为什么代数几何很热门_代数几何题目_学习代数几何需要怎样的基础？

  本文关键词：代数几何，由笔耕文化传播整理发布。

理论上：抽象代数、交换代数、同调代数。
但是你只学这些就去学看代数几何会让你感受到一股像是拉屎拉不出来卡住一般恶心的感觉。
实际上：再加上代数拓扑、微分几何、复分析、多复变函数。
当然如果你不是想学全部的代数几何，只是想入个门看一下的话，可以先看代数曲线，按照伍鸿熙的说法，代数曲线有三种理解方式：代数几何的、代数数论的和复变函数的，你可以从这三方面的任意一面入门：
1.代数几何方向，学抽象代数和一点点交换代数，然后去看Fulton的代数曲线并做完全部的习题。
Fulton的这本书我觉得是世界上最好的代数几何入门教材，自带习题，叙述非常简单，而且更重要的是，在简单的基础上语言非常地现代，能让你迅速地与真正的代数几何教材（比如Harshorne)进行衔接，实在是居家旅行，杀人放火必备之书。
2.分析方向，学一点复变函数复分析，然后看黎曼曲面，这样的书很多，GTM71、GTM81、Gunning的黎曼面、伍鸿熙的黎曼曲面、李忠的复分析、梅家强的黎曼面等等，当然这些书虽然都是利用复变函数理论但侧重不同，GTM71和GTM81、Gunning、李忠的复分析都偏重分析，使用分析语言，比如Weyl引理、Hilbert空间方法等等，伍鸿熙的书则基本上是把多复变的方法应用到黎曼面上，比如上同调和Hodge定理，当然他们本质上是一致的。
3.数论方向：依旧是学抽象代数和一点交换代数，，会代数数论更好，这样的书可以参照冯克勤的算术曲线、李文卿的数论及其应用、S.Lang的GTM89和An Invitation to Arithmetic Geometry, Dino Lorenzini。这样的方法主要靠代数数论中的阿代尔和依戴尔、L函数。利用Tate的博士论文的方法可以把Riemann-Roch定理化成其上的Possion求和的形式。这种方法非常有趣，自守L函数满足的函数方程和自守性的关系其实是它的推广。
学习代数曲线的这些经典理论对代数几何还是很有益处的，而且适合入门，像Hartshorne说的：如果你甚至不知道黎曼曲面是一维正则概型的话，那就算熟知了概型理论又有什么用呢？
学过代数曲线之后可以开始读Hartshorne的GTM52或者EGA。EGA自然不用多说，GTM52虽然经常被人骂但是其实读它也实在是没办法的事情，因为除了Hartshorne（和EGA）之外没有多少完整地介绍代数几何的教材……大部分关于代数几何的书都在把Hartshorne当做后续教材、前置教材或者超链接的目标教材，比如Liu qing、GTM76等等。
当然Hartshorne虽然是必须读的书当你仍然可以不选择它作为概型的初始教材，其他的选项有Liu qing的代数几何、Mumford的Red Book等等，但是想看上同调的话基本还是要看GTM52（当然如果忍受得住导出范畴的话可以考虑Illusie，或者你懂法语那有EGA4）。

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