《复数的概念》参考课件

《复数的概念》参考课件

复数的概念
回顾数系扩充 问题的提出 大胆假设 小结 布置作业

数系的扩充与复数的概念
自然数

数 系 的 扩 充

2?3 ? ?
正有理数和零

用图形表示数集包含关系：

3?5 ? ?

有理数

R

Q

N
Q+∪{0}

x ? 2, 则 x ? ?
2

实数

数系是怎样一步一步扩充的？

怎样解方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? ?
△? 2 2 ? 4 ? 3 ? 0 ∴在实数范围内无解. 显然，

到底是怎么一回事?

x ? 2 x ? 3 ? 0 配方得 x ? 2 x ? 1 ? ?2 2 即 ( x ? 1) ? ?2
2 2

负数能否开平方?又如 x ? ? 1 呢?
2

在解方程时经常会遇到这类问题.如果负数可以开平 方,那这个平方根不会是实数,是什么数呢?

问题解决:

为了解决负数开平方问题，数学家大胆引入一个新
数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定： (1) i 2??1； (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算 时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律 和分配律)仍然成立.

复数的发展史 虚数这种假设,是需要勇气的,人们在当时是无法 接受的,认为她是想象的,不存在的,但这丝毫不影响数 学家对虚数单位 i 的假设研究:第一次认真讨论这种数 的是文艺复兴时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他 是 1545 年开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡 辩量”.几乎过了 100 年，笛卡尔才给这种“虚幻之数” 取了一个名字——虚数．

但是又过了 140 年，欧拉还是说这种数只是存在于 “幻想之中” ，并用 i （imaginary，即虚幻的缩写）来表 示它的单位. 后来德国数学家高斯给出了复数的定义， 但他们仍感到这种数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它 的作用．1830 年，高斯详细论述了用直角坐标系的复平 面上的点表示复数 a ? bi ，使复数有了立足之地,人们才 最终承认了复数.到今天复数已经成为现代科技中普遍 运用的数学工具之一.

(3) i 0??1；
(4) i -m?1/im 一般，关于i的幂： i 4n? (i 4)n =1; i 4n+1? i 4n ＊i = i;

i 4n+２? i 4n ＊i２ = -１; i 4n+３? i 4n ＊i３ = - i

计算： (1) i 105

(2) i r+ i r+1+ir+2+ir+3

这样就会出现许多新数,如 2 i 、3 i 、2 ? i 、3 ? i 等. 形如 a ? bi (a , b ? R ) 的数叫做复数.

全体复数所成的集合 C 叫做复 数集. 即 C ? ? a ? bi a , b ? R?

复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即

z ? a ? bi

( a ? R, b ? R )

其中a —实部 , b —虚部 ,

i 称为虚数单位.

讨论:复数集 C 和实数集 R 之间有什么关系？

规定: 0i=0 ,0+bi=bi, a+0i=a

? ? 当 b ? 0 时， z ? a ? bi 叫做虚数. 复数 z ? a ? bi ? ? 当 a ? 0且 b ? 0 时，z ? bi 叫做纯虚数. ?
规定:两复数 a ? bi 与 c ? di (a , b , c , d ? R ) 相等的充要条件是 a ? c 且 b ? d .

当 b ? 0 时，这时 z ? a 是实数.

例1 实数m取什么值时，复数

z ? m ? 1 ? (m ? 1)i

是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m ? 1 ? 0，即

m ? 1时，复数z 是实数． （2）当 m ? 1 ? 0 ，，即 m ? 1时，复数z 是虚数． （3）当 ?m ? 1 ? 0 即 m ? ?1时，复数z 是 ? ?m ? 1 ? 0 纯虚数．

练习1:当m为何实数时，复数

z ? m ? m ? 2 ? (m ? 1)i
2 2

是 （1）实数

（2）虚数

（3）纯虚数

m ? 1或m ? ?1
m ? 1且m ? ?1
m ? ?2

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我

们就说这两个复数相等．

若a, b, c, d ? R,

a ? bi

?a ? c ? c ? di ?? ?b ? d

例2 已知 (2 x ? 1) ? i ? y ? (3 ? y )i ，其中 x , y ? R 求

x与y .
解：根据复数相等的定义，得方程组

?2 x ? 1 ? y ? ?1 ? ?( 3 ? y )

5 解得 x ? , y ? 4 2

练习 2. ⑴ 已知 ? x ? y ? ? ? x ? 2 y ? i ? ? 2 x ? 5 ? ? ? 3 x ? y ? i ,

x ? 3, y ? ?2 ⑵ 若 ? 3 ? 10i ? y ? ? ?2 ? i ? x ? 1 ? 9i ,
求实数 x , y 的值. 求实数 x , y 的值.

x ? 1, y ? 1

学习小结
1.虚数单位i的引入；

2.复数有关概念：
3.复数的分类：

复数的代数形式: 复数的实部 、虚部 虚数、纯虚数
复数相等

选做作业: 若方程 x 2 ? ? m ? 2i ? x ? ? 2 ? mi ? ? 0至少有 一 个 实 1. 数根,求实数 m 的值.

m ? ?2 2