p-混合样本下VaR估计的Bahadur表示及其渐进正态性

发布时间：2020-06-16 18:01

【摘要】： VaR(Value at Risk)是一个上个世纪九十年代兴起的重要风险度量.虽然VaR只有在损失概率较小的情况下才满足一致风险度量中次可加性条件,但在实际中,人们大都只关心损失概率较小的情况.而且通过大量实际应用,我们发现与其它风险度量相比,VaR的计算也相对简便.因此近几年来,人们已经逐渐认可VaR是一个较理想的风险度量,并对它展开了大量各方面的研究.本文在ρ-混合样本下,用样本分位数作为VaR的非参数估计,不仅讨论了其Bahadur表示及其渐进正态性,而且进行了数值模拟和实证分析,得到了一些有价值的结果. 假设{Yt}tn=1表示某一资产在某一时期内n个时间段市场价格序列, Xt =log(Yt/Yt-1)表示第t个时间段对数回报率.假设{Xt}tn=1是一个严平稳相依过程,其边际分布函数和密度函数分别为F(x)和f(x).给定一个正实数p∈(0,1),置信水平为(1 - p)的VaR值为我们定义VaR的样本分位数估计为其中, X(r)为样本X1,X2,···,Xn的第r个次序统计量.总体X的经验分布函数为其中I(·)为示性函数. 在整篇文章中,我们记qp = -vp,且Zn,p = -Qn,p.事实上, qp和Zn,p就是F(x)的总体分位数和样本分位数. 为证明结论,有以下几个基本假设: A1过程{Xi : i≥1}是一个严平稳的ρ-混合随机变量序列,ρ(n) = O(n-β),其中β 1. A2 F(x)为{Xi : i≥1}的分布函数,且F(x)在其p分位数qp的某个领域上绝对连续. A3 f(x)为{Xi : i≥1}连续的密度函数, 0 f(qp) ∞,其中p∈(0, 1),且在qp的某个邻域B(qp)内f(x)具有连续一阶导数, Fk为(X1,Xk+1)(k≥1)的联合分布函数, Fk二阶偏导数在邻域B(qp)内有界. 在第二章中,本文论证了VaR样本分位数估计的Bahadur表示、渐进正态性以及一致渐进正态性. 定理1.1(Bahadur表示)假设A1-A3成立,且f (x)在qp的某个领域内有界,当n→∞时,有vp - Qn,p = (p - Fn(qp))/f(qp) + O(n-3/4 logτn) a.s. (0-2)其中0 τ≤1. 注1:Yoshihara(1995, [1])也曾给出在强混合系数α= O(n-β),其中β 5/2的条件下,样本分位数的Bahadur表示.本文A1中β 1条件比Yoshihara(1995, [1])中β 5/2条件要弱一些. 在A1和A2成立前提下,当n→∞时,σp2,n收敛(证明见第4页),我们记σp2 =limn→∞σp2,n,且Un =√nf(qp)(vp - Qn,p)/σp. 定理1.2(渐进正态性)假设A1-A3成立,且β 2,则有√n(vp - Qn,p) -→d N(0,σp2f-2(qp)). 注2:VaR样本分位数估计置信度为1 -α的置信区间为[Qn,p - u1-α/2 nfσ(pqp),Qn,p + u1-α/2 nfσ(pqp)],其中u1-α/2为正态分布表中相应的分位点. 定理1.3(一致渐进正态性)假设A1-A3成立,若0 b 1,且β≥max{1 + 1 6-b b, 7(11 2-b b)}, (0-3)那么对任意的 0,有supu|FUn(u) -Φ(u)| = O(n-(1-b)/6 + n-1/4+ ), (0-4)其中Φ为标准正态分布函数,且任意随机变量X的分布函数表示为FX(s). 注3:当b→1时,β≥7/5.此时,若≥1/4,则supu|FUn(u) -Φ(u)| = o(1),若 1/4,则一致渐进正态性的收敛速度接近n-1/4;当b→0,β≥2.此时,若≥1/12,一致渐进正态性的收敛速度为n-1/6,若 1/12,其收敛速度也接近n-1/4. 在第三章中,本文对VaR样本分位数估计进行数值模拟,验证了VaR估计的准确性. 在第四章中,根据第二章理论结果,我们分别对2006年1月4日到2007年12月28日的上证指数和深证指数进行了实证分析.利用VaR样本分位数估计对沪深两市进行风险评估,对比了各个时段两市风险大小和风险估计置信区间.
【学位授予单位】：广西师范大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2008
【分类号】：C81

【参考文献】