Girsanov变换在倒向随机微分方程和亚式期权定价中的应用

发布时间：2018-02-22 00:16

  本文关键词： Girsanov变换 倒向随机微分方程 期权定价 亚式期权　出处：《山东大学》2012年硕士论文　论文类型：学位论文

【摘要】：Girsanov定理是随机分析中的一个基本原理,叙述了这样一个问题,当初始概率测度变换为等价的概率测度时,在原概率空间中的随机过程在新的概率空间中的表示形式将如何变化.特别是,通过适当的参数选择,应用Gir-sanov变换,我们可以将原概率空间一个Ito过程,变为新的概率空间中的布朗运动Girsanov定理在很多领域内具有广泛的应用,在金融数学理论领域中起到了非常重要的作用,如可用于解决期权等金融衍生产品的定价问题. 期权作为最基本的金融衍生产品之一,在金融市场中具有重要的地位,对于其定价问题人们进行了深入和广泛的研究.期权的定价模型依赖于标的资产价格的演化模型.在连续时间情形,标的资产的价格可以用随机微分方程来刻画,而期权持有者的资产过程可以通过一个倒向随机微分方程来描述,因此期权的价格可以通过倒向随机微分方程来求解.因此我们可以利用倒向随机微分方程的理论和方法,推导出期权定价公式.但是对于很多倒向随机微分方程来说,求得其显式解是比较困难的,只能利用数值方法进行求解. 在本文中,我们主要研究一类带有特殊终端条件的倒向随机微分方程的求解问题,采用数值计算的方法进行求解.对于我们所研究的一维的倒向随机微分方程,如下所示我们首先给出求解标准倒向随机微分方程的数值方法,即终端条件形如yT=ξ=Φ((Bt)0≤t≤T)的情形,其中{(Bt)0≤t≤T}是一个1-维标准布朗运动.我们将通过随机游走来逼近倒向随机微分方程中的布朗运动,从而得到离散化的倒向方程.同时将终端条件做相应的离散化.然后从离散终端条件出发,从后向前迭代,依次计算变量在各离散时间的可能取值,最终到达初始时刻t=0,求得离散倒向方程的解.可以证明,当满足一定条件时,离散倒向方程的解收敛于原倒向随机微分方程的解.因此我们可以用它作为倒向随机微分方程的数值解. 在本文中,我们主要研究倒向随机微分方程的终端条件形如yT=ξ=Φ((xt)0≤t≤T)的情况.其中xt是一个扩散过程,即随机微分方程的解.对于xt无显式解的情况,我们无法直接应用上述数值方法解方程.在此我们提供了更为实用而高效的方法,可通过Girsanov变换把此过程变换为另一个新的概率测度下的标准布朗运动,同时得到在新的概率空间下的倒向随机微分方程,新空间的方程具有简化了的终端条件,从而可以应用之前的标准倒向方程的数值计算方法.我们具体分析了三种特别形式的终端条件,给出了适用的Girsanov变换方法,变换后的离散倒向方程和离散终端条件,显式算法和隐式算法的迭代公式,以及收敛性证明.其后我们给出了方程求解的具体算法及一些实例,具体来讲,我们将Girsanov变换和数值方法应用于欧式期权定价的倒向随机微分方程模型. 亚式期权是一种路径依赖的期权合约,在期权到期日的收益依赖于整个期权有效期内标的资产的价格平均值.如用倒向随机微分方程来描述亚式期权定价模型,则此类方程也具有特殊终端条件.我们对欧式的具有固定敲定价格的算术平均亚式期权的定价进行了讨论.如同之前介绍的方法,我们首先对倒向随机微分方程模型进行Girsanov变换,从而简化了模型,然后给出离散倒向方程的显式算法和隐式算法的迭代公式,最后对其求解的情况进行了讨论. 最后我们对本文所研究的问题进行了总结,阐明了解决上述问题的意义,并对有待解决的问题进行了展望.
[Abstract]:Girsanov theorem is a basic principle in stochastic analysis , and describes how a stochastic process in the original probability space will change when the initial probability measure is transformed into an equivalent probability measure . In particular , we can use Gir - sanov transform in the new probability space when the initial probability measure is transformed into an equivalent probability measure . In particular , we can use Gir - sanov transform to transform the original probability space into a new probability space . As one of the most basic financial derivatives , the option has an important position in the financial market . The pricing model of the options depends on the evolution model of the target asset price . In the case of continuous time , the price of the target asset can be described by a stochastic differential equation . The price of the option holder can be solved by an inverted stochastic differential equation . In this paper , we mainly study the solution of the inverse stochastic differential equation with special terminal conditions , and solve it by means of numerical calculation . In this paper , we mainly study the condition of the terminal condition of the inverse stochastic differential equation , such as yT = . . = 桅 (( xt ) 0 鈮，

本文编号：1523204