几类混沌系统的动力学行为及其控制与同步仿真研究

1 绪论

1.1 引言

非线性是自然界中的广泛存在的一种科学现象，事物之间的发展及其关系都是非线性的。非线性科学的研究范畴通常包括：混沌（chaos）、分岔（birfurcation）、分形（fractal）和复杂性（complexity）[1]，而混沌是非线性科学研究中的最前沿问题，这一理论的内涵指的是复杂的确定性系统中存在着随机性和不可预测性，混沌理论的贡献在于可以用简单的模型获得明确的非周期结果，它改变了人们以往的自然观。科学家们普遍认为，二十世纪科学有三大辉煌的奇迹，它们分别就是相对论、量子论和混沌论[2]，混沌理论的问世，很快就引起学界广泛关注，并成为研究和解释混沌现象的有用工具。混沌理论起到了连接确定论与概率论两大科学体系的桥梁作用，揭开了现代科学发展的崭新篇章。混沌理论的研究方兴未艾，如何将混沌研究硕果应用到实际生产生活中，能够为人类服务，成为了非线性科学发展所面临的新的挑战。混沌的应用是混沌发展的机遇，它将推动人们对混沌本质的认识更加深刻，在应用过程中遇到的许多新问题将进一步推动混沌的研究和发展[3]。

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1.2 混沌的历史及发展

早在 1903 年，法国数学家 Poincaré在其著作“Science and method”中，提出了著名的 Poincaré猜想，指出可能存在着混沌现象。直到 1960 年前后，才出现了具有突破性的进展，俄罗斯数学家 Kolmogorov 和 Arnold 以及德国数学家 Moser 的共同提出了经典的 KAM 理论，证明混沌现象在耗散系统与保守系统中都有可能出现。1963 年，美国麻省理工学院的气象学家 Lorenz 教授在研究气象预报时，对无穷维动力系统的 Rayleigh-Bénard 热对流问题进行三维截断得到了著名的 Lorenz 系统[4]，因而被誉为“混沌之父”。1970 年，美国科学家 Kuhn 发表了“The Structure of Scientific Revolutions”[5]一书出版，推动了混沌理论的发展。1975 年，美国华裔学者 Li 与其导师 Yorke 教授在“American Mathematical”杂志上发表了对混沌发展有着重大意义的论文“Period threeimplies chaos”[6]，深刻的揭示了从有序运动到混沌运动的一系列变化过程。“Chaos”一词在这篇论文中用来指代混沌。

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2 混沌相关知识和理论概述

2.1 混沌的定义

“混沌”或“浑沌”一词最早出现在中国古代和希腊的神话故事中，随着社会的发展，人类文明的进步，“混沌”一词被中外的文学、艺术、宗教书藉和科学著作所不断采用[23]。到了近现代，“混沌”被越来越多的人熟知，并且在各种书刊杂志、文献著作中以非常高的频率出现[24]。几个世纪以来，混沌的涵义不断更新，在不同的学科和文化背景下，有关混沌概念也有着不同的内涵。关于混沌定义的演化历程我们划分为古代理解的混沌、一般科学混沌涵义和具有严格定义的非线性科学混沌三个层次[25]。由于混沌系统具有特殊的奇异性和复杂性，所以在各个领域的定义尚未完全统一，最简单而直观的定义是：如果系统对初值具有敏感依赖性以及出现非周期运动，那么系统就是混沌的。为了深入研究混沌现象及其本质，特别是搞清它的定性定量特征，必须给出一个严格的科学定义[26]。迄今为止非线性动力学对混沌的研究最为合理且严谨，这些定义从数学和物理学的角度出发，并且出现了一些实际测量的标度和可供理论判定的定义，这些定义成为了混沌学的创立和发展的基石，当中 Li-Yorke 定义和 Devaney 定义是学界最为公认的、影响较大的数学定义[27]。

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2.2 混沌的特征

通过迄今为止人们对混沌的研究和认识，混沌至少具备如下特性：（1）对初始条件的敏感性。这是与其他运动不同的混沌的本质特征；（2）内随机性。混沌运动状态具有随机性，运动状态和轨迹是无法准确预测的；（3）标度性。标度性指混沌的运动是无序中的有序态，在局部小的混沌区域内，存在着有序的运动状态；（4）有界性。混沌吸引子始终局限在于一个限定的区域范围内；（5）遍历性。混沌运动在其混沌区域内遍历各种混沌状态[29]，即在有限时间内混沌轨道会经过混沌区域内状态的的每一个点；（6）分维性。分维是混沌的运动轨线在相空间中的显现出的行为状态特征，混沌运动状态表现为无穷嵌套的自相似结构；（7）普适性。普适性[30]是指不同混沌系统在到达混沌状态时所表现出来的共有的特征，它不随着具体的系统方程或参数而发生变化，如著名的 Feigenbaum 常数等混沌普适常数。普适性反映了混沌的一种内在的规律。

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3 Couette-Taylor 流系统与地磁系统介绍...............9

3.1 两个 Couette-Taylor 流系统...............9

3.2 地磁系统.................11

4 Couette-Taylor 流系统动力学行为分析及控制与同步研究...............12

4.1 动力学行为分析与数值仿真...............12

4.2 全局指数吸引集和正向不变集...............14

5 新 Couette-Taylor 流系统的动力学行为分析及控制与同步研究...............26

5.1 动力学行为分析...............26

5.2 动力学行为的数值仿真...............28

6 地磁系统的混沌行为及其仿真与同步研究

6.1 动力学行为分析与数值仿真

由O点发出的轨线绕过P或P后穿过O的稳定流形曲面到达另一侧，两侧轨线互相渗透，形成暂态混沌（图 6.6）。图6.20是系统（6.1）关于状态变量x的分岔图，图6.21为系统的最大Lyapunov指数图象，图 6.22 为系统的 Poincaré截面图，通过图象可以看出系统存在混沌现象，并且观察到混沌现象从发生到终止的一系列过程。18.357R21.538时，，混沌吸引子逐步收缩成极限环，出现了倒分岔过程，数值结果表明分岔点满足费根鲍姆常数（图 6.12-6.14）。

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6.2 全局指数吸引集和正向不变集

本章研究了地磁系统的混沌行为，并进行了数值仿真。做出了全局稳定性分析，给出了平衡点控制方案。设计了线性反馈控制器实现了该混沌系统同步。最后，数字仿真验证了同步的理论效果。对于定理 6.2 中的控制器，选取反馈增益，则响应系统（6.23）和驱动系统（6.22）的同步如图 6.23 所示，同步误差e(t)随时间t的变化如图 6.24 所示。仿真结果表明，响应系统（6.23）和驱动系统（6.22）达到同步时间很短，误差很快趋于0。

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结论

本文对两个 Couette-Taylor 流系统和地磁系统进行了动力学分析与控制方面研究。首先，对 Couette-Taylor 流系统进行了线性稳定性分析与数值仿真，探讨了该系统的动力学行为及其轨线的运动状态，解释了 Couette-Taylor 流实验中对应的部分涡流的演化过程。研究了该混沌系统的全局指数和正向不变集。给出了 Couette-Taylor 流系统运动轨线全局指数跟踪镇定任意一个不稳定平衡位置的反馈控制方案，以及两个Couette-Taylor 流混沌系统全局指数同步方法，通过仿真验证了方法的有效性。然后，对于地磁系统，绘制了系统的轨线图，并结合系统的 Lyapunov 指数图、吸引子图、Poincare 截面图和分岔图，细致分析了地磁系统随着参数变化的每一步的动力学行为。并且给出了平衡点控制方案，实现了地磁系统的同步，进行了计算机仿真，得到直观的系统随着时间变化的误差图像，充分的说明了的方法是有效的。本文对混沌理论的研究与应用起到一定的丰富作用，尤其是 Couette-Taylor 流问题有着较深远的意义。对地磁科学中的非线性研究起到一定程度的补充作用。对于混沌的控制与同步问题只采用了线性反馈方法，没有采用非线性反馈，自适应控制等其他控制方法，需要在以后进一步补充。

参考文献（略）