微分中值定理证明题中辅助函数的构造方法

(i)f与g在闭区间[a,b]上均连续;

(ii)f与g在开区间(a,b)内均可导;

(iii)在(a,b)内f'与g'不同时为零;

(iv)g(a)≠g(b),

则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f'(ξ)

g'(ξ)

=

f (b)-f(a)

g(b)-g(a)

.

(4)费马定理(Fermat):

(i)函数f(x)在点x0的某邻域Uδ(x0)内有定义,且在此邻域内恒有f(x)燮f(x0)或者f(x)叟f(x0) (ii)f(x)在x0处可导,

则有f'(x0)=0

2微分中值定理证明题中辅助函数的构造方法中值定理及推导过程用到了演绎、分析、分类等数理逻辑方法以及一些具体的数学方法,如构造辅助函数的种种方法,这对于培养严密的逻辑推理能力,培养直觉思维、发散思维等创新思维都大有益处.以下介绍几种常用的辅助函数的构造方法. 2.1凑导数法

例1.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得

分析:结论变形为,即可凑成.

将ξ换成x,结论变形为,即

从而可设辅助函数为,有,本题得证

证明:令,则F (x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(a)=F(b),由罗尔定理知,至少存在一点ξ∈(a,b),

使得

注:这种方法主要是把要证明的结论变形为罗尔定理的结论形式,凑出适当的函数做为辅助函数,即将要证的结论中的ξ换成x,变形后观察法凑成F' (x)=0,由此求出辅助函数F(x).

2.2几何直观法

例2.若f(x)在[0,1]上可导,且0<f(x)<1,对于任何x∈(0,1)都有f'(x)≠1,试证在(0,1)内有且仅有一点ξ,使得f(ξ)=ξ.

分析:由图1可看出,此题的几何意义是,连续函数y=f(x)的图形曲线必跨越y=x这一条直线,而两者交点的横坐标ξ恰满足f(ξ)=ξ,进而,由图1还可知道,对[0,1]上的同一自变量值x,这两条曲线纵坐标之差f(x)-x构成一个新的函数g(x),它满足g(0)=f(0)>0,g(1)=f(1)-1<0,因而符合中值定理的条件.

证明:令g(x)=f(x)-x,则由题设知,g(x)在[0,1]上连续,且g(0)=f(0)>0,g(1)=f(1)-1<0.由零点定理知,至少存在一点ξ∈(0,1),使得g(ξ)=f(ξ) -ξ=0,即f(ξ)=ξ.用反证法证唯一性,设有两个点x1,x2∈(0,1),均有f(x1)=x1,f(x2)=x2在x1与x2所构成的区间上运用拉格朗日中值定理有f'(ξ1)= f(x2)-f(x1)

x2-x1

=1,这与f'(x)≠1矛盾,结论成立.

注:上述解题方法的局限性在于它只针对一些只设计一阶导数和几何意义比较明确的题目.

2.3常数值法

例3.设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,0< a，

本文编号：2324843