
22?


22
22
2 1
8
)(
2
1
r
Qpupp


)11(
8
)(
2
1
2
2
2
22
21 rr
Qpp
第六节 有势流动的叠加式中 p1,p2为螺旋流流场中 1,2两点上的压力； r1,r2为 1,2两点距螺旋流中心的距离 。
对于 离心式水泵,风机 等涡壳中的流动可以近似看作是由点源和点涡叠加而成的螺旋流的例子,如图 4-19所示,其流动方向与图 4-18所 示的螺旋流的方向相反 。
第六节 有势流动的叠加二,偶极流偶极流是同强度的点源和点汇叠加的结果 。 若把点源和点汇无限靠近,即源点和汇点间的距离 ΔS→ 0,并且在 ΔS→ 0的同时,强度 Q→∞,以使得 ΔSQ=常数,这样便得到一个所谓的偶极流的有势流动 。
如图 4-20所示,为一把强度为 Q的点源和强度为 -Q的点汇分别放在坐标系的 A点 (-a,0)和 B点 (a,0)上,叠加后得到的流动图形 。 叠加后的速度势函数和流函数分别为
(4-57)
(4-58)?


2
)(
222
ln
2
ln
2
ln
2
QQQQ
r
rQ
r
Q
r
Q
BABAAB
B
A
BAAB


第六节 有势流动的叠加图 4-20 点源和点汇的叠加第六节 有势流动的叠加式中 α为动点 P(x,y)与源点 A和汇点 B的连接线之间的夹角 。 由流线方程 ψ=常数,得 α=常数 。 就是说,流线是经过源点 A和汇点 B的圆周线族,而且从源点流出的 流量全部流入汇点 。
现在来分析在点源与点汇无限接近的同时,流量 Q无限增大 (即 a→ 0时,Q→∞),以使得 2aQ保持一个有限常数 M的极限情况,即偶极流的情况 。 M=2aQ称为 偶极矩,或称为 偶极强度,单位为米 4/秒 ·米或米 3/秒,方向是从源点到汇点 为正 。
偶极流的速度势函数和流函数可由式 (4-57)和式 (4-58)根据上述条件推导出来 。 由式 (4-57)得
)1(ln
2
ln
2 B
BA
B
A
AB r
rrQ
r
rQ

第六节 有势流动的叠加图 4-21 推导偶极流速度势和流函数用图第六节 有势流动的叠加如图 4-21所示,当 A点和 B点向原点 O无限靠近时,rA-
rB≈2acosθA,而且当 2a→ 0,Q→∞ 时,2aQ=M,rA→r B→r,
θA→θ B→θ 。 又由于当 ε为无穷小时,可以略去高阶项,即 ln(1+ε)≈ε。 因此,偶极流的速度势函数为
(4-59)
432)ln ( 1
432

222
Q
02a
Q
02a
Q
02a
2
c o s
2
c o s
2
)
c o s2
2
(lim)]
c o s2
1ln (
2
[limlim
yx
xM
r
rM
r
M
r
aQ
r
aQ
B
A
B
A
AB






第六节 有势流动的叠加由式 (4-58)得又因为当 ε→ 0时,tg-1ε≈ε。 所以偶极流的流函数为
222
1
2
1
BA
BA1
2
tg
2
))((
1
tg
2
tgtg1
tgtg
tg
2
)(
2
ayx
yaQ
axax
y
ax
y
ax
y
Q
QQ
BAAB










753
tg
753
1
第六节 有势流动的叠加
(4-60)
令式 (4-60)等于常数 C1,得流线方程为即流线是半径为 M/4πC1,圆心为 (0,-M/4πC1)且与 x轴在原点相切的圆周线族,如图 4-22中实线所示 。
同样,令式 (4-59)等于常数 C2,得等势线方程为
r
M
r
rM
yx
yM
ayx
yaQ
ayx
yaQ
Q
a
Q
a


s in
2
s in
22
)
2
2
(lim)
2
tg
2
(lim
222
222
02
222
1-
02






2
1
2
1
2 )
4
()
4
(
C
M
C
Myx


2
2
22
2
)
4
()
4
(
C
My
C
Mx


第六节 有势流动的叠加图 4-22 偶极流的流线和等势线第六节 有势流动的叠加即等势线是半径为 M/4πC2,圆心为 (M/4πC2,0)且与 y轴在原点相切的圆周线族,如图 4-22中虚线所示 。
偶极流的流场中 速度分布为：
在直角坐标系下
(4-61)
在圆柱坐标系下
(4-62)




2
2
222
222
22
s i n
2
c o s
2
)(
2
2
)(2
r
M
r
u
r
M
r
u
yx
yxM
y
u
yx
yxM
x
u
r
y
x

第六节 有势流动的叠加偶极流的总速度为
(4-63)
偶极 流流场内的 压力分布 可由伯努利方程计算得到 。 在流场中 r→∞ 处的压力为 p∞,速度 u∞=0,将式 (4-63)代入伯努利方程 (4-34),得
(4-64)
对于流场中不同两点间的压力差为
(4-65)
2
2222
2 r
Muuuuu
ryx
42
2
2 1
82
1
r
Mpupp


)11(
8 41422
2
21 rr
Mpp
第六节 有势流动的叠加三,均匀直线流绕圆柱体无环量的平面流动设有一在无穷远处 速度为 u∞的均匀直线流 (平行流 ),从与圆柱体轴垂直的方向绕过一半径为 r0的无限长圆柱体流动,如图 4-23所示,这一流动可认为是 由 均匀直线流 和 偶极流 叠加而成的 组合平面流动 。 根据式 (4-36a)与式 (4-59)和式 (4-60)可得组合流动的速度势函数与流函数 分别为
(4-66)
(4-67)
)
1
2
1(
2
)
1
2
1(
2
2222
2222
yxu
M
yu
yx
yM
yu
yxu
M
xu
yx
xM
xu








第六节 有势流动的叠加图 4-23 平行流绕圆柱体无环量的流第六节 有势流动的叠加于是,流线方程 为选取不同的常数值 C,可得如图 4-23所示的流动图形 。 当 C=0
时,ψ=0,该流线 称为 零值流线 。 零值流线的方程为即由此可知,零值流线是 x轴和一个以坐标原点为圆心,半径为的圆周线所构成的图形 。 该流线到 A点 (驻点 )处
C
yxu
Myu?
)
1
2
1( 22

u
M
yxy
yxu
M
yu
2
0
0)
1
2
1(
22
22
，
uMr?20
第六节 有势流动的叠加分成两股,沿上下两个半圆周流到 B点 (驻点 )又重新汇合 。 由于流体不能穿过零值流线,因此,一个均匀直线流绕半径为 r0
的圆柱体的平面流动,可以用这个均匀直线流与一个偶极矩为
M=2πu∞r20的偶极流叠加而成 的组合流动来代替 。 于是,均匀直线流绕圆柱体无环量的平面流动的速度势函数和流函数也可以写成
(4-66a)
(4-67a)
以上两式中的 r≥r0,因为 r＜ r0在圆柱体内,没有实际意义 。


s in)1()1(
c o s)1()1(
2
2
0
22
2
0
2
2
0
22
2
0
r
r
r
u
yx
r
yu
r
r
r
u
yx
r
xu






第六节 有势流动的叠加流场中任一点的速度分量为
(4-68)
在 x=∞,y=∞处,ux=u∞,uy=0。 这表明在离开圆柱体无穷远处,
均匀直线流未受圆柱体的干扰,仍为均匀直线流 。 在图 4-23中的 A点 (-r0,0)和 B点 (r0,0)处,ux=uy=0,A为前驻点,B为后驻点 。


222
2
0
222
222
0
)(
2
]
)(
)(
1[
yx
yx
ru
y
u
yx
yxr
u
x
u
y
x
第六节 有势流动的叠加对于圆柱坐标系,速度分量为
(4-69)
沿包围圆柱体的任意圆周线的速度环量为即均匀直线流绕圆柱体的平面流动其速度环量为零 。
当 r=r0时,即 在圆柱面上,
(4-70)


s in)1(
1
c o s)1(
2
2
0
2
2
0
r
r
u
r
u
r
r
u
r
u
r
0ds in)1(d 2
2
0
rr
rusu

s in2
0
uu
u r
第六节 有势流动的叠加图 4-24 在平行流绕圆柱体无环量流动中圆柱面上的速度分布第六节 有势流动的叠加这说明 流体沿圆柱面只有切线方向的速度,而没有径向速度 。
这也证实了该组合流动符合流体不穿入又不脱离圆柱面的边界条件 。 在圆柱面上,速度是按正弦曲线规律分布的,如图 4-24
所示 。 在前,后驻点处流速为零；在 θ=± π/2处,流速最大,
其值为无穷远处速度的二倍 。
圆柱面上各点的压力分布,可由伯努利方程求得,即式中 p∞为无穷远处流体的压力 。 将式 (4-70)代入上式,得
(4-71)
22
2
1
2
1
upup
)s i n41(
2
1 22
upp
第六节 有势流动的叠加在工程上常用 无因次压力系数 来表示流体作用在物体上任一点的压力,它的定义为
(4-72)
将式 (4-71)代入上式,
(4-73)
由此可见,沿圆柱体表面的无因次压力系数 Cp既与圆柱体的半径 r0无关,也与无穷远处的速度 u∞和压力 p∞无关,仅 与 θ 角有关 。 这就是在研究理想流体无环量绕流圆柱体的柱面上的压力时,利用这个压力系数的方便所在 。
2
2
1

u
pp
C p
2s in41pC
第六节 有势流动的叠加根据式 (4-73)计算出的理论无因次压力系数曲线如图 4-25
所示 。 应当注意,在计算时,θ角是从前驻点 A起沿顺时针方向增加 。 ① 在 前驻点 A(θ=0° )上,速度等于零,Cp=1,压力达到最大值,pA=p∞+ρu2∞/2。 ② 在垂直于来流方向的 最大截面
D点 (θ=90° )上,速度最大,Cp=-3,压力降到最小值,pD=p∞-
3ρu2∞/2。 ③ 在 后驻点 B(θ=180° )上,速度又等于零,Cp=1，
压力又达到最大值,pB=p∞+ρu2∞/2。 180° ≤θ≤360° 范围内的理论曲线与 0° ≤θ≤180° 范围内的完全一样,即圆柱面上所受的流体压力上下左右都是对称的 。 因此,作用在圆柱面上的压力在各个方向上都 互相平衡,合力等于零 。 这可证明如下：
第六节 有势流动的叠加图 4-25 压力系数沿圆柱面的分布第六节 有势流动的叠加图 4-26 推导理想流体对圆柱体的作用力用图第六节 有势流动的叠加如图 4-26所示,在单位长度的圆柱体上,作用在微元弧段
ds=r0dθ上的微小总压力 dF=pr0dθ,则 dF沿 x和 y轴的分量为
(4-74)
式中的负号是 考虑到当 θ为正值时,dFx和 dFy的方向分别与 x和
y轴的方向相反 。 将式 (4-71)代入以上 二式,并积分,便得到流体作用在圆柱体上的总压力沿 x和 y轴方向的分量为




ds i nd
dc o sd
0
0
prF
prF
y
x






2
0
22
0
2
0
22
0
0ds in)]s in41(
2
1
[
0dc o s)]s in41(
2
1
[
uprFF
uprFF
yL
xD
第六节 有势流动的叠加即理想流体作用在圆柱面上的压力的合力等于零 。 流体作用在圆柱面上的总压力沿 x和 y轴方向的分量,即圆柱面受到的与来流方向平行的和垂直的作用力分别称为流体作用在圆柱体上的阻力 和 升力,并分别用 FD和 FL表示 。 这就是说,当理想流体的均匀直线流无环量地绕流圆柱体时,没有作用在圆柱体上的阻力和升力 。
本 章 小 结一、基本概念：
二、基本定律和基本方程：
三、重要的性质和结论：

流体力学与流体机械
(五 )
多媒体教学课件李文科 制作第五章 粘性流体的流动阻力与管路计算
第一节 流体的流动状态
第二节 粘性流体总流的伯努利方程
第三节 流动阻力的类型
第四节 圆管内流体的层流流动
第五节 圆管内流体的紊流流动
第六节 沿程阻力的计算第五章 粘性流体的流动阻力与管路计算
第七节 局部阻力的计算
第八节 孔口及管嘴流出计算
第九节 管 路 计 算第五章 粘性流体的流动阻力与管路计算实际流体都具有粘性,称为 粘性流体 。 粘性流体流经固体壁面时,紧贴固体壁面的流体质点将粘附在固体壁面上,它们与固体壁面的相对速度等于零 。 既然流体质点要粘附在固体壁上,受固体壁面的影响,则在固体壁面和流体的主流之间必定存在一个由固体壁面的速度过渡到主流速度的流速变化的区域；
若固体壁面是静止不动的,则要有一个由零到主流速度 u∞的流速变化区域 。 由此可见,在同样的流道中流动的理想流体和粘性流体,它们沿截面的速度分布是不同的 。 对于流速分布不均匀的粘性流体,在流动的垂直方向上 存在 速度梯度,在相对运动的流层之间必定 存在切向应力,于是 形成 流动阻力 。 要克服阻力,维持粘性流体的流动,就要消耗机械能 。
第五章 粘性流体的流动阻力与管路计算消耗掉的这部分机械能将不可逆地转化为 热能 。 可见,在粘性流体流动的过程中,其机械能是逐渐减小的,不可能是永远守恒的 。
综上所述,当考虑流体的粘性作用时,第三章所讨论的几个基本方程式,除了同作用力无关的连续性方程外,都应加以修正才能够使用 。
另外,通过实践和实验发现,粘性流体在流动过程中所产生的阻力与流体的 流动状态 有关,不同的流动状态,产生阻力的方式及阻力的大小也不相同 。 因此,我们有必要先了解流体的流动状态 。
第一节 流体的流动状态内 容 提 要
1,层流和紊流的概念
2,上临界速度和下临界速度
3,雷诺数的概念
4,如何判别流体的流动状态第一节 流体的流动状态
1,层流和紊流的概念：
根据粘性流体的流动性质不同,可将其分为 层流 和 紊流两种流动状态 。 对于不同的流动状态,流场的速度分布,产生阻力的原因,方式和大小,以及传热,传质等规律都各不相同 。
英国物理学家雷诺早在 1883年通过实验研究指出,自然界中流体的流动有两种不同的状态,即层流和紊流 。 雷诺实验装置如图 5-1a所示 。 水不断由进水口注入水箱 A,靠溢流维持水箱内的水位不变,以保持玻璃管 D中的水流为稳定流动 。 小容器 B内装有重度与水相近但不与水相溶的红色液体 。 C与 K为调节阀门 。 微开 K阀,使水以很低的速度从玻璃管 D中流过,
第一节 流体的流动状态图 5-1 雷诺实验第一节 流体的流动状态然后再 开 C阀,使红色液体流入玻璃管,稳定后便可看到一条明晰的红色直线流不与周围的水相混,这表明流体质点只作沿管轴线方向的直线运动而无横向运动,如图 5-1b。 此时沿圆管截面水是分层流动,各层间互不干扰,互不相混,各自沿直线向前流动 。 这种有规则有秩序的流动状态称为 层流 或 片流 。
慢慢开大 K阀,逐渐增加流速,在一段时间内仍能继续保持玻璃管内的流动为层流流动 。 当流速增加到一定值时,管内红色直线流开始波动,呈现波纹状,如图 5-1c所示 。 这表明层流状态开始被破坏,流体质点有了与主流方向垂直的横向运动,能从这一层运动到另一层 。 如果继续增大管内流速,红色线流就更剧烈地波动,最后发生断裂,混杂在很多小旋涡中,红色液第一节 流体的流动状态体很快充满全管,把整个管内的水染成淡红色,如图 5-1d所示 。
这表明此时管内的水向前流动时,处于完全无规则的紊乱状态,
这种杂乱无章,相互掺混的流动状态称为 紊流 或 湍流 。
2,上临界速度和下临界速度：
由上述操作可见,随着水流速度的增大,水流将由层流状态过渡到紊流状态 。 由层流过渡到紊流的临界状态下的流体速度称为 上临界速度,用 uc′表示 。
当玻璃管内的水流已经是紊流运动,此时逐渐关小阀门 K，
使水流速度逐渐减小,当水流速度减小到一定程度时,紊乱的红色液体又将重新成为一条明晰的红色直线流,即紊流又第一节 流体的流动状态转变为层流 。 但是,由紊流转变为层流的临界速度比上临界速度 uc′更低,称为 下临界速度,用 uc表示 。 (1)当流体的流速超过上临界速度时 (u>uc′),管内水流一定是紊流状态； (2)当流体的流速低于下临界速度时 (u

流体力学与流体机械
(六 )
多媒体教学课件李文科 制作第六章 粘性流体绕物体的流动
第一节 粘性流体的运动微分方程
第二节 附面层的基本特征
第三节 层流附面层的微分方程式
第四节 附面层的动量积分方程式
第五节 附面层位移厚度和动量损失厚度
第六节 平板层流附面层的计算第六章 粘性流体绕物体的流动
第七节 平板紊流附面层的近似计算
第八节 平板混合附面层的近似计算
第九节 曲面附面层的分离现象
第十节 粘性流体绕圆柱体的流动
第十一节 粘性流体绕球体的流动第六章 粘性流体绕物体的流动在自然界和工程实际中存在着大量的 流体绕物体的流动问题 (简称 绕流问题 ),例如河水流过桥墩；飞机在空中飞行；船舶在海洋中航行；汽轮机,泵和压气机中流体绕叶栅的流动；
在锅炉,加热炉的余热回收设备中,烟气和空气横向流过受热的管束；煤粉颗粒和尘埃在空气中运动等等,都是绕流问题 。
在实际流体绕流过程中,由于粘性的存在必然要产生阻力,为了克服阻力就要损失一部分的机械能 。 与研究实际流体在管道中流动的问题一样,在本章中也要 探求 在实际流体绕物体的流动中产生阻力的原因,后果以及计算阻力损失的方法 。
在粘性流体的一维流动中,我们曾经引用牛顿内摩擦定律作为研究流动阻力的基础,在研究粘性流体的平面和空间流动中也用这一定律作为基础,并加以适当推广 。
第一节 粘性流体的运动微分方程内 容 提 要
粘性流体运动微分方程的推导方法和过程
切向应力 τ 和法向应力 σ 的计算
纳维 ——斯托克斯方程的物理意义和使用条件第一节 粘性流体的运动微分方程推导粘性流体的运动微分方程的方法和过程与推导理想流体的欧拉运动微分方程相同,都是牛顿第二定律在流体力学中的应用,只是除了质量力和法向应力 (即压力 )外,还需要考虑粘性切应力的影响 。
在运动着的粘性流体中取出一边长分别为 dx,dy和 dz的微元平行六面体的流体微团作为分析对象,如图 6-1所示 。 作用在平行六面体上的力,不仅有质量力和法向应力,还有切向应力 。 因此,作用在流体微团六个表面上的表面力的合力不再垂直于所作用的表面,而是与作用面成某一倾角 。 图中 σ代表法向应力,τ代表切向应力 。 它们都有两个脚 标,第一个表示应力所在平面的法线方向,第二个表示应力本身的方向 。
第一节 粘性流体的运动微分方程为方便起见,假定所有法向应力都沿着所在平面的外法线方向,
切向应力在经过 A(x,y,z)点的三个平面上的方向与坐标轴的方向相反,其他三个平面上的相同 。 f代表单位质量力 。
根据牛顿第二定律,可以写出沿 x轴的运动微分方程


d
d
zddd
dd)d(dddd(
dddd)d(ddddd
x
zx
zxzx
yx
yx
yx
xx
xxxxx
u
yx
yxz
z
yxxz
y
xzzyx
x
zyzyxf



第一节 粘性流体的运动微分方程图 6-1 粘性流体微元的受力情况第一节 粘性流体的运动微分方程化简后得同理可得 (6-1)
式 (6-1)是以应力形式表示的粘性流体的运动微分方程 。 现在的问题是要寻找粘性流体中关于 ζ和 η的计算式 。 我们可以从流体微团在运动中的变形来获得这些应力和变形速度之间的关系式 。



)(
11
d
d
)(
11
d
d
)(
11
d
d
yxz
f
u
xzy
f
u
zyx
f
u
yzxzzz
z
z
xyzyyy
y
y
zxyxxx
x
x






第一节 粘性流体的运动微分方程
1.关于 τ 的计算：
首先研究切向应力之间的关系 。 根据达朗伯原理,作用于微元平行六面体上的各力对于通过中心点 M和 z轴相平行的轴的图 6-2 切向应力间的关系第一节 粘性流体的运动微分方程力矩之和应等于零,如图 6-2所示,又由于质量力和惯性力对该轴的力矩是四阶无穷小量,可以略去不计,故有再略去四阶无穷小量,同时,方程两边同除以 dxdydz,得即同理可得 (6-2)

zxxz
yzzy
xyyx
xyyx



0
0
2
d
dd)d(
2
d
dd
2
d
dd)d(
2
d
dd


x
zyx
x
x
zy
y
zxy
y
y
zx
xy
xyxy
yx
yxyx


第一节 粘性流体的运动微分方程流体粘性引起的切向应力可按牛顿内摩擦定律式 (1-17)求得 。 理论证明,对于粘性流体微团有角变形运动时,流动所产生的粘性力与流体微团的角变形速度有关 。 借助弹性力学的理论可以推得,有角变形运动的流体流动所产生的 粘性切应力的大小与角变形速度间的关系为
(6-3)



y
zx
zxxz
x
yz
yzzy
z
xy
xyyx
x
u
z
u
z
u
y
u
y
u
x
u



2)(
2)(
2)(
第一节 粘性流体的运动微分方程式 (6-3)就是广义的牛顿内摩擦定律 。 其意义为,粘性切向应力的大小等于动力粘度和角变形速度的乘积的二倍 。
2.关于 σ 的计算：
对于理想流体,在同一点各个方向的法向应力 (压力 )是等值的,即 ζxx=ζyy=ζzz=－ p。 但对于粘性流体,由于粘性的影响,
流体微团除了发生角变形外,同时也发生线变形,即在使法向应力的大小有所改变 (与理想流体相比 ),产生了 附加的法向应力 。 同样,我们可以借助于弹性力学的理论推导出 法向应力与流体微团线变形速率之间的关系式,其结果是
，和有相对的线变形速率流体微团的法线方向上 zuyu、xu zyx
第一节 粘性流体的运动微分方程
(6-4)
对于不可压缩流体,附加的法向应力等于动力粘度与线变形速率的乘积的二倍 。 由式 (6-4)可以看出,在粘性流体中,同一点的法向应力在三个互相垂直的方向上是不相等的 。



u
z
u
p
u
y
u
p
u
x
u
p
z
zz
y
yy
x
xx
d i v
3
2
2
d i v
3
2
2
d i v
3
2
2



，0d iv?u?
第一节 粘性流体的运动微分方程现在将式 (6-3)和式 (6-4)代入式 (6-1),得到
(6-5)



)]}([)]([
)]d i v
3
2
2([{
11
d
d
)]}([)]([
)]d i v
3
2
2([{
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)]d i v
3
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d
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z
u
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x
u
z
u
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x
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y
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yy
p
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u
zx
u
y
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y
u
x
u
xx
p
f
u
z
y
xz
z
z
z
y
xz
y
y
y
y
xz
y
x
x
x
x






第一节 粘性流体的运动微分方程式 6-5就是 粘性流体的运动微分方程 。 在解决具体问题时,除上述方程组外,还应包括连续性方程；对于可压缩流体而言,
压力和密度的改变会引起温度的变化,因此还应包括状态方程；
对于非等温过程,还要引入能量方程 (热力学第一定律 )；在一般情况下,可压缩流体各点温度是变化的,还需要知道流体粘度随温度变化的关系式 μ=μ(T)。 现在对于七个未知量 ux,uy、
uz,p,ρ,T,μ,有七个方程,可以联立求解 。 如果过程是等温的,那么只有五个未知量 ux,uy,uz,p,ρ,相应的有五个方程,即运动方程 (三个 ),连续性方程 和状态方程 。
第一节 粘性流体的运动微分方程对于不可压缩流体,ρ=常数,且不可压缩流体在流动过程中温度变化很小,因此可将流体的粘性视为常数 。
于是式 (6-5)可简化为
(6-6)
式 (6-6)就是不可压缩粘性流体的运动微分方程,即著名的 纳维 ——斯托克斯方程 (简称 N-S方程 )。 它可以简化为理想流体的
，0d iv?u?



)(
1
d
d
)(
1
d
d
)(
1
d
d
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
z
p
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u
z
u
y
u
x
u
y
p
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u
z
u
y
u
x
u
x
p
f
u
zzz
z
z
yyy
y
y
xxx
x
x



第一节 粘性流体的运动微分方程
(μ=0)欧拉运动微分方程,也可以进一步简化为欧拉平衡微分方程 (ux=uy=uz=0)。 N-S方程适用于不可压缩牛顿流体的层流和紊流流动 。
在求解工程中的轴对称流动问题时,用圆柱坐标系下的纳维 — 斯托克斯方程更为方便 。 若用 r,θ,z分别表示径向,圆周向 (切向 )和轴向坐标,ur,uθ,uz分别表示相应方向上的流速分量,fr,fθ,fz分别表示相应方向上的单位质量力,则对于不可压缩流体而言,圆柱坐标系下的纳维 — 斯托克斯方程 为第一节 粘性流体的运动微分方程
(6-7)
式 (6-7)与连续性方程式 (3-18)联立即可求解 。





)
11
(
1
)
211
(
1
)
211
(
1
2
2
2
2
22
2
2
2
22
2
222
2
2
2
22
2
222
2
2
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uu
rr
u
rr
u
z
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u
u
u
r
u
r
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rr
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u
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uu
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rr
u
r
u
rr
u
r
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f
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u
z
u
u
u
r
u
r
u
u
u
zzzz
z
z
z
zz
r
z
r
r
zr
rrrrr
r
r
z
rr
r
r








第二节 附面层的基本特征内 容 提 要
附面层的概念
附面层厚度的定义
附面层的基本特征
层流附面层、紊流附面层和混合附面层概念
判别层流附面层和紊流附面层的准则第二节 附面层的基本特征当空气,气体,蒸气和水等粘度很小的流体与其它物体作速度较高的相对运动时,一般雷诺数都很大 。 实验指出,在这些流动中,惯性力比粘性力大得多,可以略去粘性力；但在紧靠物体壁面的一层所谓 附面层 的流体薄层内,粘性力却大到约与惯性力相同的数量级,以致在这一区域中两者都不能略去 。
解决大雷诺数下绕物体流动的近似方法是以附面层理论为基础的,所以我们有必要了解附面层的一些基本概念和特征 。
现在来讨论粘性流体平滑地绕流某静止物体 (如机翼翼型 )
的情况,如图 6-4所示 。 在紧靠物体表面的薄层内,流速将由物体表面上的零值迅速地增加到与来流速度 u∞同数量级的大小 。
这种 在大雷诺数下紧靠物体表面流速从零急剧增加到与第二节 附面层的基本特征来流速度相同数量级的流体薄层称为 附面层 。 在附面层内,流体在物体表面法线方向上的速度梯度很大,即使粘度很小的流体,表现出的粘性力也较大,决不能忽略 。 由涡量计算公式在附面层内 很小,而 却很大,所以涡量 ξz≠0,因此,附面层内的流体有相当大的旋涡强度 。 当附面层内的有旋流离开物体而流向下游时,在物体后部形成尾涡区域 。 在尾涡区中,开始速度梯度很大,随着离开物体距离的增加,原有的旋涡将逐渐地扩散和衰减,速度分布逐渐趋向均匀,直到尾涡完全消失 (如图 6-4)。 在附面层外,速度梯度
,yuxu xyz xuy yux
第二节 附面层的基本特征图 6-4 绕流流场区域很小,即使粘度较大的流体,其粘性力也很小,可以忽略不计 。
所以可以认为,在附面层外的流动是无旋的势流流动 。
第二节 附面层的基本特征由此可见,当粘性流体绕物体流动时,可以 将整个绕流流场划分为三个区域,附面层区,尾涡区 和 外部势流区 。 在附面层和尾涡区域内,必须考虑物体的粘性力,它们应当按照粘性流体的有旋流动来处理；在附面层和尾涡区域以外的势流区域内,可按照理想流体的无旋流动来处理 。
在实际上,附面层内,外区域并没有一个明显的分界面,
也就是说,附面层的外边界,即附面层的厚度的概念并不很明显 。 一般在实际应用中 通常是把流体速度达到外部主流区速度的 99%的地方作为 附面层的外边界,或者说在附面层的外边界上流速达到层外势流速度的 99%,即
u|y=δ=0.99u∞(x) (6-9)
第二节 附面层的基本特征实际上附面层很薄,一般只有几毫米到几十毫米 。 为了清晰起见,图 6-4上是将附面层的尺寸放大了 。 从图 6-4中可以看出,
流体在前驻点 O处速度 为零,所以附面层的厚度在前驻点处为零,然后沿着流动方向厚度逐渐增加 。 另外,附面层的外边界和流线并不重合,流线伸入到附面层内,与外边界相交 。
原因是由于层外的流体质点不断地穿入到附面层里面去 。
综上所述,附面层有如下基本特征：
(1)与物体的长度相比,
(2)附面层内沿附面层厚度方向的速度变化非常急剧,即速度梯度很大；
(3)附面层沿着物体的流动方向逐渐增厚；
第二节 附面层的基本特征
(4)由于附面层很薄,因而可以近似地认为,附面层中各横截面上的压力等于同一截面上附面层外边界上的压力；
(5)在附面层内粘性力和惯性力是同一数量级；
(6)附面层内流体的流动是有旋流动；
(7)沿曲面的附面层易出现分离现象,并形成尾涡；
(8)附面层内流体的流动也有层流和紊流两种流动状态 。
全部附面层内都是层流的,称为 层流附面层 。 仅在附面层的起始部分是层流,而在其他部分是紊流的,称为 混合附面层 。
在层流与紊流之间有一个 过渡区域 ；在紊流附面层区,紧靠平板处,总是存在着一层极薄的 层流底层 。 如果全部附面层内都是紊流的,称为 紊流附面层 。
第二节 附面层的基本特征图 6-5 平板上的混合附面层对于附面层流动,判别层流和紊流的准则仍用雷诺数 Re，
雷诺数中的几何定性尺寸,一般是取离物体前缘点的距离 x，
特征速度可以取附面层外边界上主流的速度 u∞,即第二节 附面层的基本特征
(6-10)
实验得出,对于平板而言,层流转变为紊流的临界雷诺数为
Rexc=3× 105～ 3× 106,在工程应用上,常取 Rexc=5× 105 。 如果定性尺寸取临界转变点的附面层厚度 δc,则相应的临界雷诺数为 Reδc=2700～ 3500。 附面层从层流转变为紊流的临界雷诺数的大小决定于许多因素,如层外势流的紊流度,物体的形状及壁面的粗糙度,流场的压力梯度,流体的可压缩性,物体的加热或冷却效果等等都会影响 Rec。 实验证明,若增加流体的紊流度或增加物体壁面的粗糙度等都可使临界雷诺数的数值降低,即提早使层流转变为紊流 。

xuxu
x
Re
第三节 层流附面层的微分方程式内 容 提 要
附面层微分方程的简化过程
附面层微分方程的使用条件第三节 层流附面层的微分方程式附面层特性的确定,关系到流动阻力,能量损失,传热传质,流动的稳定性等重要工程实际问题 。 近几十年来,流体力学在这方面的发展很大,但迄今尚未全面解决 。 普朗特和冯 ·卡门在这方面作出了巨大的贡献,他们除了提出附面层的概念外,还推导了附面层的解析计算法和动量计算法,前者也称为附面层的微分方程,后者也称为附面层的动量积分方程 。
附面层的计算 主要解决的是附面层厚度沿界面的变化,流体压力分布和流动阻力的计算问题 。 现在我们根据附面层的特征,利用不可压缩粘性流体的运动微分方程,来研究附面层内流体的运动规律 。 为了简单起见,只讨论流体沿平板作稳定的平面流动情况,x轴与板面重合,方向与流向相同,假定第三节 层流附面层的微分方程式附面层内的流动全是层流,质量力忽略不计,则不可压缩粘性流体平面稳定流动的运动微分方程和连续性方程为
(6-11)
根据附面层的特征,应用数量级对比法,可将上式简化 。
由于附面层的厚度很小,它与平板尺寸和沿界面的流速 (ux)比起来可以看成是微小量,设其数量级为 ε?1,用符号 (～ )表示


0
)(
1
)(
1
2
2
2
2
2
2
2
2
y
u
x
u
y
u
x
u
y
p
y
u
u
x
u
u
y
u
x
u
x
p
y
u
u
x
u
u
yx
yyy
y
y
x
xxx
y
x
x
第三节 层流附面层的微分方程式数量级相同,则 δ～ ε。 令 x和 ux的数量级为 1,即 x～ 1,ux～ 1。
而令 y和 uy的数量级为 ε,其相应微分量与积分量相对应,即分别为 1和 ε。 式 (6-11)简化为
(6-12)
式 (6-12)就是不可压缩粘性流体作稳定平面层流流动的附面层微分方程式,也称为普朗特附面层微分方程 。 其边界条件是
y=0,ux=uy=0； y=δ,ux=u∞

0
0
1
2
2
y
u
x
u
y
p
y
u
x
p
y
u
u
x
u
u
yx
xx
y
x
x
第三节 层流附面层的微分方程式
u∞为附面层外缘的主流速度 。 当 时,主流速度 u∞为一常数,
与 x无关 。 否则,它将是 x的函数,即 u∞=u∞(x)。
由式 (6-12)中 可知,在附面层内部,压力 p与坐标 y无关,附面层横截面上各点的压力相等,等于附面层外边界上的压力 。 于是附面层内的压力分布为 p=p(x),可以根据外部势流的速度由伯努利方程来确定,由此,附面层的压力 p可看作是已知数 。
方程组 (6-12)是在物体壁面为平面的假设条件下得到的,
它适用于平板和楔形等物体,但是,对于曲面的物体,只要壁面上的任何点的曲率半径与该处附面层厚度相比很大时 (如叶片叶型等 ),该方程组仍然是适用的,并具有足够的准确度 。
0 xp
0 xp
第三节 层流附面层的微分方程式但这时需要引用曲线坐标系,x轴沿着物体的曲面,y轴垂直于曲面 (如图 6-4)。
弯曲壁面与平壁附面层方程的差别在于对沿弯曲壁面流动所产生的离心力必须与 y方向的压力梯度相平衡,不再为零 。 但是如果壁面的曲率半径较大,附面层又极薄,壁面与附面层外边界之间的压力差很小,所以仍可以认为附面层横截面上的压力是几乎相等的 。
虽然层流附面层的微分方程式 (6-12)比一般的粘性流体运动微分方程要简化得多,但是该方程仍然是二阶非线性的偏微分方程,即使对于外形最简单的物体,求解也是十分困难的 。
yp
第四节 附面层的动量积分方程式内 容 提 要
附面层动量积分方程的推导过程
附面层动量积分方程的物理意义
附面层动量积分方程的使用方法第四节 附面层的动量积分方程式附面层动量积分方程式,简称动量方程式 。 它是 冯 ·卡门根据动量原理提出的 。 可以适用于层流附面层和紊流附面层,
以及有压力梯度和无压力梯度的情况 。 在沿流动方向有压力梯度时,主流区的流速 (即附面层外缘的流速 )是随 x而变化的,
即 u∞是 x的函数,用 u∞(x)表示 。 在无压力梯度时,u∞为常数 。
图 6-6所示为物体边界附面层的一部分 。 沿附面层划出垂直于纸面为一个单位厚度的微小控制体 abcd,其受力情况如图所示 。
现在应用动量定理来研究该控制体内的流体在单位时间内沿 x
方向的动量变化和外力之间的关系 。 并认为流体的流动是稳定的 。 质量力沿 x方向的 分量等于零 。
单位时间内在 x方向上经过 ab流入控制体的质量和带入的动量分别为第四节 附面层的动量积分方程式图 6-6 附面层内微小控制体第四节 附面层的动量积分方程式单位时间内在 x方向经 cd流出控制体的质量和带出的动量分别为根据连续性方程,对于稳定流动来说,必然有而
xyu
x
yux
x
K
KK
xyu
x
yux
x
m
mm
xx
ab
abcd
xx
ab
abcd
d)d(dd
d)d(dd
0
2
0
2
00










xyu
x
umuK
xyu
x
mmm
xbcbc
xabcdbc
d)d(
d)d(
0
0



0
2
0
d
d
yuK
yum
xab
xab
第四节 附面层的动量积分方程式式中 u∞为附面层外边界上的主流速度 。 这样,可得到单位时间内该控制体内流体沿 x方向的动量变化量为
(1)
现在计算作用在控制体上沿 x方向的外力之和,即作用在控制面 ab,bc,cd面上的总压力和作用在 ad面上的摩擦力 。 应当注意,bc是附面层的外边界,速度梯度趋近于零,因此沿 bc
面上没有切应力 。 则




00
2 d)d(d)d( xyu
x
uxyu
x
KKKK
xx
bcabcdx
)d)(d(

x
x
p
pP
pP
cd
ab
第四节 附面层的动量积分方程式式中,是作用在 bc面上的平均压力 。
壁面 ad作用在流体 (控制体 )上的切应力的合力为于是,单位时间内作用在该控制体上沿 x方向的各外力之合为由于 dxdδ?δdx,故忽略二阶无穷小量后,得到
(2)
d)d
2
1( x
x
ppP
bc?

xxpp d21
xxxppxxpppF x d)d)(d(d)d21( w
xxpxxxpF x )d(dd ww
xT dwab
第四节 附面层的动量积分方程式将式 (1)和式 (2)代入动量方程,并除以 dx得到
(6-13)
式 (6-13)就是附面层动量积分方程式 。 它是由冯 ·卡门在 1921年根据动量定理首先导出的,所以常称为 卡门动量积分方程 。 由第三节已知,在附面层内 p=p(x),而且从以后的计算中可知,
在附面层某截面上的速度分布 ux=ux(y),附面层的厚度 δ=δ(x)，
所以上式中左边的两个积分项也都只是 x的函数 。 因此上式中的偏导数可以改写为全导数,则式 (6-13)可写为
(6-14)
)(dd w
00
2



x
pyu
x
uyu
x xx
)
d
d(d
d
dd
d
d
w00
2
x
pyu
x
uyu
x xx
第四节 附面层的动量积分方程式如果附面层外边界上主流的速度 u∞在流动过程中不随 x而改变,如绕流平板的情况,即 u∞=常数 时,由伯努利方程可知附面层外边界上的压力 p也不随 x变化而保持常数,即
dp/dx=0。 因此式 (6-14)可 简化为
(6-15)
在以上推导附面层动量积分方程式的过程中,对壁面上的切应力 ηw未作任何假定,故式 (6-13)至 (6-15)对层流附面层和紊流附面层都适用 。 在附面层动量积分方程式中包含有 三个未知数常数221 up?
w0 d)(d
d
yuuux xx
第四节 附面层的动量积分方程式
ux,τW和 δ,因此,还需要找出两个补充关系式才能求解 。 通常 把沿附面层厚度方向的速度分布 ux=ux(y)以及切应力与附面层厚度的关系式 τw=τw(δ)作为两个补充关系式 。 一般在应用附面层动量积分方程式 (6-14)来求解附面层问题时,附面层内的速度分布是按已有的经验来假定的 。 假定的速度分布 ux=ux(y)
愈接近实际,则所得到的结果愈精确 。 所以,选择附面层内的速度分布函数 ux(y)是求解 附面层问题的重要关键 。
附面层内速度分布通常可取作多项式,三角函数式或双曲函数,指数函数和对数函数等形式,一般结合实际情况来选定 。
第五节 附面层的位移厚度、动量损失厚度和能量损失厚度内 容 提 要
1,位移厚度 δ 1
2,动量损失厚度 δ 2
3,能量损失厚度 δ 3
第五节 附面层的位移厚度、动量损失厚度和能量损失厚度
1.位移厚度 δ 1
附面层的位移厚度又称 流量损失厚度 或称 排挤厚度,其含义是：对于不可压缩流体,当在理想流动情况下 (即不存在附面层 ),流速均等于主流速度 u∞时,流过 δ1的流量应和在实际情况下 (有附面层时 ),由于粘性的作用而使流速减低时整个流场减小的流量相等,即与流量损失量相等 。 如图 6-7所示,即面积 (1+3)=面积 (2+3)。 由此可见,在流量相等的条件下,犹如将没有粘性的理想流体从固体壁面向主流区推移了厚度为 δ1的距离,或者说向主流区排挤了一个 δ1的 距离 。 这就是位移厚度或排挤厚度名称的由来 。
第五节 附面层的位移厚度、动量损失厚度和能量损失厚度图 6-7 位移厚度第五节 附面层的位移厚度、动量损失厚度和能量损失厚度理想流体流过 δ1厚度的流量为 u∞δ1(指单位宽度,下同 )实际情况下由于粘性的存在而使速度减低,从而减小的流体流量为于是所以 (6-16)
如果已知 ux/u∞与 y的关系,即可通过式 (6-16)计算附面层的位移厚度 δ1。


01
0
d)(
d)(
yuuu
yuu
x
x


001
d)1(d)1( y
u
uy
u
u xx
第五节 附面层的位移厚度、动量损失厚度和能量损失厚度
2.动量损失厚度 δ 2
动量损失厚度 δ2的定义与 δ1相似,即在理想情况下 (无粘性 )
通过厚度 δ2的 流体动量等于实际情况下整个流场中实际流量与速度减小量的乘积,也就是等于动量损失量,即即
(6-17)







00
2
0
2
2
d)1(d)1(
d)(
y
u
u
u
u
y
u
u
u
u
yuuuu
xxxx
xx
第五节 附面层的位移厚度、动量损失厚度和能量损失厚度
3.能量损失厚度 δ 3
能量损失厚度 δ3的定义为：在理想情况下通过厚度 δ3的流体的动能等于实际情况下整个流场的动能损失量,即
(6-18)
在已知 ux/u∞与 y的关系后,即可通过式 (6-17)和式 (6-18)计算附面层的动量损失厚度 δ2和能量损失厚度 δ3。 利用 δ1,δ2和 δ3
可以进行附面层的解析计算,并且可以根据 δ,δ1,δ2和 δ3间的比值来表达附面层中的速度分布 。






0
2
0
2
3
22
0
3
3
d])(1[d])(1[
d)(
2
1
2
1
y
u
u
u
u
y
u
u
u
u
yuuuu
xxxx
xx
第六节 平板层流附面层的计算内 容 提 要
一,平板层流附面层的解析计算
平板层流附面层的解析计算方法
平板层流附面层的解析计算公式
二,平板层流附面层的近似计算
平板层流附面层的近似计算方法
平板层流附面层的近似计算公式第六节 平板层流附面层的计算一,平板层流附面层的解析计算平板层流附面层的解析计算就是从层流附面层的微分方程式 (6-12)及其边界条件出发,首先将运动方程式和连续性方程式归并,再进行简化,将偏微分方程组化成常微分方程式,最后进行求解,求得附面层中速度分布规律及沿流动方向附面层厚度的增长规律,并由此确定流动的切应力 ηW,摩擦总阻力 Ff
及阻力系数 Cf。 下面就来说明其计算方法及过程,如图 6-8所示 。
计算结果如下：
第六节 平板层流附面层的计算图 6-8 平板层流附面层第六节 平板层流附面层的计算
1.附面层厚度 δ 的计算式：
(6-22)
或
(6-23)
2.附面层位移厚度 δ １ 的计算式：
(6-24)
3.附面层动量损失厚度 δ 2的计算式：
(6-25)
)Re(Re0.5
Re
0.5
Re0.5
Re
0.5
0.5
2
1
2
1
xu
x
x
x
u
x
xx
x
x
x


其中
2
1
1 Re721.1Re
721.1721.1?
x
x
xx
u
x
2
1
2 Re6 6 4.0Re
6 6 4.06 6 4.0?
x
x
xx
u
x
第六节 平板层流附面层的计算
4.平板表面上 x处的摩擦切应力 τw的计算式：
(6-26)
5.平板表面上 x处的摩擦阻力系数 (称当地摩擦阻力系数 )Cfx的计算式：
(6-27)
2
1
2
2
w
Re3 3 2.0
3 3 2.03 3 2.0

xu
xu
u
x
u
u

2
1
2
2
1
2
2
w Re6 6 4.0
2
1
Re3 3 2.0
2
1
xxfx
u
u
u
C
第六节 平板层流附面层的计算
6.对于长度为 L,宽度为 B的平板,单侧面上的总摩擦阻力 Ff的计算 式：
(6-28)
7.整个平板的总摩擦阻力系数 Cf的计算式：
(6-29)
式中,ReL— 按板长 L计算的雷诺数,即 ReL=u∞L/ν。
2
1
23
0
2
1
3
0
w
Re6 6 4.06 6 4.0
d3 3 2.0d



L
LL
f
uBLLuB
xxuBxBF


2
1
2
2
1
2
2
Re3 2 8.1
2
1
Re6 6 4.0
2
1
LL
f
f
BLu
uBL
BLu
F
C
第六节 平板层流附面层的计算二,平板层流附面层的近似计算如图 6-8,当自由来流绕流平板时,平板上附面层边界上的速度可取 u∞,且 u∞=常数 。 由伯努利方程可知沿流动方向不存在压力梯度,即 。 因此,平板层流附面层的动量积分方程式为
(6-15)
对于不可压缩流体,ρ =常数,则上式可写为
(6-30)
0w d)(d d yuuux xx
x
uy
u
u
u
u
x
u xx
d
dd)1(
d
d 22
0
2
w



0 xp
第六节 平板层流附面层的计算上式对 ηw并未加任何限制,对平板层流附面层和紊流附面层都适用 。 式中包含三个未知数 ux,ηw和 δ,需要另外增加两个补充关系式 。
第一个补充关系式,设层流附面层内的速度分布为 y的幂级数,
即 ux=ux(y)=a0+a1y+a2y2+a3y3+a4y4 (1)
由于附面层的厚度很小,所以 y是个微小量,取幂级数的前五项已是足够精确了 。 待定系数 a0,a1,a2,a3和 a4由下列边界条件确定 。
边界条件：
(1) y=0处,ux=0；
(2) y=δ处,ux=u∞；
第六节 平板层流附面层的计算
(3) y=δ处,
(4) y=δ处,ux=u∞=常数,根据附面层微分方程式 (6-12)
(5) y=0处,ux=uy=0,由式 (6-12)得到利用上面的五个边界条件可求得：
将上面各系数代入式 (1),得到
(6-31)；，即 0)(0)( yuyu xx；可得到 0)( 2
2
yu x；0)( 02
2
yxyu
4433210 2020
uauaauaa,，，，
])()(2)(2[ 43 yyyuu x
第六节 平板层流附面层的计算或写成
(6-31a)
第二个补充关系式,对于层流附面层,可根据牛顿内摩擦定律得出平板板面上粘性摩擦应力为
(6-32)
于是附面层动量损失厚度 δ 2为
(6-33)


uyyu
y
u
yy
x 2])(4)(62[)(
0
32
0w
43 )()(2)(2

yyy
u
u x

3 1 5
37
d])()(2)(21][)()(2)(2[
d)1(
4343
0
0
2



y
yyyyyy
y
u
u
u
u
xx
第六节 平板层流附面层的计算将式 (6-32)和式 (6-33)代入式 (6-30),得到上式整理后为对上式积分得上式为二次抛物线方程 。 由边界条件,x=0,δ=0,得 C=0,由此得到 附面层的厚度 δ为
(6-34)
xu
u
d
d
315
372 2

xu d37630d

2
1
Re84.5
Re
84.584.5?
x
x
xx
u
x
Cxu

37
6 3 0
2
1 2
第六节 平板层流附面层的计算或者写成
(6-34a)
由式 (6-34)可以看出,平板层流附面层的厚度变化曲线为二次抛物线,δ随 x的增加而增大,随来流速度 u∞的 增加而减小,流体的粘性愈大,附面层也愈厚 。
附面层的厚度 δ 求出后,其它各量均可计算 。 把式 (6-34)
代入式 (6-32)得到 壁面上的粘性切应力 为
(6-35)
2
1
Re84.5
Re
84.5
x
xx
2
1
22
w
Re3 4 3.03 4 3.0
84.5
22



x
u
xu
u
x
uuu
第六节 平板层流附面层的计算当地摩擦阻力系数 为
(6-36)
对于长度为 L,宽度为 B的 平板一侧面上的 总摩擦阻力 为
(6-37)
平板的 总摩擦阻力系数 为
(6-38)
2
1
23
0
2
1
3
0 w
Re6 8 6.06 8 6.0
d3 4 3.0d



L
LL
f
uBLLuB
xxuBxBF


2
1
2
2
1
2
2
w Re6 8 6.0
2
1
Re3 4 3.0
2
1
xxfx
u
u
u
C
2
1
2
2
1
2
2
Re3 7 2.1
2
1
Re6 8 6.0
2
1
LLff
BLu
uBL
BLu
F
C
第六节 平板层流附面层的计算附面层的位移厚度 δ 1和动量损失厚度 δ 2分别为
(6-39)
(6-33a)
动量积分方程的计算结果与微分方程的计算结果是很接近的 。 改变附面层中的流速分布式,可使两者的计算结果十分接近 。 这说明动量积分方程计算法是可以用于附面层计算的 。 对于除平板层流附面层以外的其他复杂情况 (如曲面绕流和紊流附面层等 ),难以或根本不能应用微分方程 计算,动量积分方程的计算方法是目前唯一可以采用的计算方法 。
2
1
2
2
1
43
00
1
Re6 8 6.084.5
3 1 5
37
3 1 5
37
Re7 5 2.17 5 2.184.5
10
3
10
3
d])()(2)(21[d)1(




x
x
x
x
u
x
x
u
x
u
x
y
yyy
y
u
u




第七节 平板紊流附面层的近似计算内 容 提 要
平板紊流附面层的近似计算方法
平板紊流附面层的近似计算公式
平板层流附面层和平板紊流附面层特征比较第七节 平板紊流附面层的近似计算紊流附面层要比层流附面层复杂得多 。 因为流体在流动中不仅有粘性力存在,而且还产生紊流附加切应力 。 并且这部分应力在紊流附面层中的不同区域所占的比例不同,越远离壁面,
其所占的比例越大；越靠近壁面,其所占的比例越小,直到层流底层中这部分应力才不复存在 。 对这部分附加应力将如何考虑,目前还不能从理论上得到解决 。 上节所取的两个补充关系式是建立在层流的牛顿内摩擦定律和层流附面层微分方程基础上的,显然不能应用于紊流附面层 。 对于紊流附面层还必须设法另找两个补充关系式 。 人们对流体在圆管内作紊流流动的规律已完整地研究过,普朗特曾经作过这样的假设：沿平板附面层内的紊流流动与管内紊流流动相同 。 于是就可借用管内第七节 平板紊流附面层的近似计算紊流流动的理论结果去寻找动量积分方程式的两个补充方程 。
这时,圆管中心线上的最大速度 umax相当于平板的来流速度 u∞，
圆管的半径 R相当于附面层的厚度 δ。 并且假定平板附面层从前缘开始 (x=0)处就是 紊流 。
与圆管内一样,紊流附面层内的速度分布规律也假定是七分之一次方指数规律,这与实验测得的结果很符合,于是有
(6-40)
另外一个补充方程,即紊流附面层内壁面上的切应力计算式可推导如下：
7
1
7
1
)(
)0()(
y
u
u
y
y
uu
x
x

第七节 平板紊流附面层的近似计算如图 6-9所示,当粘性流体在等直径管道内作稳定流动时,
由上式得到
(6-41)
平板紊流附面层内壁面上的切应力计算式就是借用圆管内紊流流动的壁面切 应力公式 (6-41),其中 沿程阻力 系数 λ在
4000<Re≤26.98(d/Δ)8/7的范围内可用布拉修斯公式 (5-39)计算,
即
lddudl x w22 4121?
2
w 8 xu?

4
1
25.0
25.0
)(
2 6 6.0
)(
3 1 6 4.0
Re
3 1 6 4.0

Rudu xx

第七节 平板紊流附面层的近似计算图 6-9 圆管紊流将上式代入式 (6-41),得在以上雷诺数范围内,平均流速 约等于 0.817umax,将
=0.817umax代入上式,并将圆管中心线上的速度 umax和半径 R用附面层外边界上的速度 u∞和附面层厚度 δ代替,则得到
4
1
2
w )(03325.0 Ruu
x
x

xu xu
第七节 平板紊流附面层的近似计算
(6-42)
由式 (6-17)和式 (6-40)可求得附面层的动量损失厚度 δ2为
(6-43)
将式 (6-42)和式 (6-43)代入动量积分方程式 (6-30),得或者
4
1
2
w )(0 2 3 3 4.0?

uu



72
7
d])()[(
d])(1[)(d)1(
0
7
2
7
1
7
1
0
7
1
0
2




y
yy
y
yy
y
u
u
u
u xx
x
u
x
u
u
u
d)0,2 4 (d
d
d
72
7
)(02334.0
4
1
4
1
24
1
2

第七节 平板紊流附面层的近似计算积分后得由边界条件,x=0,δ=0,得 C=0。 由此得到附面层的厚度为
(6-44)
或者写成
(6-45)
将式 (6-44)代入式 (6-42),则得到板面上 x处的切应力为
(6-46)
当地摩阻系数为
Cxu
4
1
4
5
)(24.054
5
1
5
1
2.0
5
4
5
1
Re382.0
Re382.0
Re
382.0
)(382.0

x
x
x
x
x
x
x
u
5
1
25
1
2
w Re0297.0)(0297.0
xuxuu?

第七节 平板紊流附面层的近似计算
(6-47)
平板一侧的总摩阻为
(6-48)
平板的总摩阻系数为
(6-49)
5
1
2
5
1
2
2
w Re0 5 9 4.0
2
1
Re0 2 9 7.0
2
1
xxxf
u
u
u
C
5
1
25
1
2
0
5
1
5
1
2
0
w
Re037.0)(037.0
d)(0297.0d


L
LL
f
uBL
Lu
uBL
xxB
u
uxBF

5
1
2
5
1
2
2
Re074.0
2
1
Re037.0
2
1
LLff
BLu
uBL
BLu
F
C
第七节 平板紊流附面层的近似计算实验测得的比较精确的平板紊流总摩擦阻力系数 Cf随 ReL
的变化关系式,与上面所推导的结果相一致,即
(6-50)
适用范围是 3× 105≤ReL≤107。 当 ReL>107时,式 (6-50)就不再准确,可利用施利希廷公式进行计算,即
(6-51)
平板紊流附面层的位移厚度 δ1和动量损失厚度 δ2分别为
(6-52)
(6-53)
5
1
Re074.0 LfC
)10Re10(
)Re( lg
455.0 96
58.2 L
L
fC
5
1
2
5
1
0
7
1
0
1
Re0 3 7.0
72
7
Re0 4 8.0
8
1
d])(1[d)1(


x
x
x
x
xy
y
y
u
u


第七节 平板紊流附面层的近似计算应当注意,我们在推导上述平板紊流附面层的公式时,是借用了圆管中紊流速度分布的七分之一次方指数规律和切应力公式,并且假定流动处在水力光滑壁的区域内,所以,以上所得到的结果只适用于一定的范围 。
通过以上讨论,我们比较一下平板层流附面层和平板紊流附面层的特征,可以找出它们的 重要差别 有：
(1)紊流附面层内沿平板壁面法向截面上的速度比层流附面层内的速度增加得快,也就是说,紊流附面层的速度分布曲线比层流附面层的速度分布曲线饱满得多 。 这与圆管中的情况相似 。
(2)沿流动方向平板壁面紊流附面层的厚度要比层流附面层的厚度增加得快,因为紊流的 δ与 x4/5 成正比,而层流的 δ
第七节 平板紊流附面层的近似计算则与 x1/2 成正比 。 这是由于在紊流附面层内流体微团发生横向运动,容易促使厚度迅速增加 。
(3)在其他条件相同的情况下,在紊流附面层中平板壁面上的切应力 ηw沿着壁面 (流动方向 )的减小要比在层流附面层中减小得慢 。 因为在紊流附面层中 ηw与 x－ 1/5 成正比,而在层流附面层中 ηw与 x－ 1/2 成正比 。
(4)在同一雷诺数 Rex下,紊流附面层的摩擦阻力系数比层流附面层的摩擦系数大得多 。 这是因为,在层流中摩擦阻力只是由于不同流层之间发生相对运动时因流体分子扩散而引起的；
在紊流中除了流体分子扩散作用外,还由于流体质点有很剧烈的横向掺混,而产生更大的摩擦阻力 。
第八节 平板混合附面层的近似计算内 容 提 要
两个假设条件
混合附面层总摩擦阻力系数的计算公式第八节 平板混合附面层的近似计算附面层内的流动状态主要由雷诺数决定,当雷诺数增大到某一数值时 (对平板而言,Rex在 3× 105～ 3× 106之间 ),附面层由层流转变为紊流,成为混合附面层,即平板前端是层流附面层,后部是紊流附面层 。 在层流附面层转变为紊流附面层之间有一个过渡区 。 若是大雷诺数下,可以看成是在某一截面上突然发生转变 (如图 6-10)。
由于混合附面层内的流动情况十分复杂,所以在研究平板混合附面层的摩擦阻力时,为简化计算,作下列 两个假设：
(1)在 B点由层流附面层突然转变为紊流附面层；
(2)在计算紊流附面层的厚度变化,层内速度分布和切应力分布时都认为是从前缘点 O开始的 。
第八节 平板混合附面层的近似计算图 6-10 平板上的混合附面层第八节 平板混合附面层的近似计算根据这两个假设,可用下列方法计算平板混合附面层的总摩擦阻力 。 令 FfM代表混合附面层的总摩擦阻力,FfL代表层流附面层的总摩擦阻力,FfT代表紊流附面层的总摩擦阻力,则式中,xc为临界转变点 B至前缘点 O的距离,CfL和 CfT及 CfT′分别为层流附面层和紊流附面层的总摩擦阻力系数 。
由上式可得到混合附面层的总摩擦阻力系数为
])([
2
1
2
1
2
1
2
1
'2
22'2
L
x
CCCBLu
xBuCxBuCBLuC
FFFFFF
c
LfTfTf
cLfcTfTf
LfTfTfLfTfMf OBOBOAOBBAOA





第八节 平板混合附面层的近似计算式中,取决于层流附面层转变为紊流附面层的临界雷诺数 Rexc,见表 6-2。
L
Tf
L
xLfTf
Tf
c
LfTfTf
c
LfTfTfMf
A
C
CC
C
Lu
xu
CCC
L
x
CCCC
c
ReRe
Re)(
/
/
)(
)(
'
'
'




，
c
cc
c x
xx
xLfTf CCA Re)Re
328.1
Re
074.0(Re)(
5.02.0
'
第八节 平板混合附面层的近似计算表 6-2 A与 Rexc之间的关系这样,
(6-54)
当雷诺数 ReL在 106～ 109的范围时,混合附面层的总摩擦阻力系数 CfM可按下 式进行计算
(6-55)
Rexc 3× 105 5 × 105 106 3× 106
A 1050 1700 3300 8700
)10Re103(ReRe 074.0 752.0 L
LL
Mf
AC
)10Re10(Re)Re( l g 455.0 9658.2 L
LL
Mf
AC
第八节 平板混合附面层的近似计算综上所述,因为层流附面层的摩擦阻力系数比紊流附面层的摩擦阻力系数要小得多,所以,层流附面层段越长,即层流附面层到紊流附面层的临界转变点 B离平板前缘越远,则平板混合附面层的摩擦阻力就越小 。
第九节 曲面附面层的分离现象内 容 提 要
曲面附面层分离的原因
压差阻力 (旋涡阻力 )的概念及其产生的原因第九节 曲面附面层的分离现象如前所述,当不可压缩粘性流体纵向流过平板时,在附面层外边界上沿平板方向 (流动方向 )的速度是相同的,而且整个流场,包括附面层内的压力都保持不变 。 当粘性流体绕曲面物体流动时,附面层外边界上沿流动方向的速度 u∞是变化的,所以曲面附面层内的压力也将同样发生变化 。 由于压力的变化将对附面层内的流动产生影响 。 关于曲面附面层的计算是很复杂的 。 在这里我们不准备作详细讨论,只着重说明曲面附面层的分离现象 。
如图 6-11为流体绕过一曲面物体的流动,u∞和 p∞表示无穷远处自由来流的速度和压力 。 由于流体绕流过物体的前驻点后,
沿上表面的流速将逐渐增加,直到曲面上某一点 M,然后第九节 曲面附面层的分离现象图 6-11 曲面附面层分离的形成示意图第九节 曲面附面层的分离现象又逐渐减小 。 由伯努利方程可知,相应的压力则先是逐渐降低
(dp/dx<0),而后又逐渐升高 (dp/dx>0)。 M点处附面层外边界上的速度最大,而压力最低 (dp/dx=0)。 沿曲面各点法向的速度剖面和压力变化曲线同时示于图 6-11中 。 图中实线表示流线,虚线表示附面层的外边界 。
我们从流体在附面层内流动的物理过程来说明曲面附面层的分离现象 。 当粘性流体流经曲面时,附面层内的流体质点被粘性力所阻滞而消耗动能,逐渐减速；越靠近物体壁面的流体微团受粘性力的阻滞作用越大,动能的消耗也越大,速度降低也越快,壁面上的流速为零 。 在曲面的降压加速段中 (M点以前 ),由于流体的部分压力能转变为流体的动能,附面层内流第九节 曲面附面层的分离现象体微团虽然受到粘性力的阻滞作用,但仍有足够的动能克服粘性力而继续前进 。 但是在曲面的升压减速段中 (M点以后 ),流体不仅因粘性力的阻滞作用而消耗动能,而且流体的部分动能还将转变为压力能 。 这就使得流体微团的动能消耗更大,流速迅速降低,附面层不断增厚 。 当流体流到曲面的某一点 S时,
靠近壁面的流体微团的动能已全被耗尽而停滞不前 。 跟着而来的流体微团也将同样停滞下来,以致越来越多的被停滞的流体微团在物体壁面和主流之间堆积起来 。 与此同时,在 S点之后,
压力的继续升高将使这部分流体微团被迫反向逆流,并迅速向外扩展 。 这样,主流便被挤得离开了物体壁面,形成了附面层的分离现象 。 在 ST线上一系列 流体微团的速度都等于零,
第九节 曲面附面层的分离现象成为主流和回流之间的间断面 。 由于间断面的不稳定性,很小的扰动就会引起间断面的波动,进而发展并破裂而形成旋涡 。
S点称为附面层的分离点,ST线 为零值流线 。 附面层分离时形成的旋涡,不断地被主流带走,在物体后部形成尾涡区 。 尾涡区中强烈的旋涡运动将消耗能量,使物体后部的压力不能恢复,造成物体前后明显的压力差,增加了物体的绕流阻力,
这种阻力称为 压差阻力,也称 旋涡阻力 。 在管道的扩张段中,
也有可能出现附面层的分离现象,产生压差阻力 。
综上所述 可得如下结论,粘性流体在压力降低区内流动
(加速流动 ),决不会出现附面层分离现象,只有在压力升高区内流动 (减速流动 ),才有可能出现附面层分离,出现旋涡 。
第九节 曲面附面层的分离现象尤其在主流的减速足够大的情况下,附面层的分离就一定会发生 。 例如,在圆柱体或球体这样的钝头体的后半部分上,当流体的流速足够大时,便会发生附面层的分离现象 。 这是由于在钝头体的后半部分有急剧的压力升高区,而引起主流减速加剧的缘故 。 因此,在工程上,若将钝头体的后半部分改为充分细长形的尾部,成为圆头尖尾的所谓流线形物体,就可使主流的速度缓慢降低,从而可避免或推迟附面层的分离,以减少由此而产生的压差阻力 。
第十节 粘性流体绕圆柱体的流动内 容 提 要
粘性流体绕流圆柱体的流场特征
粘性流体绕流圆柱体的阻力 FD及阻力系数
CD的计算
,卡门涡街”现象 和“阻力跌落”现象第十节 粘性流体绕圆柱体的流动在第四章中我们已经讨论了理想流体绕圆柱体的流动情况,
并得到圆柱面上 (r=r0)的速度分布和压力分布规律：
(4-70)
和 (4-71)
或者 (4-73)
由此可以看出,对于理想流体绕圆柱体流动时,其前后驻点处速度均为零,并且压力相等 。 但当粘性流体绕圆柱体流动时,
在圆柱体的表面上要形成附面层 。 若流体以相当于几个雷诺数

2
2
22
s i n41
2
1
)s i n41(
2
1
s i n2
0




u
pp
C
upp
uu
u
p
r
第十节 粘性流体绕圆柱体的流动
(如 Re<1～ 5)的很低的速度 u∞绕流圆柱体时,在开始瞬间与理想流体绕圆柱体的流动情况一样,流体在前驻点速度为零,而后沿圆柱体左右两侧流动,流动在圆柱体的前半部分是降压过程,速度逐渐增大到最大值；在后半部分是升压过程,速度逐渐减小,到后驻点重新等于零 (如图 6-13a所示 )。 当来流速度增加,即雷诺数增大时,使圆柱体后半部分的压力梯度增加,以致引起附面层分离,并在圆柱体的背后形成旋涡区 (如图 6-13b)。
这时,原来的后驻点已不再是驻点,沿圆柱面上的压力分布也不再符合式 (4-71)的规律 。 图 6-14绘出了沿圆柱面的三条无因次压力分布曲线,理论曲线 1是按公式 (4-73)绘制的,另外二条是粘性流体绕流圆柱体时,实测的压力分布曲线 。 其中第十节 粘性流体绕圆柱体的流动图 6-13 卡门涡街的形成过程第十节 粘性流体绕圆柱体的流动
————— 理论的压力分布
—·—·— Re=6.7× 105(超临界 )的压力分布
…………… Re=1.86× 105(亚临界 )的压力分布图 6-14 压力系数沿圆柱面的分布第十节 粘性流体绕圆柱体的流动中点划线 2对应于较高的绕流雷诺数,虚线 3对应于较低的雷诺数 。 绕流雷诺数为 Re=u∞d/ν,其中 d为圆柱体的直径,u∞为自由来流的速度,ν为流体的运动粘度 。 由图 6-14可以 看出：
(1)实际流体绕流与理想流体绕流的圆柱面上的压力分布曲线有一定的差别 。 只是在前驻点附近 ± 30° 左右的区域中,
两者的压力分布曲线基本上是相同的,而在其他范围内有较大的出入 。
(2)按理论压力分布曲线沿圆周积分,不管流体速度多大,
整个圆柱体浸在流体中是不受力的,这与实际情况出入较大 。
在实际流体绕流中,流动的流体对被绕流的圆柱体有一个沿流向的推力,由圆柱体的前侧指向后侧 。 这是由圆柱体前后第十节 粘性流体绕圆柱体的流动压力分布不对称而产生的 。 显然实际压力分布曲线能解释这种情况 。
(3)实际压力分布曲线,除前驻点附近 ± 30° 的区域内与理论曲线一致外,其他区域的压力分布形状与绕流的雷诺数 Re
有关 。 这表明压力分布曲线与圆柱体表面上附面层的性质有关,
也与附面层分离点的位置有关 。 当绕流雷诺数较低时,柱体表面的附面层属于层流附面层,附面层分离点较靠前,并且随雷诺数 Re的增大而前移,使旋涡区增大,因而压力分布曲线较平坦 。 当绕流雷诺数很大,超过临界值时,附面层由层流转变为紊流附面层 。 由于紊流附面层与主流进行动量交换的能力要比层流附面层强,保证了由主流向附面层供应能量,提高第十节 粘性流体绕圆柱体的流动了克服粘性阻力的能力,使附面层分离点的位置向柱体的后部推移,旋涡区大为减小,从而使流体对圆柱体的绕流得到改善 。
这就使压力分布曲线更接近于理论分布曲线,而且圆柱体后部压力得到提高 。 这说明不同 Re数下绕流情况是不同的,绕流
Re数越高,绕流情况越好,在超临界 Re数的情况下,绕流状况大为改善 。
前面已经讲到,当绕流雷诺数增加时,在圆柱体后部产生附面层分离,并有旋涡区形成 。 实验发现,在圆柱体后部的旋涡区内,旋涡总是成对出现,并且其旋转方向相反 (如图 6-13b
所示 )。 当绕流雷诺数超过 40以后,对称的旋涡不断增长,直到 Re≈60时,这对不稳定的对称旋涡将周期性地交替脱落 (如第十节 粘性流体绕圆柱体的流动图 6-13c),最后形成几乎稳定的,非对称的,多少有些规则的,
旋转方向相反的交错旋涡,称为 卡门涡街 (如图 6-13d)。 它以比来流速度 u∞小得多的速度 u*运动 。 实验证明,有规则的卡门涡街,只能在 Re=60～ 5000的范围内观察到,而且在大多数情况下是不稳定的 。 卡门证明,对圆柱体后的卡门涡街,当
Re≈150时,只有在两列旋涡之间的距离 h与同列中相邻两旋涡的间距 l之比 h/l=0.2806的情况下,才能真正达到稳定 。 图 6-15
是卡门涡街的流谱 。 根据动量定理对如图 6-15所 示的卡门涡街进行理论计算,得到作用在单位长度圆柱体上的阻力为
(6-56) ])(12.1)(83.2[ 2**2

u
u
u
uhuF
D?
第十节 粘性流体绕圆柱体的流动粘性流体绕流圆柱体的阻力 FD是由摩擦阻力 Ff和压差阻力
FP两部分组成,其阻力系数一般通过实验测得 。 图 6-16中绘出了粘性流体绕圆柱体流动时,阻力系数 CD随绕流雷诺数 Re的变化关系 。 阻力系数 CD的定义 式为
(6-57)
式中,FD— 圆柱体对流体的阻力,牛顿；
A— 圆柱体的最大迎流面积,A=直径 d× 长度 L。
由图 6-16可见,在附面层没有分离时,阻力系数 CD随 Re的增大下降较快 。 但当出现附面层分离后,雷诺数增大时,随分
Au
F
C DD
2
2
1
第十节 粘性流体绕圆柱体的流动离点前移,旋涡区增大,压差阻力略有增大,摩擦阻力减小,
这时 CD随 Re增大而继续减小,但比无分离时缓慢 。 当 Re>103
以后,摩擦阻力已在总阻力中变得微不足道,阻力主要由压差阻力组成,因分离点不再前移,CD 基本成一定值 。 当
Re>2× 105时,阻力系数 CD突然减小,这表明当 Re数超过临界值后,圆柱体表面的层流附面层转变为紊流附面层,使附面层分离点突然向后推移,旋涡区减小,绕流得到改善,圆柱体后压力提高,使圆柱体前后的压力差减小,这时虽然摩擦阻力有所增加,但由于压差阻力显著减小,而使得总阻力 FD减小,从而使阻力系数 CD大幅度下降,出现,阻力跌落,现象 。
第十节 粘性流体绕圆柱体的流动图 6-15 卡门涡街流谱第十节 粘性流体绕圆柱体的流动图 6-16 圆柱体的阻力系数与雷诺数的关系曲线第十节 粘性流体绕圆柱体的流动圆柱体后尾流的流动状态在小雷诺数下是层流,在较大的雷诺数时形成卡门涡街 。 随着雷诺数的增加 (150<Re<300)，
在尾流中出现流体微团的横向运动,由层流状态过渡为紊流状态 。 到 Re≈300时,整个尾流区成为紊流,而旋涡不断消失在紊流中 。
在圆柱体后尾流的卡门涡街中,两列旋转方向相反的旋涡周期性地均匀交替脱落,有一定的脱落频率 。 旋涡的脱落频率
n可按斯特罗哈提出的经验公式计算,即
(6-58)
式中 nd/u∞=St称为斯特罗哈数,它是一个相似准数,与雷诺
)102Re250()Re 7.191(198.0St 5
第十节 粘性流体绕圆柱体的流动数 Re有关 。 除此之外,根据罗斯柯 1954年的实验结果,St与 Re
之间存在着如图 6-17所示的关系,在大雷诺数 (Re>103)下,斯特罗哈数近似等于常数,即 St=0.21。
图 6-17 St数与 Re数的关系第十节 粘性流体绕圆柱体的流动卡门涡街交替脱落时会产生振动,并发生声响效应,这种声响是由于卡门涡街周期性脱落时引起的流体中的压力脉动所造成的声波,正如日常生活中听到风吹电线嘘嘘发响一样 。 工业上使用的空气预热器等多由圆管组装而成,流体绕流圆管时,
卡门涡街的交替脱落会引起预热器管箱中气柱的振动 。 如果卡门涡街的脱落频率恰好与管箱的声学驻波频率相重合时,就会诱发强烈的管箱声学驻波振动 (产生共振 ),产生很大的噪声,
造成空气预热器管箱的激烈振动 。 严重时,能使空气预热器的管箱振鼓,甚至破裂 。 如果我们改变管箱和气柱的固有频率,
使之与卡门涡街的脱落频率错开,避免发生共振,则可防止设备的破坏 。
第十节 粘性流体绕圆柱体的流动应当指出,不只是流体绕圆柱体流动时才产生卡门涡街 。
当流体绕流其它非流线型的物体时,只要发生附面层的脱离,
都可能会出现卡门涡街 。 因此,有些设备或设施,例如水下建筑或航空设备等都作成流线型,以避免附面层的分离及产生卡门涡街的破坏作用 。
第十一节 粘性流体绕球体的流动内 容 提 要
蠕流的概念
斯托克斯方程及其解析结果
绕流球体的阻力系数 CD及其计算
自由沉降速度的概念及其计算
非球形物体自由沉降速度的计算
减小绕流物体阻力的措施第十一节 粘性流体绕球体的流动工程上遇到粘性流体绕球体的流动情况也很多,象燃料炉炉膛空气流中的煤粉颗粒,油滴,烟道烟气中的灰尘以及锅炉汽包内蒸气空间中蒸气夹带的水滴等,都可以近似地看作小圆球 。 因此我们要经常研究固体微粒和液体细滴在流体中的运动情况 。 比如,在气力输送中要研究固体微粒在何种条件下才能被气流带走；在除尘器中要解决在何种条件下尘粒才能沉降；
在煤粉燃烧技术中要研究煤粉颗粒的运动状况等问题 。
当煤粉和灰尘等微小颗粒在空气,烟气或水等流体中运动时,由于这些微粒的尺寸以及流体与微粒间的相对运动速度都很小,所以在这些运动中雷诺数都很小,即它们的惯性力与粘性力相比要小得多,可以忽略不计 。 又由于微粒表面的附面层第十一节 粘性流体绕球体的流动极薄,于是质量力的影响也很小,也可略去 (这种情况下的绕流运动常称为 蠕流 )。 这样,在稳定流动中,可把纳维 — 斯托克斯方程简化 为
(6-59)
不可压缩流体的连续性方程为
)(
)(
)(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
z
p
z
u
y
u
x
u
y
p
z
u
y
u
x
u
x
p
zzz
yyy
xxx
第十一节 粘性流体绕球体的流动图 6-18 小雷诺数时绕圆球的流动
0?


z
u
y
u
x
u zyx
第十一节 粘性流体绕球体的流动
1851年斯托克斯首先解决了粘性流体绕圆球作雷诺数很小
(Re<1)的稳定流动时,圆球所受的阻力问题 。 在这种情况下,
除略去惯性力和质量力外,还假定绕流时在球面上不发生附面层的分离 (如图 6-18)。 将式 (6-59)及连续性方程式转化为球坐标形式,并结合边界条件进行理论求解,可得 解析结果 (具体解析过程在这里不再详述,可参考有关著作 )为速度分布：
(6-60)
压力分布：
(6-61)


c o s
2
3
),(
)
4
1
4
3
1(s in),(
)
2
1
2
3
1(c o s),(
2
0
3
3
00
3
3
00
r
ur
prp
r
r
r
r
uru
r
r
r
r
uru
r



第十一节 粘性流体绕球体的流动式中 u∞和 p∞分别为无穷远处流体的速度和压力,r0为圆球的半径 。
在圆球的前后两驻点 A和 B处的压力是在前驻点 A(θ=180° )
在后驻点 B(θ=0° )
由此可见,流体对圆球在 x方向上的作用力有一个合力,
即在 x方向上流体对圆球有一个推力 。 为了确定这个推力 (阻力 )
的大小,先要求出球面上各点的法向应力和切向应力 (图 6-18)。
由于在球面 上
0
0
2
3
2
3
r
u
pp
r
u
pp
B
A


，，,0/0/0/uuru rr
第十一节 粘性流体绕球体的流动
ur(r0,θ)=uθ(r0,θ)=0,于是可得到
(6-62)
现在求流体作用在球面上的法向力和切向力沿 x轴方向的分量 Fp和 Ff。 在球面上划出微元带形表面 (图 6-18),其面积
dA=2πr0sinθ·r0dθ=2πr20sinθdθ,于是










s i n
2
3
)
1
()(
c o s
2
3
),(2),()(
0
0
00
0
0
r
u
r
u
r
u
r
uu
r
r
u
p
rp
r
u
rp
r
rrr
r
rrrr
第十一节 粘性流体绕球体的流动则粘性流体绕流圆球时所受到的阻力 (即流体作用在圆球上的推力 )为
FD=FP+Ff=πdμu∞+2πdμu∞=3πdμu∞ (6-63)
其中 FP为 压差阻力,Ff为 摩擦阻力,FD为 总阻力 。 式中 d=2r0
为圆球的直径 。








udurur
r
r
u
AF
udurur
r
r
u
pAF
A
rf
A
rrP




24ds i n3
ds i n2s i ns i n
2
3
ds i n
2ds i nc o s3
ds i n2c o s)c o s
2
3
(dc o s
0
0
3
0
0
2
0
0
0
0
2
0
0
2
0
0
第十一节 粘性流体绕球体的流动式 (6-63)就是粘性流体绕流圆球的 斯托克斯阻力公式 。 其阻力系数为
(6-64)
式中 A— 圆球的 迎流面积,A=(1/4)πd2。 当雷诺数 Re<1时,式
(6-64)与 实验结果很相符合 。
实验证明,绕流球体的阻力系数 CD随着绕流雷诺数 Re的增加而减小 。 图 6-19绘出了粘性流体绕圆球流动的阻力系数 CD
随 Re数变化的实验曲线,其临界雷诺数 Rec=(2～ 3)× 105。 对应于图 6-19各区域的 CD近似计算 公式有
Re
2424
4
1
2
1
3
2
1 222




du
du
ud
Au
F
C DD
第十一节 粘性流体绕球体的流动图 6-19 圆球和圆盘的阻力系数与雷诺数的关系曲线第十一节 粘性流体绕球体的流动
)656(
)102Re5 0 0(44.0
)1 0 0 0Re10(
Re
13
)1 0 0( R eR e )
16
3
1(
Re
24
)5( R eR e )
16
3
1(
Re
24
)1( R e
Re
24
5
2
1





牛顿公式，
阿连公式，
奥森修正公式，
奥森公式，
斯托克斯公式，
D
D
D
D
D
C
C
C
C
C
第十一节 粘性流体绕球体的流动现在我们 研究一个圆球在静止流体中的运动情况 。 一个直径为 d的圆球从静止开始,在静止的流体中自由下落,由于重力的作用,下降速度逐渐增大,同时,圆球受到的流体阻力也逐渐增大 。 当圆球的重量 G与作用在圆球上的流体的浮力 FB及流体的阻力 FD达到 平衡时,
G=FB+FD
圆球在流体中将以等速度 uf自由沉降 。 这一临界速度 uf称为圆球的 自由沉降速度 。 将圆球的重量 G=(1/6)πd3γs，
流体的浮力 FB=(1/6)πd3γ，
和流体对圆球的阻力 FD=CD(1/2)ρu2f·( 1/4)πd2代入 上式,
第十一节 粘性流体绕球体的流动得 (6-66)
当 Re<1时,将 CD=24/Re代入上式,得到
(6-67)
当 Re=10～ 1000时,将 CD= 代入式 (6-66)得
(6-68)
当 Re=500～ 2× 105时,将 CD=0.44代入式 (6-66)得
(6-69)

s
D
s
D
f C
dg
C
dgu
3
4
3
4
)(
18
2

sf dgu
ddgu ssf 3
1
3
2
3
2
5.0 )()39
4(



ss
f gddgu 3)(74.1
2
1
Re13
第十一节 粘性流体绕球体的流动如果圆球是在气体中沉降时,由于气体的密度 ρ比球体的密度 ρs小得多,故式 (6-67),(6-68),(6-69)可以 近似地写为
(6-70)
(6-71)
(6-72)
对于非球形物体,自由沉降速度公式 (6-66)同样适用,只需引入 当量直径 de和 圆球度 Ω的概念,它们 的定义为
)1( R e
18
2

dgu s
f
)1 0 0 0Re10()()
39
4( 313232
5.0
ddgu ssf?

)102Re500(3)(74.1 52
1

dgdgu ss
f
第十一节 粘性流体绕球体的流动
(6-73)
(6-74)
式中 V0为物体的体积,A0为物体的表面积 。 对于正方体
Ω=0.806,圆柱体 Ω=0.86,煤粉 Ω=0.70,砂粒 Ω=0.53～ 0.63。
于是
(6-75)
由于,所以上式也可写为
(6-75a)
0
3
2
0
00
0
3 0
8 3 6.4
6
A
V
AV
AV
V
d
e

的实际物体的表面积体积为的圆球的表面积体积为
s
D
e
f C
dgu
3
4
0
06
A
Vd
e
s
D
f CA
Vgu
0
08
第十一节 粘性流体绕球体的流动如果球体能被以速度为 u∞的垂直上升的流体带走,则它的绝对运动速度为
us=u∞-uf (6-76)
因此,当 uf=u∞时,圆球的绝对速度 us等于零,即圆球将悬浮在流体中静止不动 。 这时流体的上升速度 u∞称为圆球的 悬浮速度,
它的数值与 uf相等 。 所以,只有当流体的上升速度 u∞大于圆球的自由沉降速度 uf时,圆球才会被流体带走；反之,当流体的上升速度 u∞小于圆球的自由沉降速度 uf时,圆球将在流动的流体中沉降 。
第十一节 粘性流体绕球体的流动通过前面对流动阻力的讨论可知,粘性流体绕物体流动所产生的阻力是由切向应力和压力差所造成的,故 流动阻力分为摩擦阻力 和 压差阻力 两种 。
摩擦阻力是流体粘性直接作用的结果 。 当粘性流体绕物体流动时,流体对物体表面作用有切向应力,由切向应力而产生摩擦阻力 。 所以,摩擦阻力是指作用在物体表面上的切向应力在来流方向上的投影的总和 。
压差阻力是流体粘性间接作用的结果 。 当粘性流体绕物体流动时,比如说绕圆柱体流动时,如果附面层在压力升高
(dp/dx>0)的区域内发生分离,形成旋涡,则在从分离点开始的圆柱体后部所受到的流体压力,大致接近于分离点的压力,而第十一节 粘性流体绕球体的流动不能恢复到理想流体绕圆柱体流动时应有的压力数值 (见图 6-
14),这样,就破坏了作用在圆柱体上前后压力的对称性,从而产生圆柱体前后的压力差,形成了压差阻力 。 而旋涡所携带的能量也将在整个尾涡区中被消耗而变成热量最后散失掉 。 所以压差阻力是指作用在物体表面上的压力在来流方向上的投影的总和 。 压差阻力的大小与物体的形状有很大的关系,所以又称为形状阻力 。 压差阻力和摩擦阻力之和称为物体阻力 。 虽然物体阻力的形成过程,从物理观点来看完全清楚,可是,要从理论上来确定一个任意形状物体的阻力,至今还是十分困难 。
物体阻力目前都是用实验方法测得的 。
第十一节 粘性流体绕球体的流动根据物体阻力的形成过程,我们可以 采用以下措施来减小绕流物体的阻力：
(1)根据工程需要,尽可能 采用流线型物体,这样可避免附面层的分离,大大减小压差阻力 。
(2)对于流线型物体,为了进一步减小粘性阻力,可以考虑 设计成层流型体 。 因为流线型物体的阻力主要是摩擦阻力
(没有附面层分离 )。 为进一步减小摩阻,应该使其附面层全为层流附面层,这是因为层流附面层的摩擦阻力要比紊流附面层的摩擦阻力小得多 。
(3)对于 非流线型物体应使其附面层为紊流附面层 。 虽然这样做增加了摩擦阻力,但由于紊流附面层内流速分布比较第十一节 粘性流体绕球体的流动
,饱满,,本身具有的能量较大,因而能够大大推迟附面层的分离,减小分离后的旋涡区,从而大大减小了压差阻力 。 摩阻略增,压阻大减,最终使总的物体阻力有所降低 。
(4)对附面层进行人工控制 。 这样可防止和推迟附面层的分离,从而减小压差阻力 。 具体方法有 吹喷和抽吸 等,以增加附面层内流体的动能,使附面层不分离或减缓附面层分离 。
本 章 小 结一、基本概念二、基本定律和基本方程三、重要的性质和结论

流体力学与流体机械
(七 )
多媒体教学课件李文科 制作第七章 相似原理与因次分析
第一节 概 述
第二节 相似的概念
第三节 有因次量和无因次量
第四节 描述现象的微分方程及单值条件
第五节 相似三定理
第六节 相似准数的导出第七章 相似原理与因次分析
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π 定理
第八节 相似准数的转换
第九节 模型实验研究方法第一节 概 述内 容 提 要
数学分析法和实验法
原型测试和模型实验
冷态模型和热态模型
整体模化和局部模化第一节 概 述人类探索自然规律,研究自然现象的方法,可归纳为两大方面：
1,数学分析法,是以数学作为探索自然规律的主要手段,根据所研究的物理现象的特点,分析与该现象相关各物理量之间的依变关系,列出描述该现象的微分方程组,再根据边界条件,对方程组进行求解 。
2,实验法,是指对某一正在发生的现象或正在进行的过程进行系统的观察和参量的测定,再通过对取得的数据进行加工,分析,以找出各参量的分布规律及其相互间的依变关系 。
第一节 概 述实验法可分为 原型测试 和 模型实验 两类 。
原型测试法,就是对正在运行的设备及过程进行实际测试,掌握第一手资料,从而可为设备及过程的最优化提出改进依据 。
模型实验法,是以相似原理为指导,对所研究的现象建立模型,通过模型实验,定性地或定量地探索各物理参量间的依变关系,找出其内在规律,以这些规律为指导,进行新工艺或新设备的计算及设计 。
相似原理是指导模型实验的理论基础 。
第一节 概 述按模型实验的温度条件可分为 冷态模型 和 热态模型 。
冷态模型,一般以常温的水或空气作流动介质 。 水模型便于定性的观察,显示和摄相,气模型便于进行定量的测试 。
热态模型,一般伴随有高温化学反应和热交换过程 。 小型火焰实验炉就是热态模型 。
按模型的规模可分为 整体模化 和 局部模化 两种 。
整体模化,可以研究设备整体或某一系统运行过程中各个参量的依变关系,体现了整体设备或全部过程的综合特征 。
局部模化,为了深入剖析某一局部现象,也可进行局部模化,如高炉的风口区,火焰炉的燃烧器或换热器等 。
第二节 相似的概念内 容 提 要
一,几何相似
二,时间相似
三,物理现象相似
1,速度相似 2,动力相似
3,温度相似 4,浓度相似
5,物理常量相似第二节 相似的概念一,几何相似两个几何相似的图形,其对应部分的比值必等于同一个常数,这种相似称为 几何相似 。 如两个相似的三角形,有
(7-1)
比例常数 Cl称为 几何相似倍数 。
图 7-1 相似三角形
lCh
h
c
c
b
b
a
a ''''
第二节 相似的概念图 7-2 相似三角锥同理,如果两个三角锥相似,则这两个锥体的对应边也应成比例 (如图 7-2),即
(7-1a)
显然,相似形的对应面积之比为 C2l，对应的体积之比为 C3l。
lCl
l
l
l
l
l
l
l
6
'
6
3
'
3
2
'
2
1
'
1?
第二节 相似的概念几何相似体现了空间相似 。 几何相似是两组现象相似的必要条件之一 。
空间相似,是指所有的空间几何线尺寸都对应成比例 。
若两个现象,其对应的空间坐标参量之比为当 Cx=Cy=Cz=Cl时,这样的几何相似称为 正态相似 。 按正态相似建立的模型称为 正态模型 。 当 Cx≠Cy≠Cz时,这样的模型称为 变态模型 。
zyx Cz
zC
y
yC
x
x ''',,
第二节 相似的概念二,时间相似时间相似 是指两现象的发生或两过程的进行所对应的时间间隔成比例 。
空间与时间是物质存在与发展的基本形式 。 表征自然现象的一切物理量,都是空间坐标与时间的函数 。 两个现象或过程从某一对应的起始时刻至某一对应的终了时刻形成两个对应的时间间隔,如果所有对应的时间间隔都各自成比例,则这两个现象或过程的物理量随时间的变化是相似的 (图 7-3)。
因此,时间相似可以表述为
(7-2) C '
3
'
3
2
'
2
1
'
1?
第二节 相似的概念式中 Cτ称为 时间相似倍数 。
图 7-3中 φ及 φ′为任意两个对应参量,如果它们随时间的变化是相似的,则它们形成的两个折线是相似的 。
图 7-3 时间相似图形第二节 相似的概念三,物理现象相似所谓 物理现象相似 是指在 几何相似 和 时间相似 的前提下,
在相 对应 的时间内和在相 对应 的空间点上,所有用来描述两个现象的一切物理量都各自 对应 成比例 。
如流体流动,热量交换及质量交换所伴随的物理量有速度
(u),压力 (p),密度 (ρ),粘度 (μ),温度 (t),导热系数 (λ),浓度
(c)和时间 (τ)等等 。 可见,物理 现象相似要比几何相似复杂得多 。 因为参与过程的所有参量都将随空间和时间而改变,只有两个系统中所有参量都一一对应成比例,才称为两个现象是相似的 。
第二节 相似的概念
1.速度相似,是指速度分布的相似,即速度场的几何相似,也就是说,在几何相似的条件下,对应空间部位流体质点所构成的 流线图形相似 。 它表现为各对应空间点上和各对应时刻上,速度的 方向相同,大小对应成比例 (如图 7-4)。 即
(7-3)
式中 Cu称为 速度相似倍数 。 速度场相似是运动场相似的体现 。
图 7-4 速度场相似
u
n
n C
u
u
u
u
u
u
u
u '
3
'
3
2
'
2
1
'
1?
第二节 相似的概念
2.动力相似,是指动力场的几何相似 。 它表现为在各个对应空间部位和对应时刻上各对应的 作用力性质相同,方向相同,大小对应成比例 。
如图 7-5所示,当流体流过两个几何相似的流线体时,在同一时刻,作用在对应空间流体质点上的各对应的作用力性质相同,方向相同,大小对应成比例,即图 7-5 动力场相似第二节 相似的概念
(7-4)
式中 CF称为 动力相似倍数 。 动力场相似可使得速度场做到相似 。
F
b
b
a
a C
F
F
F
F
F
F '''?
第二节 相似的概念
3.温度相似,是指温度分布的相似,即温度场的几何相似 。 它表现为在几何相似的空间范围内,各对应点和各对应时刻上的温度值对应成比例 (如图 7-6所示 ),即
(7-5)
式中 Ct称为 温度相似倍数 。
图 7-6 温度场相似
t
n
n C
t
t
t
t
t
t
t
t '
3
'
3
2
'
2
1
'
1?
第二节 相似的概念
4.浓度相似,是指两现象的浓度分布相似,即浓度场的几何相似 。 如图 7-7示出了 CH4气体向空气中喷射时形成的浓度分布情况 。 如果两现象的浓度场相似,则对应空间部位在对应的时刻上气体的浓度对应成比例,即
(7-6)
式中 Cc称为 浓度相似倍数 。
图 7-7 浓度场相似
c
n
n C
c
c
c
c
c
c
c
c '
2
'
2
1
'
1
0
'
0?
第二节 相似的概念
5.物理常量相似,参与过程的各物理介质都具有自己的物理常量,如介质的密度 ρ,动力粘度 μ,导热系数 λ… 等等 。
只要在对应的空间点和对应的时刻上介质的各物理常量都对应成比例,即为 物理常量相似 。 两现象的物理常量相似时,必有
(7-7)
式中 Cρ,Cμ,Cλ… 分别代表各相应 物理常量的相似倍数 。

CCC ''',,
第二节 相似的概念根据以上讨论可以发现,描述现象的各物理量的相似,在数学上表现为以下两种形式：
(1)标量相似,只有大小而无方向的量称为 标量 。 如温度,
浓度,密度等都属于标量 。 标量相似,其大小在对应空间部位和对应的时刻上对应成比例,可表示为
(7-8)
式中 φn′,φn代表任意对应的特征标量,Cφ为对应标量的相似倍数 。
(2)向量相似,既有大小又有方向的量称为 向量 。 如速度,

C
n
n
'
3
'
3
2
'
2
1
'
1?
第二节 相似的概念加速度,力等都是向量 。 向量相似,不仅其大小在对应空间部位和对应时刻上对应成比例,而且性质相同,方向一致 。
向量相似可表示为
(7-9)
式中 φi′,φi代表两相似系统的任意两个对应的向量,式 (7-9)中
φi′,φi为其绝对值 。 比例常数 Cφ为对应向量的相似倍数 。 以上两式中的 φ代表原型中的参量,φ′代表模型中的参量 。 脚标 1，
2,……,n代表空间的相应点和时间的相应时刻 。 脚标 x,y，
z代表相应坐标轴 上有关向量的分量 。

C
i
i
z
z
y
y
x
x
''''
第二节 相似的概念下面介绍后面常用到的微分量与积分量之间的所谓,置换法则,。
根据比例的基本性质,
由于常量的极限值就等于其自身,故有
(7-10)
常数则常数如果









C
C
12
12
21
21
2
2
1
1
常数或者常数




C
C
d
d
d
d
)(lim
2
2
1
1
0
第二节 相似的概念式 (7-10)说明,对相似现象而言,两物理量的微分之比等于该两相应物理量之比 。 根据这一法则,对于特征量的任意阶导数都可以用其相应的特征量的比值,即所谓的,积分类比,来代替 。
如一阶导数 可用其积分比 代替；二阶导数 可用代替,如此类推 。 这样,多阶导数 可用 代替,将复杂的微分式变成简单的代数式,可大大简化运算过程 。 用积分比代替微分比在相似转换中有很大的用途 。
x
t
x
t
2
2
x
t
2x
t
n
n
x
t
nx
t
第三节 有因次量和无因次量内 容 提 要
一,因次的概念
二,有因次量和有因次方程
三,无因次量和无因次方程
四,准数和准数方程
定性参数的选取第三节 有因次量和无因次量一,因次的概念因次 又称 量纲,它指的是物理量的物理属性,或者说是指具有相同物理意义的物理量的类别 。
以小时,分,秒为例,它们是测量时间的不同单位,但这些单位都是用来测量时间的,都属于时间的类别 。
因次的符号一般用方括号内英文字母等来表示,如质量的因次 ［ Ｍ ］,长度的因次 ［ Ｌ ］,时间的因次 ［ Ｔ ］,压力的因次 ［ ML－ 1T－ 2］ 和温度的因次 ［ Θ］ 等等 。
在国际单位制中,取 长度,质量,时间,电流,热力学温度,物质的量 和 发光强度 这七个物理量作为,基本量,。
第三节 有因次量和无因次量这七个 基本量的因次 相应地用 ［ Ｌ ］,［ Ｍ ］,［ Ｔ ］,
［ Ｅ ］,［ Θ］,［ Ｎ ］,［ Ｃ ］ 来表示,称为 基本因次 。 其它一些物理量的因次是用上述基本因次根据一定的物理方程推导出来的,称为,导来因次,。 如速度的因次 ［ LT－ 1］ 是根据运动方程 u=dl/dτ用长度的因次 ［ Ｌ ］ 和时间的因次 ［ Ｔ ］
推导而来的,是导来 因次 。
在流体力学中,常用的基本因次为：长度 ［ Ｌ ］,质量
［ Ｍ ］,时间 ［ Ｔ ］,温度 ［ Θ］ 等； 常用的 导来因次列于表
7-1中 。 在因次运算过程中,在不致于引起混淆的情况下可将因次外的方括号省略,否则必须加上方括号 。
第三节 有因次量和无因次量二,有因次量和有因次方程具有因次的物理量称为 有因次量 。 如速度 u,压力 p和密度
ρ 等物理量都是有因次量 。
用加 (＋ ),减 (－ ),等号 (＝ )等运算符号把描述现象的各有因次参量联系在一起组成的方程,称为 有因次方程 。
对有因次方程而言,各项的因次必须是相同的,否则将不能保持因次的和谐性 。
如水静力学基本方程各项的因次都必须是 ［ ML－ 1T－ 2］ 。
hpp 0
第三节 有因次量和无因次量再如伯努利方程各项的因次都必须是 ［ Ｌ ］ 。
由此可给出因次分析的一个重要原理,即因次和谐原理,,凡正确的物理方程,其中各项的因次都必须相同,这是完整物理方程所必然具有的特征,。
有因次方程体现了参与过程的各物理参量之间的具体的依变关系,给人以直观感 。
g
uzp
g
uzp
22
2
2
2
2
2
1
1
1

第三节 有因次量和无因次量三,无因次量和无因次方程以某一有因次量作为参考尺度,其它具有相同因次的量都用该尺度所度量,得出的失去了因次的量称为 无因次量 。
如管道的无因次长度 l/d；无因次坐标 r/R ；管内流动的无因次速度 u/umax等 。
参考尺度 可选取固定量,也可选取有规律的变量 。 如马赫数 M=u/a,其中 为当地音速,它是个有规律的变量 。
用加 (＋ ),减 (－ ),等号 (＝ )等运算符号将描述现象的无因次量联系起来组成的方程,称为 无因次方程 。 一般地,无因次方程比有因次方程更能体现同类现象或物理过程的一般规律 。
kR Ta?
第三节 有因次量和无因次量如管内层流的无因次速度 (u/umax)与无因次坐标 (r/R)之间的函数关系式为可压缩流体按等熵过程膨胀加速时,无因次速度 (u/umax)与无因次压力 (p/p0)之间 的函数关系式为式中 umax为可压缩流体的极限速度,p0为 可压缩流体的滞止压力 。
2
m a x
)(1
R
r
u
u
2
11
0m a x
])(1[ k
k
p
p
u
u
第三节 有因次量和无因次量四,准数和准数方程无因次量可以是两个简单的同类量之间的比值关系,也可以把一些 具有一定物理含义和相同因次的复合数群相比,得出新的无因次值,这个无因次值就称为 准数 或称 准则数,也有人称作 特征数 。 简单地说,准数 就是,由某些有关的物理量所组成的无因次复合数群,。 即它是一个复杂的无因次量 。
例如,与流体质点运动相关的有四种力,惯性力,粘性力,
重力和压力 。 研究流体流动时,常常将它们进行无因次化 (准数化 ),推导过程如下：
第三节 有因次量和无因次量当流体在流动过程中,粘性力起主导作用时,将惯性力与粘性力相比,得
(7-11)
Re称为 雷诺准数 。 它体现了流体运动过程中惯性力与粘性力之间的比值关系 。
ul
l
u
l
l
u
AT
ul
ul
u
l
u
lmaF




2
2233
d
d
粘性力惯性力
Re
22
luul ul粘性力惯性力
2
3
lpApP
lgVG


压力重力
第三节 有因次量和无因次量当流体在流动过程中,压力起主导作用时,如管内有压流动,将压力与惯性力相比,得
(7-12)
Eu称为 欧拉准数 。 它体现了流体在运动过程中压力与惯性力之间的比值关系 。
当流体在流动过程中,重力起主导作用时,如液体在明渠内的流动,将流体的惯性力与重力相比,得
(7-13)
Eu222
2
upul lp惯性力 压力
Fr
2
3
22
lgulg ul重力惯性力第三节 有因次量和无因次量
Fr称为 付鲁德准数 。 它体现了运动流体的惯性力与重力之间的比值关系 。
再如,当研究液体薄膜或液体薄膜的破碎问题时,表面张力起主导作用 。 将液体的惯性力与表面张力相比,得
(7-14)
We称为 伟伯准数 。 它体现了液体的惯性力与表面张力之间的比值关系 。
又如,可压缩流体在运动过程中,弹性力起主导作用,可将惯性力与弹性力相比,(弹性力 )得
We
222
lulul表面张力 惯性力
22 laAEN
第三节 有因次量和无因次量
(7-15)
M称为 马赫准数 。 它体现了可压缩流体在运动过程中惯性力与弹性力之间的比值关系 。
以后将证明,准数相等是两现象相似的必要条件 。
由准数所组成的方程式称为 准数方程 。 如
Eu=f(Re,Fr)
上式体现了运动流体的欧拉准数 (Eu)依变于雷诺准数 (Re)和付鲁德准数 (Fr)的函数关系,它是 一个准数方程 。
a
u
a
u
la
ul MM 2
2
2
22
22
或弹性力惯性力
第三节 有因次量和无因次量再如对流传热过程中,奴谢尔特准数 (Nu)依变于雷诺数
(Re),普朗特准数 (Pr)和格拉晓夫准数 (Gr)的函数关系式
Nu=f(Re,Pr,Gr)
它也是一个准数方程 。
准数方程比一般的有因次方程更能体现同类现象变化的一般规律 。 在科学实验中,把得到的某些有因次量之间的依变关系转换为准数方程,可以把由个别现象得来的规律 共性化,
一般化,有利于把研究结果推广到相似的同类现象中去 。
第三节 有因次量和无因次量定性参数的选取,简单的无因次量或各个准数中所包含的几何尺寸或物理量,如长度 l,直径 d,流体的流速 u以及对物理常量 (ρ,μ等 )有影响的温度 t等 称为 定性参数 。
当借助准数的数值对两流动现象进行比较时,必须用相同的方法确定定性参数 。 否则将是无意义的 。
定性参数的选取应 便于测量和计算 。 如流体在圆管内流动时,可选取管内径为定性线尺寸,以流量平均速度为定性速度；
流体横向绕过圆管流动时,以管外径为定性线尺寸,以来流速度为定性速度等 。 定性参数选取得合理,不仅能真实体现流动特征,而且便于实验工作的进行和数据的整理与加工 。
第四节 描述现象的微分方程及单值条件内 容 提 要
一,微分方程
二,单值条件
1,几何条件 2,起始条件
3,边界条件 4,物理条件第四节 描述现象的微分方程及单值条件一,微分方程自然界中的大多数物理现象,都可用一组数学物理方程来描述,该方程体现了各物理参量之间的依变关系 。
分析表明,同一类物理现象可用文字和形式完全相同的微分方程来描述 。
以不可压缩粘性流体的等温流动为例,其基本方程如下：
连续性方程
(7-16)
运动方程 (纳维 — 斯托克斯方程 ) (式 7-17～ 19)
0?

z
u
y
u
x
u zyx
第四节 描述现象的微分方程及单值条件这一完整方程组全面地描述了不可压缩粘性流体不稳定等温流动现象中各种物理量之间的依变关系 。 它所描述的是普遍的流动现象,故求解上述一组方程式所得到的是对同一类型的各种流动都正确的 通解 。 为求得某一特定的具体流动的 特解,
还必须给出一定的 附加条件 。 这些附加条件就称为 单值条件 。



)(
1
)(
1
)(
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
z
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
z
u
y
u
x
u
y
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
z
u
y
u
x
u
x
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
zzz
z
z
z
z
y
z
x
z
yyy
y
y
z
y
y
y
x
y
xxx
x
x
z
x
y
x
x
x



第四节 描述现象的微分方程及单值条件二,单值条件单值条件包括以下四项：
1.几何条件,所有的具体现象都必须发生在一定的几何空间内,因此 参与过程的物体 (设备 )的几何形状和大小是应给出的一个单值条件 。 如,流体在管内流动,应给出管径 d,管长 l及管壁粗糙度 Δ等具体 数值 。
2.起始条件,任何现象的发生或过程的发展都直接受到起始状态的影响,如流速,温度,介质的物理性质等,于开始时刻在整个系统内的分布直接影响以后的过程 。 因此,起始条件也属于单值条件 。 在对具体的物理过程进行解析时,应当给第四节 描述现象的微分方程及单值条件出与现象有关的各物理参量 (如流速,温度等 )于起始时刻在全系统的分布情况 。 对于稳定过程而言,不存在起始条件 。
3.边界条件,所有具体现象都必然受到与其相邻的周围情况的影响,因此 发生在边界上的情况也是单值条件 。 例如管道内流体的流动现象直接受进口,出口及壁面处流速的大小及其分布的影响 。 因此,应给出管道进口,出口处流速的平均值及分布规律和管壁面处流体层的速度值 。 如果是不等温流动,
还应给出进,出口处温度的平均值或其分布规律,以及壁面处的流体温度 。
4.物理条件,所有具体现象都是由具有一定物理性质的介质参加进行的,因此,参与过程的介质的物理性质也是单值第四节 描述现象的微分方程及单值条件条件 。 如不可压缩粘性流体的等温流动,应给出介质的密度 ρ,
粘度 μ 的数值 。 如流动是不等温的可压缩粘性流体,则应给出状态方程式及物理常数随温度变化的函数关系式,即
p=ρRT； μ=f1(T)； λ=f2(T)； Cp=f3(T)。
上述条件给定以后,就可以从服从于同一自然规律的无数的现象中单一地划分出某一具体的现象 。 因此,单值条件是将某一具体现象与其它同类现象区分开来的全部条件 。 单值条件相似是现象相似的必要条件 。
第五节 相似三定理内 容 提 要
一,相似第一定理
二,相似第二定理
三,相似第三定理第五节 相似三定理相似三定理是相似原理的核心内容,也是模型实验研究的主要理论基础 。 它可以告诉我们在进行模型实验研究时,应当解决的下列几个问题：
1.实验研究应当测量哪些参量?
2.如何做到模型现象与原型现象相似?
3.如何对测量的结果进行数据的整理和加工?
4.模型实验的结果怎样推广应用?
本节介绍相似三定理,重点不在于对这些定理的数学推导和理论证明,而是着重对它们的内容实质的理解和运用 。 相似三定理不是数学表达式而是文字叙述 。
第五节 相似三定理一,相似第一定理相似第一定理又称相似正定理,或相似性质定理 。 其内容是：,彼此相似的现象,其相似准数的数值必定相等,。
相似第一定理的结论是由分析相似现象的性质后得出来的 。
相似概念表明,彼此相似的现象是指表述此种现象的所有物理量在空间中相对应的各点及在时间上相对应的各瞬间都各自对应成一定的比例关系 。
彼此相似的现象具有以下性质：
性质 (1),相似的现象都属于同一类现象,它们都可以用文字上与形式上完全相同的完整方程组来描述 。 这个方程组包括描述现象的基本方程和描述单值条件的方程 。
第五节 相似三定理性质 (2),用来表征这些相似现象的一切对应物理量的场相似,即各对应物理量在对应的空间部位和对应时刻都各自对应成比例 。
若以 φ表示第一个现象的任一物理量,φ′表示与其相似的第二个现象的同类量,则有
φ′/φ=Cφ 或 φ′=Cφ·φ
比例系数 Cφ称为物理量 φ的,相似倍数,,其值与坐标及时间无关 。
如对彼此相似的不可压缩粘性流体的不稳定等温流动,就有第五节 相似三定理
(7-20)
性质 (3),相似的现象必定发生在几何相似的空间中,所以几何的边界条件必定相似 。 这实质上是相似性质 (2)的一个特例 。 以连续加热炉为例,当模型与原型相似时,对应线尺寸必定成比例 (如图 7-8所示 ),即
l
fp
u
z
z
y
y
x
x
C
z
z
y
y
x
x
C
C
f
f
CCC
p
p
C
u
u
u
u
u
u
u
u
,
,,,,
,

lCl
l
l
l
l
l
l
l
4
4
3
3
2
2
1
1
第五节 相似三定理图 7-8 加热炉几何边界相似性质 (4),由性质 (1)和性质 (2)可知,表示现象特征的各物理量的相似倍数之间并不是互不相关的,而是相互联系并为某一种规律彼此相约束的 。 它们之间的 约束关系 表现 为 由某些相似倍数所组成的 相似指标数 (简称 相似指标 )等于 1。
现举例说明如下：
第五节 相似三定理设有一流体质点沿 x轴作直线运动,其运动方程为
u=dx/dτ (1)
另一流体质点的运动与上面的流体质点的运动相似,则根据相似性质 (1),其运动方程为
u′=dx′/dτ′ (2)
表示两质点运动的物理量分别为 u,x,τ和 u′,x′,τ′。
根据相似性质 (2),第二个流动现象的物理量与第一个流动现象的物理量在对应的空间点和对应的时刻上各自对应成比例关系,即或者 (3)


CxCxuCu
CC
x
x
C
u
u
lu
lu
,,
,,
第五节 相似三定理将式 (3)代入式 (2),得
(4)
把式 (4)与式 (1)进行 比较,显然,只有各相似倍数之间的关系符合
(5)
两个流体质点的运动方程才完全相同 。 这就是相似性质 (4)所说明的各物理参量的相似倍数之间的约束关系 。 这种约束关系常用 C表示,即
(7-21)
C称为 相似指标数,或简称 相似指标 。 它是由描述现象的一些
1?
l
u
C
CC?

d
d
dC
d xu
C
CCxCuC
l
ul
u
或者
1
l
u
C
CCC?
第五节 相似三定理物理量的相似倍数所组成 。 对于不同的物理现象或过程,组成相似指标数的相似倍数是不同的 。 对于彼此相似的现象,其相似指标必等于 1。 相似第一定理也可以此来表述 。
上面的相似指标式 (7-21)通常可写成另一种形式：
即
(7-22)
式 (7-22)中的 都是无因次综合量,即相似准数 。
它表明这样的 物理意义,对于彼此相似的流体质点的运动,它们在空间的对应点及时间的对应时刻,由 u,x,τ所组成相似准数 的数值是相等的 。
x
u
x
u
xx
uu




1
/
)/)(/(
xuxu // 和
xu /?
第五节 相似三定理称为 斯特罗哈准数,用 St表示,通常写作
(7-23)
斯特罗哈准数 St体现的是运动流体所受到的迁移惯性力与当地惯性力之间的比值关系 。
从上述对相似性质的分析中,可以得出相似第一定理的结论,,彼此相似的现象,其相似准数的数值相等,。
这一定理回答了实验研究中的第一个问题,即在实验中需要测定哪些物理量 。 它指出,所要测定的物理量乃是包含在各有关准数中的物理量 。
l
uSt
xu /?
第五节 相似三定理二,相似第二定理相似第二定理又称相似逆定理,或相似判定定理 。 其内容是：,凡是同一种类的现象,若单值条件相似,而且由单值条件的物理量所组成的相似准数在数值上相等,则这些现象就必定相似,。
相似第二定理明确规定了两个现象相似的充分必要条件,
即 相似条件 。 这对进行模型实验研究十分重要,因为要使模型中的现象与原型中的现象相似,就必须设法满足相似条件 。
由相似第二定理可知,表征现象相似的条件有三个：
相似条件 (1),所研究的两个现象要属于同一类现象 。 即第五节 相似三定理两现象是服从于同一自然规律的现象,它们都可用文字与形式完全相同的基本方程组来描述 。
相似条件 (2),单值条件相似是现象相似的第二个必要条件 。 若两个流动现象的单值条件完全相同,则两者为同一流动现象 。 若两个流动现象的单值条件相似,则两者为相似的流动现象 。 若两个流动现象的单值条件既不相同也不相似,那么这两个流动现象就既不相同也不相似 。 所以,要保证两流动现象相似,就必须保证单值条件相似 。 如对于不可压缩粘性流体的不稳定等温流动来说,应包括以下 单值条件：
① 几何条件相似； ② 时间条件相似；
③边界条件相似； ④物理条件相似。
第五节 相似三定理相似条件 (3),由单值条件的物理量所组成的相似准数在数值上相等是现象相似的第三个必要条件 。 就是说,要保证两个流动现象相似,单值条件各对应的物理量的相似倍数 Cτ、
Cl,Cρ,Cμ,Cf以及 Cu等不能取任意的数值,它们之间存在着相互约束的关系,这种关系表现为由单值条件的物理量 (即定性量 )所组成的相似 准数在数值上相等 。
相似准数分为两种：
(1)决定性准数 。 完全由单值条件的物理量所组成的准数,
称为决定性准数,或称定性准数 。 它对现象的性质有决定性的影响 。
(2)被决定性准数 。 凡包含有未知物理量的相似准数就称第五节 相似三定理为被决定性准数,或称非定性准数 。 它是决定性准数的函数 。
如研究流动阻力问题时,雷诺数 Re及付鲁德数 Fr等为决定性准数,而欧拉数 Eu为被决定性准数,它是 Re及 Fr等准数的函数 。
相似第二定理告诉我们,为了保证模型现象与原型现象相似,必须使单值条件相似,而且由单值条件的物理量所组成的决定性准数在数值上要相等 。 另外,它还表明,模型实验结果可以推广应用到与模型现象相似的一切现象中去 。
第五节 相似三定理三,相似第三定理相似第三定理又称 π定理 (注：相似准数一般都用 π表示,
故称,π定理,)。 它的内容是,描述某现象的各种物理量之间的有因次函数关系,可以表示成相似准数之间的无因次函数关系,即
F(π1,π２,π３,…… πi)=0 (7-24)
或写成 π1=f(π２,π３,…… πi) (7-24a)
式中 π1为被决定性准数； π2,π3,…… πi为决定性准数 。 这种无因次的函数关系式称为准数方程式 。
相似第三定理回答了实验研究中应当解决的第三个问题,
第五节 相似三定理即实验得到的数据应如何整理和加工的问题 。 把某现象的实验结果整理成准数方程式,可使实验数据的整理工作大为简化,
而且得到的这种准数方程式就可以推广应用到与其相似的现象中去 。
如不可压缩粘性流体的不稳定等温流动,定性准数有三个：
St,Re,Fr,非定性准数是 Eu,它们之间的关系可表示为
Eu=f(St,Re,Fr) (7-25)
对于稳定流动,斯特罗哈准数 St不存在,故有
Eu=f(Re,Fr) (7-26)
显然,由式 (7-26)或 (7-25)所确定的无因次准数方程要比由式 (7-
16)～ (7-19)一组方程所确定的有因次函数式简单得多 。
第五节 相似三定理应当指出,在给出准数方程式的同时,还应当说明各准数中所包含的定性参数的选取方法 。 如定性线尺寸 (l),定性速度
(u),定性温度 (t)等 。 定性参数的选取方法不同,准数方程的结构形式也不同 。
准数方程确定以后,给出单值条件 l,ρ,u,μ,g等,非定性准数中的被决定量 (未知量 ),如两点间的压力差 Δp即可求得 。 如将式 (7-26)转化为有因次 形式,就得到常用形式的公式：
Δp=f(l,ρ,u,μ,g) (7-27)
第五节 相似三定理准数方程一般表示为指数函数的形式,如
Eu=kReaFrb (7-28)
式中 k,a,b为待定常数 。 对上式取对数可得
lgEu=lgk+algRe+blgFr (7-29)
常数 k,a,b通过实验是容易找到的 。
由式 (7-28)可知,对同类相似现象,其决定性准数 Re及 Fr
是相同的,则被决定性准数 Eu必然相同 。 因此式 (7-28)为同一类流动现象的通式 。
如果是强制流动,则 Fr可以忽略,准数方程式 (7-28)可简化为
Eu=f(Re) (7-30)
第五节 相似三定理或 Eu=kRea (7-31)
取对数后得到直线方程
lgEu=lgk+algRe (7-31a)
常数 k,a在对数坐标纸上是很容易得到的 。 如图 7-9所示,lgk
为截距,a为直线的斜率,即 a=tgθ。
图 7-9 Eu数随 Re数的对数变化曲线第五节 相似三定理同理,如果重力在流动中起主导作用 (如明渠流动 ),则粘性力可忽略不计,式 (7-28)
Eu=kFrb (7-32)
或 lgEu=lgk+blgFr (7-32a)
由此可以看出,准数方程既便于对实验数据的总结,又便于对实验结果的推广应用 。
第六节 相似准数的导出内 容 提 要
一,相似转换法
二,积分类比法第六节 相似准数的导出导出相似准数的基本方法有两类,
一类是 方程分析法,另一类是 因次分析法 。
方程分析法 通常有两种,即 相似转换法 和 积分类比法 。
方程分析法 是利用描述现象的基本微分方程组和全部单值条件来导出相似准数 。
一,相似转换法用相似转换法导出相似准数的具体步骤为：
(1)写出描述现象的基本方程组和全部单值条件；
(2)写出相似倍数的表示式；
(3)将相似倍数表示式代入基本方程组进行相似转换,从第六节 相似准数的导出而得到相似准数；
(4)用上述同样的方法,从单值条件中得到相似准数 。
下面以不可压缩粘性流体的不稳定等温流动为例,用相似转换法来导出其相似准数 。
(1)写出基本微分方程组和全部单值条件基本微分方程组：见式 (7-16)～ (7-19)。
单值条件：
几何条件 — 流动的几何空间,边界形状及特征尺寸 l的数值；
起始条件 — 起始时刻各变量的数值或分布规律；
边界条件 — 进,出口的速度分布情况 (或平均流速大小 )及壁面上的流动速度 ub=0；
第六节 相似准数的导出物理条件 ——介质的密度 ρ,动力粘度 μ 的数值 。
(2)写出各物理量的相似倍数表示式
(7-33)
(3)相似转换设有两个彼此相似的流动体系 。 属于第二个体系的各物理量都标上记号 ；属于第一个体系的各物理量则不标记号 。
f
z
z
y
y
x
x
l
p
u
z
z
y
y
x
x
C
f
f
f
f
f
f
C
z
z
y
y
x
x
CCC
p
p
CC
u
u
u
u
u
u
,
,,
,

”,?
第六节 相似准数的导出对第一个流动体系运动方程
(7-34)
连续性方程
(7-35)
对第二个流动体系运动方程
(7-36)
)(
1
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
xxx
x
x
z
x
y
x
x
x

0?

z
u
y
u
x
u zyx
)(
1
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
xxx
x
x
z
x
y
x
x
x





















第六节 相似准数的导出连续性方程
(7-37)
根据式 (7-33)的比例关系,有
(7-38)
将式 (7-38)代入式 (7-36)和 (7-37),得
(7-39)
0





z
u
y
u
x
u zyx





zCzyCyxCx
fCfC
CpCpC
uCuuCuuCu
lll
xfx
p
zuzyuyxux
,,
,,
,,,
,,,



)(
1
)(
2
2
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
CC
CC
x
p
CC
C
fC
z
u
u
y
u
u
x
u
u
C
Cu
C
C
xxx
l
u
l
p
xf
x
z
x
y
x
x
l
uxu

第六节 相似准数的导出
(7-40)
比较式 (7-34)与式 (7-39)及式 (7-35)与式 (7-40),因两个流动体系相似,所以它们的运动微分方程及连续性方程完全相同 。 于是得到 (7-41)
(7-42)
由式 (7-41)可得出下面一组等式 (以迁移惯性力项为参考尺度 )
(7-43)
0)( zuyuxuCC zyx
l
u
任意数?

l
u
l
u
l
p
f
l
uu
C
C
CC
CC
CC
C
C
C
C
C
C
2
2



2
22
22
l
u
l
u
l
p
l
u
f
l
uu
l
u
CC
CC
C
C
CC
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
；
第六节 相似准数的导出进一步把式 (7-43)整理成相似指标式
(7-44)
进而把相似倍数表示式 (7-33)代入上面的相似指标式 (7-44),经整理,就得到如下四个相似准数：


11
11
2
2
C
CCC
CC
C
CC
C
C
CC
lu
u
p
lf
u
l
u；
lg
u
lg
u
lg
u
l
u
l
u
l
u
222
Fr
St


或或

第六节 相似准数的导出由式 (7-42)得不出相似倍数之间的任何限制,故导不出相似准数 。
(4)对这一流动现象,由单值条件导不出相似准数 。
因此,对于不可压缩粘性流体的不稳定等温流动,共有四个独立的相似准数,St,Fr,Eu,Re。 有关这四个相似准数的物理含义,前面我们已从力学的角度分析过,下面再来说明这些准数的其它的 物理意义 。

lululu
u
p
u
p
u
p


Re
Eu
222
或或第六节 相似准数的导出斯特罗哈准数 l/u可理解为速度为 u的流体质点通过系统中某一定性尺寸 l距离所需要的时间,
而 τ可理解为整个系统流动过程进行的时间,二者的比值为无因次时间 。 若两个不稳定流动的 St数 相等,则它们的速度场随时间变化的快慢是相似的 。 对于稳定流动,斯特罗哈准数 St不存在 。
付鲁德准数 其分母项表示单位质量流体所具有的位能,而分子项表示单位质量流体的动能的两倍,所以,
Fr准数又表示单位质量流体的动能与位能之比 。 而位能与重力成正比,动能与惯性力成正比,故 Fr准数为惯性力与重力之比 。 如果两个流动现象的 Fr准数相等,则它们的重力场相似 。
：)//(/St ullu
：glu /Fr 2?
第六节 相似准数的导出欧拉准数 其分母为单位体积流体的动能的两倍,而分子为单位体积流体的压力能 (或压力损失 ),因此,Eu准数又表示单位体积流体的压力能 (或压力损失 )与动能之比 。 而压力能与压力成正比,动能与惯性力成正比,所以 Eu准数为压力与惯性力之比 。 又由于 Eu准数的分子,分母都具有压力的因次,所以 它表示的又是无因次压力 。
如果两个流动现象的 Eu准数相等,则它们的压力场相似 。
雷诺准数 也可写成其分子,分母都具有速度的因次,所以 Re数也表示无因次速度 。 如果两个流动现象的 Re数相等,则它们的粘性力场相似,
同时,它们的速度场 (速度分布 )也是 相似的 。
：或者 )/(/Eu 22 upup
： //Re lulu,)//(Re lu
第六节 相似准数的导出二,积分类比法积分类比法的原理如下：
第一,由于彼此相似的现象为完全相同的完整方程组所描述,所以它们的对应方程式中各对应项的比值相等,也就是第一个方程式中任意两项的比值与第二个方程式中对应两项的比值相等；又由于物理方程式中各项的因次相同,所以上述比值是无因次量 。
第二,描述现象的各物理量的任意阶导数 (微分 )可以用其相应的积分形式,即所谓的 积分类比 来代替 。 如式 (7-10)
常数 Cdd
第六节 相似准数的导出这可以理解为 两个物理量相似,则它们对应的微分量也相似 。
所以它们的微分形式可以用积分类比形式来代替 。
同理
(7-45)
(7-46)
这里 是物理量 φ 对物理量 ψ 的 n阶导数,它的积分类比是常数 nn
n
n
n
Cdd
常数
nnn
n
n
n
n
n
n
C
C


d
d
d
d
n
n
d
d
。n
第六节 相似准数的导出用积分类比法求得相似准数的步骤如下：
(1)写出描述现象的基本微分方程组及全部单值条件；
(2)方程式中所有物理量的各阶导数都用它们的积分类比式代替,即去掉所有的微分符号 。 用积分类比式代替时,各坐标分量 (如 ux,uy,uz)用总量 (u)代替,坐标 x,y,z用定性线尺寸 (如 l)代替 。 例如 等用 等来代替；
(3)方程式中的运算符号 (＋,－,＝ )都用比例符号 (～ )代替,得到比例关系式 。 如关系式中有几个相同的比例式,只取一个即可；
2
2
y
u、
x
u xx
2l
u、
l
u
第六节 相似准数的导出
(4)用任一比例式除同一方程中的其它各比例式,就得到所要求的相似准数 。
下面仍以不可压缩粘性流体的不稳定等温流动为例,说明利用积分类比法导出相似准数的方法 。
(1)写出基本微分方程组及全部单值条件 。 对于 x坐标方向的运动微分方程
(7-34)
连续性方程
(7-35)
)(
1
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
p
f
z
u
u
y
u
u
x
u
u
u
xxx
x
x
z
x
y
x
x
x

0 zuyuxu zyx
第六节 相似准数的导出对于一段等截面的管道而言,其单值条件是：
几何条件 — 所讨论的管道长度 l,直径 (或当量直径 )d,管壁的绝对粗糙度 Δ；
起始条件 — 起始时刻各变量的分布规律或数值；
边界条件 — 进,出口的速度分布 (或平均流速大小 )及壁面处的流速 ub=0；
物理条件 — 流动 介质的密度 ρ,粘度 μ 的数值 。
(2)用积分式代替微分式,去掉微分符号,并用比例符号代替运算符号 。
对运动微分方程第六节 相似准数的导出
(7-47)
式 (7-34)中的质量力 fx只有重力分量 g,故上式中用 g来代替 。
由连续性方程写不出比例关系式 。
由几何条件得到简单的比例关系式 (7-48)
(3)求出相似准数 。
用比例式 (7-47)中的第二项去除其它各项,整理后便得到各相似准数用比例式 (7-48)中 的第二项去除其它两项,可得到几何准数
2~
1~~~
d
u
d
pg
d
uuu

~~ dl
Re,Eu
,Fr,St
2
2


lu
u
p
dg
u
l
u
第六节 相似准数的导出由连续性方程和其它单值条件写不出比例关系式,因而得不出相似准数 。
这样,对不可压缩粘性流体在等截面的管道内不稳定等温流动,用积分类比法可得到 St,Fr,Eu,Re和两个几何准数 l/d
及 Δ/d。 其中 Eu为被决定性 准数,准数方程的形式为
Eu=f(St,Re,Fr,l/d,Δ/d)
在进行模型实验时,根据各个准数在流动中所起的作用不同,可以舍掉部分次要的准数 。 如 对光滑管壁,粗糙度很小,
可以忽略 Δ/d；对于稳定流动,可以去掉 St数；对于管内有压流动,可忽略 Fr数的影响,将其舍去等 。
dd
lL,
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π 定理内 容 提 要
一,瑞利因次分析法
二,伯金汉 π 定理及其应用第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理一,瑞利因次分析法此种方法适用于物理方程式为单项指数关系式的形式 。
具体步骤如下：
(1)列出影响物理过程的全部物理量,并写成单项指数关系式的形式
(7-49)
式中 为影响物理过程的全部物理量；
为待定指数； k为比例常数 。
(2)用基本因次表示各物理量的因次,写出因次关系式
(7-50)
121 121 nnn k
121 ][][][][ 121 nnn
n321、、、
1n321、、、
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理
(3)根据因次和谐原理,比较上式左右两边的基本因次,如果物理方程式中的基本因次为 m个,则可解出其中的 m个待定指数值 。
(4)如果过程中物理量的个数 n≤m＋ 1,则可得到确定的指数关系式形式；如果 n＞ m＋ 1,则有 n－ (m＋ 1)个指数有待于实验进一步确定 。
(5)将解出的待定指数 α 1,α 2……α n-1代回指数方程式 (7-
49),便可得到所需要的物理方程 。
(6)所得到的物理方程还可进一步整理成准数方程 。
现举例说明如下：
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理例 7-3 压力波在流体中的传播速度 u预计是由流体的弹性
(以弹性模量 E表示 )和流体的密度 ρ所决定,试用因次分析法建立其依变关系式 。
解 设所要求的函数式为
(1)
式中 k为无因次比例常数,α1和 α2为待定指数 。
代入各物理量的因次,得根据因次和谐原理,比较等式两边的基本因次,解出 α 1、
α 2的数值,
21kEu?
21 ][][][ 3211 MLTMLLT
12121 231 TLMLT
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理因次 M的指数,0=α 1+α 2
因次 L的指数,1=-α 1-3α 2
因次 T的指数,-1=-2α 1
由此得到 α 1=1/2,α 2=-1/2
将 α 1,α 2之值代入式 (1),得到有因次方程为
(7-51)
将式 (7-51)进一步整理成准数方程为
(7-51a)
Eku?
k
E
u?
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理二,伯金汉 π 定理及其应用通过上面的例题可以发现,若描述现象的 物理量为 n个,
它们所包含的基本因次为 m个,那么就可以得到 (n－ m)个独立的相似准数 。 即,某现象为 n个物理量所描述,而这些物理量的基本因次有 m个,则这些物理量可转换成 n－ m＝ i个独立的相似准数,。 这就是 伯金汉 π定理,又称 因次分析 π定理,简称 π定理 。 伯金汉 π定理与前面介绍的相似第三定理的实质是相同的,只不过它是相似第三定理的数 量化 。
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理根据 π 定理进行因次分析,导出相似准数步骤如下：
(1)列出影响物理过程的全部物理量,并写成下面的一般函数关系式
(7-61)
式中 为影响物理过程的各个物理量 。
(2)从上述 n个物理量中,选择 m个在因次上彼此独立的物理量作为基本量,即这 m个物理量应当包括该物理过程所涉及的全部基本因次,而且它们本身又不能组合成无因次量 。 在流体力学上通常可选择 ρ,u,l等作为 基本量 。
(3)用这 m个基本量轮流与剩下的 (n－ m)个物理量组合成无因次量 (准数 )：
n321、、、
0)( n321，，，f
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理
(i=m+1,…… n) (7-62)
(4)用基本因次表示以上各式中诸物理量的因次,可得到
(n－ m)个无因次关系式
(i=m+1,…… n) (7-63)
(5)比较以上各式的基本因次,可解出全部的指数 αi,βi，
γi,…… ωi,从而确定出 (n－ m)个独立的相似准数 πi。
(6)n个物理量间待求函数关系式 f(φ1,φ2,…… φn)=0可改写为 (n－ m)个 彼此独立的相似准数之间的待求准数方程式
(π1,π2,…… πn－ m)=0 (7-64)
imi iiii321
][][][][][ 321 imi iiii
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理这样,由于独立变量的数目减少了 m个,所以使得物理方程式的建立,实验资料的整理大为简化 。 至于这 (n－ m)个准数之间的定量关系式还必须通过实验才能确定 。
现举例说明如下：
例 7-6 粘性流体纵掠平板时,影响板面粘性切应力 τw的因素有：来流速度 u∞,距平板前缘的距离 x,流体的密度 ρ和流体的动力粘度 μ。 试用 π定理建立该过程 的准数方程式 。
解 该过程的一般函数关系式为
f(τw,u∞,ρ,μ,x)=0 (1)
五个物理量涉及到三个基本因次,[M],[L]和 [T],即 n=5，
m=3。 根据 π定理,上 式中五个物理量一定可以转换成 i=n－ m
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理
=2个彼此独立的相似准数 。 准数方程可表示为
(2)
现确定准数 π1和 π2：
从上述五个物理量中选取 ρ,u∞,x作为基本量,将它们轮流与剩下的物理量 τw和 μ组成 相似准数：
(3)
把各物理量的因次代入上两式,得
π1和 π2是无因次准数,那么 [M],[L],[T]的指数必均为零 。
根据因次和谐原理,比较以上两式两边的基本因次,解出
w1 111 xu 2222 xu?
][][][][ 21131 111 TMLLLTML
][][][][ 11132 222 TMLLLTML
0),( 21F
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理各指数值 。
因次 M：
因次 L：
因次 T：
解得代入关系式 (3),得到











1
1
1
0
2
1
01
013
01
02
013
01
2
2
2
1
1
1
2
222
2
1
111
1


1111
2
2
w
w
21
1
Re



x
xu
xu
u
u


第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理于是待求的准数方程为
π1与 π2之间的定量关系式要通过实验来确定 。 从上式可以看出,
π1为粘性流体绕流平板时当地摩擦阻力系数 Cfx的二分之一 。
它体现的是摩擦阻力与惯性力之间的比值关系,为被决定性准数； π2为 Rex的倒数,为决定性准数 。 它们之间的物理关系式可以写成
π1=kRexa
或 lgπ1=lgk+algRex
常数 k和指数 a都 由实验确定 。
0),( 2w?
xuu
F
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理因次分析法及 π 定理的应用存在着以下几点不足之处：
1.因次分析方法或 π 定理的结论受研究人员主观因素的影响很大 。 任一现象或物理过程都要受到一系列复杂因素的影响,
如果研究人员由于缺乏对该现象进行全面的观察和深入的分析,
万一遗漏掉某些有重要影响的因素,就可能会得出片面的,甚至是错误的结论 。
2.有些常数是有因次的,如气体常数 R的因次是 L2T－ 2Θ－ 1，
如果注意不够时,往往会遗漏掉 。
3.不能区别因次相同而物理含义不同的物理量 。 如运动粘度 ν和导温系数 a及扩散系数 D具有相同的因次 L2T-1,但 ν与 a
第七节 瑞利因次分析法及伯金汉 π定理及 D物理意义是不同的 。
4.在确定准数及准数方程的过程中,不能显示物理过程的具体特征以及物理量之间的具体联系特征 。
尽管如此,但对一些复杂的现象,暂时不能列出基本微分方程式时,它们对探索现象的规律是很有用的 。 当有了相似概念和准数方程的概念后,在一定条件下因次分析仍是探索现象规律的一种有利工具 。
第八节 相似准数的转换内 容 提 要
相似准数转换的目的意义
相似准数的转换方法第八节 相似准数的转换利用相似转换法导出相似准数时,曾得到式 (7-41)
我们曾令第二项的相似倍数关系 (Cu2/Cl)与其它项的相似倍数关系恒等,如式 (7-43),St,Fr,Eu,Re四个准数 。 如果令其它任意两项相等,亦可得到相似准数 。 试看 下列组合：
令或而
2
2
l
u
l
p
f
l
uu
CC
CC
CC
CC
C
C
C
C


FrEu
1,
2
2



lg
u
u
p
lg
p
lg
p
lg
p
CCC
C
CC
C
C
lf
p
l
p
f



则第八节 相似准数的转换令或而上述推导表明,新的组合关系只不过是原来已有准数的重新组合而已 。 准数是无因次量,准数的组合仍然是无因次量,
仍具有准数的含义 。 因为准数代表着流体运动 (物理现象 )的特征,因而用惯性项与其它各项之比导出的准数,将有明确的物理含义 。
1
2
2
22
22
ReFr
1,




lugl
u
lg
u
lg
u
lg
u
CCC
CC
CC
CC
C
lf
u
l
u
f
则第八节 相似准数的转换在科学实验中,常常遇到一些难于测定的物理量,为了便于实验的进行,有时可将某些准数进行适当的组合,以消除难于测定的物理量,并形成新的准数 。 新的准数仍具有一定的物理含义 。
比如有时为了消除难于测定的速度 u,可进行如下转换：
(7-65)
Ga为 伽里略准数,它体现了流体的重力与粘性力的比值关系 。
又如
(7-66)
Pr为 普朗特准数,它是由皮克列准数 (Pe=ul/a)与雷诺准数组
GaReFr 2
3
2
32
2
222
2
21-

gllglu
u
lg
Pr
Re
Pe
alu
alu?
第八节 相似准数的转换合而成 。 Pr准数体现了流体的物理特性对热量传输的影响 。
在实验研究中经常遇到的相似准数的转换方法还有：
(1)相似准数加以指数,仍然是相似准数 。 如上节例 7-6中有
(2)相似准数乘以 (或除以 )无因次量,仍然是相似准数 。 如在温差射流中有
(7-67)
Ar为 阿基米德准数 。 它体现了由于流体的温度不同而引起的密度不同所产生的浮力与惯性力的比值关系 。
xxu Re)(
11
2

ArFr 20201-
T
T
u
lg
u
lg


第八节 相似准数的转换又如
(7-68a)
对于气体,由于式中 β 为气体的体积膨胀系数,将上式代入式 (7-68a)可得
(7-68)
Gr为 格拉晓夫准数 。 它体现了气体的浮力与粘性力的比值关系 。
(3)相似准数的和或差，仍然是相似准数。 如


0
2
3
0Ga lg
t
0
Gr2
3
2
3


tlgtlg
第八节 相似准数的转换为 伟伯准数,它体现了流体的重力与表面张力的比值关系 。
(4)相似准数与任一常数的和或差仍然是相似准数 。
如都是相似准数 (无因次速度和无因次尺寸 )。
(5)相似准数的倍数,即相似准数与常数的乘积仍然是相似准数 。
'
2
21
2
2
2
1
22
2
2
1
We
)(
Eu




lglglg
u
p
u
p
u
p
d
dl
d
l
u
uu
u
u 1,1
2
21
2
1
eW?
第八节 相似准数的转换如流体流过工程设备的压力降与流体的动能成正比,即式中 K为设备的阻力系数 。 将此式与欧拉准数对比,显然
K=2Eu或 Eu=(1/2)K。 即阻力系数 K也具有准数的含义,仍可 理解为无因次准数 。
流体力学常用的相似准数列于表 7-2。
2
2
1 uKp
第九节 模型实验研究方法内 容 提 要
一,概 述
二,近似模型实验研究方法
1,粘性流体的“稳定性”
2,粘性流体的“自动模化性”
三,模型实验研究的基本要点第九节 模型实验研究方法一,概 述相似模型实验研究方法是相似理论应用的一个重要方面 。
相似模型法 就是在相似的模型中,于相似的条件下,对实际的现象或物理过程进行实验研究的方法 。 在没有实物的情况下,应用模型实验,有可能探索和找出新设备的结构参数 。 而对已有的设备,则可按实物模拟制成模型,摸索工艺及设备的改进方向,解决在实际设备上进行这一工作时经济上,技术上和测量上的困难 。 由此可见,相似模型研究方法也就是将实际设备 (或设计中的设备 )放大或缩小以进行定性定量的研究,并将研究结果正确地推广应用到与实验过程相似的一系列现象中去的一种科学实验研究方法 。
第九节 模型实验研究方法相似模型研究方法的关键就在于如何保证模型实验与所模拟的实际过程相似 。 根据相似第二定理,模型实验应具备如下的相似条件：
(1)模型现象与实际现象是属于同一类现象,服从于同一自然规律 。 即描述两现象的基本微分方程组完全相同 。
(2)几何条件相似,即模型与实物应保持几何形状相似 。
这可以在制作模型时准确地模仿实物的形状来实现 。
(3)起始条件相似,即实验过程与实际过程的初始条件相似 。
(4)边界条件相似,即模型与实际设备的进,出口截面及壁面上的速度分布及温度分布等相似 。
第九节 模型实验研究方法
(5)物理条件相似,即在模型与实际设备的对应点和对应时刻上参与过程的介质的物理特性 (如密度 ρ,粘度 μ 等 )各自对应成比例 。
(6)决定性准数相等,即模型中与实际设备中各相应位置上和相应时刻的各决定性准数对应相等 。
但应指出,在实际进行模型实验时,要完全满足上述所要求的相似条件是非常困难的,甚至是办不到的 。 以空气动力模型为例：若要使模型表面与实际设备表面的粗糙度完全相似是不易做到的；又如,要保证非等温模型中各点处介质的 ρ,
μ 等值与实际设备中对应部位的分布不均的介质的 ρ,μ 值在每一对应时刻都完全相似也是极困难的 。 再如,为使实验过程第九节 模型实验研究方法与实际过程做到完全相似,保证所有的决定性准数都相等也是不容易的,甚至是做不到的 。 例如对不可压缩粘性流体的稳定等温流动,要同时保证模型与实际设备中的 Re数和 Fr数相等,
对模型设计是有矛盾的 。 为使 Re=Re′,即或 (a)
当模型与实际设备用同种流动介质时,ν ′ =ν,即 Cν=1，
那么 Cu=1/Cl。 这表示,当模型尺寸为实际设备尺寸的 1/n时,
为保证 Re=Re′,就要求模型中流体的速度为实际设备中流体速度的 n倍 。
l
u
C
C
l
l
u
u
C
lulu


第九节 模型实验研究方法如同时还要保证 Fr=Fr′,即或由式 (a)和式 (b)可以看出,要同时保证 Re=Re′,Fr=Fr′是有矛盾的 。 因为当 Cl=1/n时,为保证 Re=Re′,模型中的流体速度
u′必须是实际设备中的 n倍,即 u′=nu；为保证 Fr=Fr′,。
显然,要同时满足上述的双重要求是不可能的 。
lg
u
lg
u

22
lu Clg
lg
u
uC
2
2
2
unu 1
第九节 模型实验研究方法二,近似模型实验研究方法近似模型实验方法 实质上是抓主要矛盾的方法 。 在考虑模型实验时,先要分析在相似条件中哪些对过程的影响是主要的,
起决定作用的；哪些是次要的,不起决定作用的 。 对主要的,
起决定作用的条件要尽量加以保证；而对那些次要的,不起决定作用的条件只作近似的保证,甚至忽略不计 。 这样,一方面使实验能够进行,另一方面又不致引起较大偏差 。
例如有压流动过程,决定流动状态的准数是 Re数而不是 Fr
数,因而在实验时只需要考虑 Re准数,Fr准数 可以忽略不计 。
这样既便于模型的制作,也便于模型实验的顺利进行 。
第九节 模型实验研究方法流体流动近似模化可利用粘性流体的以下特性：
1.粘性流体的,稳定性,,
实验表明,粘性流体在管道 (或设备 )中流动时,不管入口处的速度分布如何,在流经一定的距离 (起始段 )后,流体的速度分布就按一定的规律稳定下来,这种特性称为粘性流体的,稳定性,。 粘性流体在流经管道或复杂的通道时,都呈现出稳定性特征 。 因此,在进行模型实验时,不管入口处的开始速度分布如何,只要保持几何相似,经过一段距离后就能够保证速度分布的相似,即当入口的几何条件相似以后,可不必考虑其它的相似条件,这就使得模型入口的条件大为简化 。 同样,只要保证出口通道几何相似,出口速度就能做到相似 。
第九节 模型实验研究方法
2.粘性流体的,自动模化性,,
流体的流动状态有两种,层流 和 紊流 。 决定流体流动状态的是雷诺准数 Re。 当粘性力起主导作用时,Re数值较小,流体呈现层流流动状态 。 只要 Re数小于某一临界值 (称为 第一临界值 ),流动就一直保持层流状态 。 流体层内的速度分布是相似的,与 Re值的大小无关 。 例如,流体在光滑圆管内流动时,
Re=2300称为第一临界值,只要管流的雷诺数 Re<2300,不管流量如何变化,速度分布都保持不变 (旋转抛物面分布 ),流体的这一特性,称为,自动模化性,,简称,自模性,。 通常将 Re数小于第一临界值的范围称为 第一自动模化区 。
第九节 模型实验研究方法当流体的速度逐渐增加,惯性力的作用相应加大,而粘性力的作用相应减弱,管内的速度分布偏离旋转抛物面 。 随着流速的增加,Re数也逐渐增大,流动断面的速度分布逐渐趋向均匀化,这一区域称为 过渡区 。 流体在过渡区内的速度分布是不稳定的 。 当 Re数增加到一定数值时,粘性力的作用可以忽略不计,断面的流速分布规律又稳定下来,流体的流量再增加 (Re数进一步增大 ),流体的速度分布也不再改变 。 雷诺数
Re的这一临界数值称为 第二临界值 。 因为流速分布与 Re值无关 。 说明流动又一次进入自动模化区 。 这一雷诺数 Re大于第二临界值的自动模化区称为 第二自动模化区 。 如圆管内紊流
Re>4160(d/2Δ)0.85的阻力平方 区即为第二自动模化区 。
第九节 模型实验研究方法在进行模型实验研究时,只要模型中与原型中的流体流动处在同一自模区内,模型与原型中的 Re数即使不相等,也能做到速度分布相似 。 粘性流体自模化区的存在给模型实验研究带来很大的方便 。 当原型中的 Re数值远大于第二临界值时,模型中的 Re数稍大于第二临界值,即可做到流动相似 。 在模型实验设计中,可以选用较小的泵或风机就能满足实验的要求,从而节省部分电能 。
实践表明,设备通道越复杂,通道内的附加物越多,进入第二自模区愈早 。 理论分析和实验结果都表明,流动进入第二自模区以后,阻力系数 (或 Eu数 )不再随 Re数而变化,这可作为检验模型中的流动是否进入第二自动模化区的标志 。
第九节 模型实验研究方法由于粘性流体具有稳定性和自动模化性的特点,在进行模型研究时,可不必严格遵守相似第二定理提出的相似条件,只要保持以下几点就能进行近似模化 。
(1)模型与实际设备几何相似,包括进,出口通道在内 。
(2)模化等温流动时,只要使模型中的介质温度维持一定,
模型与实际设备中的介质物性自然就成比例；若用等温流动模化非等温流动 (用非等温流动模化非等温流动是极困难的 )，
如冷态模型实验,则实验得到的结果应作必要的修正 。
(3)在模型流动与原型 (实际设备 )流动处于同一自模化区时,可不必保证二者的 Re数相等 。 此外,对过程影响不大的定性准数可以忽略 。
第九节 模型实验研究方法三,模型实验研究的基本要点
1.模型材料的选择,为了 便于模型的加工制作 及实验的 观察和测试,对于冷态模型一般常选用 有机玻璃 作为模型的结构材料 。 如果介质温度予热到 100～ 200℃,可用 金属板 作为模型材料,在局部采用有机玻璃 。
2.模型比例的确定,热工及暖通设备的模型多是以内型尺寸为依据设计出来的 。 模型尺寸的设计应 便于观察,测量,
显示和摄相 。 以热工设备为例,模型尺寸一般可取 0.5～ 1.5m，
特殊情况也可增大 或缩小 。
为了保证测量数据的准确可靠,气体在模型内的流速不得低于 5米 /秒 。 当风机容量一定时,模型选取过大则风量不足,
第九节 模型实验研究方法不能保证必须的气体流速；模型选取太小,通道断面也必然缩小,难于安放测试探头 。 即使勉强测试,但由于探头占据通道断面比太大,必将引起测量部位流动情况失真 。
从风源,水源条件来看,模型尺寸应与风机或水泵的流量及压力相适应 。 以便在实验进行时,流体克服全部阻力之后,
仍能保持足够的剩余压力 。
3.模型的结构形式,按相似第二定理,模型的结构形式应当做到与实际设备 (原型 )完全 几何相似 。 但有时为了便于模型研究的进行,也可使模型中某些部位的几何参数与原型有所差异 。 如大型连续加热炉,当宽高比很大时,可适当减少模型宽度,只取宽度的一部分,其它尺寸保持与原型的几何相似,
第九节 模型实验研究方法模型实验按二维平面流动考虑 。 这样既可缩小模型的规模,又可减少介质的流量 。
至于模型表面的粗糙度,它对邻近流体层的流动状态和速度分布起明显作用,而对离开模型表面一定距离处的流动状态,
速度分布不起作用 。 所以,当流体在较大的空间内流动时,表面粗糙度可不必完全相似 。
4.流动介质的选择,常用的流动介质是 空气 和 水 。 以水作流动介质,便于对流动情况进行定性地观察,显示和摄相；以空气作流动介质便于对流动情况进行定量的测量 。 一般情况下是先用水模进行定性的观察,再用气模进行定量的测量 。
第九节 模型实验研究方法由于水在常温下 (20℃ 左右 )的运动粘度 (ν=1.0× 10－ 6m2/s)
比空气在常温下的运动粘度 (ν=15.0× 10－ 6m2/s)要小 15倍以上,
当模型尺寸相同,为保证 Re=ud/ν相等,水的流速比空气要小得多,可节省水量 。
5.定性参数的确定,定性线尺寸 可以这样来确定：对管道
(或通道 )内的流动取管内经或当量直径；对圆管外绕流运动取管外径；对绕流球体的运动取球的直径；对于绕流平板的运动,
取某点距板前缘的距离等 。
定性速度 一般可取流量平均流速 。
定性温度 不仅影响模型内流体流速的高低,而且影响流体物性参数 ρ,μ 等的实际值 。 当流体在设备 (或模型 )内流动有第九节 模型实验研究方法温度变化时,应取其温度的平均值作为定性温度 。
6.决定性准数的确定,如不可压缩粘性流体在光滑管内的稳定 有压流动,其主要的决定性准数是 Re数,而 Fr数可忽略不计；对于 明渠流动,其主要的决定性准数为 Fr数,而 Re数处于次要第位 。 可压缩流体的流动 (如高速气流的运动 ),弹性力起主导作用,其主要的决定性准数为 马赫数 M等 。
7.自动模化区的确定,设计模型时,希望研究对象内的流动进入自动模化区 。 但是否能进入自模化区,Re数的第二临界值是多大,设计模型时还不能断定,这就给风机或泵的选型带来困难 。 一般情况下只能参照有关资料中介绍的类似设备的第二临界雷诺数的值或先在相近设备上进行测定,找出第二临界第九节 模型实验研究方法雷诺数的参考数值,待模型制成后,再通过实验找出实验设备的第二临界值 。 流动进入自模区的主要标志有两个,一是当流量改变时,模型内通道截面的速度分布 不再变化；另一是
Re数增加时,Eu数 (或阻力系数 )不再随 Re数而变化 。 即按
Eu=f(Re)的依变关系,在模型上测量有关参数进行计算,当 Re
数大于某一数值时,再增大 Re数,Eu值不再改变,这样就可确定 Re数的第二临界值 。
8.在有燃烧过程时,由于温度升高而使气体体积膨胀 6~7
倍,可根据 动量守恒原理 按燃烧产物的体积量计算燃烧器喷口截面积和气体喷出速度 。 这样虽然破坏了几何相似,即增大了出口截面积,但由于动量保持不变,仍可做到模型与原型流动第九节 模型实验研究方法相似 。 但必须注意,只有炉膛截面积远大于燃烧器出口截面积,
才能保持流动相似 。
9.进行模型实验研究：
(1)对模型现象进行观察,测试和摄相等,并做好数据记录等工作；
(2)对测试的数据资料进行理论分析并整理成准数方程；
(3)把实验结果推广应用到与模型现象相似的一切现象中去 。
本 章 小 结一、基本概念二、基本定律和基本方程三、重要的性质和结论