学完泛函分析可以做哪些事情？

  本文关键词：泛函分析，，由笔耕文化传播整理发布。

如果泛函分析是指本科生课程的泛函分析的话, 那么与楼上的回答相反, 我认为学完泛函分析几乎什么也做不了...(如此负能量)
大学本科生学的泛函分析不外乎如下三块内容: Banach空间与Hilbert空间的几何, 广义函数理论初步, Banach空间和Hilbert空间上的有界线性算子和紧算子初步. 这些内容都有着很深的物理和应用数学背景, 而泛函分析中的这一部分基础内容几乎全然是具体例子的抽象再表述. 举几个简单的例子:
(1) 压缩映像原理抽象自一切含有"小于1的Lipschitz常数"的存在唯一性问题, 例如微分方程论中Picard存在唯一定理.
(2) Hahn-Banach定理是线性代数中基底扩张定理的推广, 来源于凸集的分离问题.
(3) Hilbert 空间的Riesz表示定理和Lax-Milgram定理直接来自于偏微分方程中的弱解存在性问题.
(4) 紧算子的Riesz-Fredholm理论来自于线性积分方程的特征值问题.
本科生泛函分析所做的, 不过是将这些具体问题中所共同share的数学结构抽象出来, 进行简洁的集中表述. 能够用本科生泛函分析解决的问题大多已经发展得相当成熟, 余下的问题则要么是硬得做不动, 要么是具有很强的综合性 (例如综合了调和分析), 不能在本科生课程中展开. 几个例子:
(1) 线性算子微扰论; 这是典型的综合性问题, 涉及到比较深的算子代数. 尽管是Hilbert空间上的线性分析, 但其中的一些基本问题 (具有直接物理背景的问题) 远远没有解决.
(2) 直接线性化; 这基本上来自于椭圆微分方程, 为了研究非线性的椭圆微分方程, 想办法通过一些巧妙的计算把它归结到线性椭圆算子的情形. 相关的有Leray-Schauder理论等等理论; 需要说明的是, 这些理论最终都归结为先验估计, 其难度比之原问题其实并不见得减少.
(3) 反函数定理; 重点不在于定理本身的表述, 而在于这一套方法对于许多非线性微分方程问题都是适用的. Banach空间上的线性泛函分析用来处理不够好的非线性的微分算子是比较头疼的, 所以就有必要考虑更广的一类空间. 但这些内容因为涉及较深的调和分析而过于繁杂, 本科生泛函分析是不可能涉及到的.
总体说来, 本科生的泛函分析课程带有一定的研究性质, 但是也只是为后续的学习研究奠定了一个基础. 这门课的目标基本就是让学生熟悉抽象分析的语言, 并能够解决研究中遇到的简单问题 (例如某些简单的方程的解的存在唯一性), 离真正的研究尚有很远很远的距离. 一定要学到非线性泛函分析, 才算是离研究更近了一点.

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