正倒向随机微分方程的参数估计

发布时间：2018-01-10 21:34

本文关键词：正倒向随机微分方程的参数估计　出处：《山东大学》2017年硕士论文　论文类型：学位论文

【摘要】：近些年,人们对正倒向随机微分方程(FBSDE)的研究越来越多,但是针对FBSDE模型中的参数的估计问题,相关的文献并不多,完全以此为研究对象的文献只有参考文献[5,7,8,9,10],另外有参考文献[4,11,12,13,14,15]比较接近这一问题。通过查阅已有的文献,我们发现在FBSDE的参数估计工作中有下列问题值得进一步探究:(1)现有文献对一般情形下的生成元g(s,x,y,z)给出的非参数估计值g,只有ght(s)和ghs,hx(s,x)两种形式,这基于FBSDE的解(Y_t,Z_t)与偏微分方程的粘性解(u,v)存在关系式:Y_t =u(t,Xt)、Z_t= v(t,Xt),即(Xt,Z_t)也依赖于(t,Xt),所以在只需求取g(s,x,y,z)的值而不必给出具体表达式的情况下,可以认为g(s,x,y(s,x),z(s,x))只依赖于(s,x)。本文认为估计生成元g(s,x,y,z)需要解决的问题是:对任意指定的(s00,x0,y0,z0),给出g(s0,x0,y0,z0),所以在正文部分针对这一问题,尝试给出g(s,x,y,z)的一个明确的表达式。(2)现有文献在讨论生成元g的特殊形式时,都只考虑了 g关于(Y_t,Z_t)线性的情况。本文基于g= u|Z_t|这一特殊情形在应用中的重要地位,特别考察了g = u|Z_t|这一形式下FBSDE的参数估计方法和数值模拟实现,并且仿照现有文献中的方法,给出了估计偏差理论和简单证明。(3)在现有文献的数值模拟部分,使用非参数回归方法的过程中较少考虑对非参数回归方法和窗宽参数的选择,也较少涉及对参数估计方法稳定性的考察。本文在数值模拟过程中对这些问题稍加探究。(4)现有文献大多只进行数值模拟,没有将FBSDE模型应用到实际数据中,本文尝试在上证50ETF期权的实证分析中套用FBSDE模型,考察FBSDE的参数估计方法在期权定价问题中的应用价值。本文在正文部分主要解决以上4个问题,章节安排如下:第一章简单介绍了本文要用到的预备知识,内容主要是对研究对象(FBSDE模型)的简要介绍和对所用方法(非参数回归方法)的基本思想的简要介绍。在§1.1介绍了 FBSDE模型的相关理论,包括FBSDE模型的定义、实例、类型、发展以及FBSDE与其它随机微分方程模型的区别。在§1.2梳理了非参数方法的主要思想,对非参密度估计和非参回归估计的常用方法做了简单叙述。第二章的§2.1简述了FBSDE的参数估计的研究目的和应用价值,§2.2做了FBSDE模型中参数的估计方法研究领域的文献综述,叙述了研究现状,§2.3简要列出了本文的创新点,说明了本文对FBSDE的参数估计理论和实证方面所做的补充工作。第三章介绍并总结了一般形式下FBSDE的参数估计方法。其中§3.1至§3.4分别针对估计式的推导过程、渐进性质的表述、终端条件的嵌入方法等,展开了详细叙述,介绍了现有文献中FBSDE参数估计方法的要点。§3.5对一般形式下FBSDE的参数估计方法做了一个小结,梳理了一个流程。§3.6给了参数估计式的进一步明确表述,回答了问题(1)。第四章考察了 g =u|Z_t|情形下的参数估计问题,给出了(?)和bias(u)的表达式,仿照现有文献中的方法给出了简单推导和证明,回答了问题(2)。第五章做了 2个数值模拟,完成了问题(3)。第六章将g= u |Z_t|情形下的FBSDE应用到上证50ETF期权实际数据上,对期权价格做出了估计,完成了问题(4)。第七章对本文的工作做了简单的总结,对未来的研究方向做了几点展望。
[Abstract]:In recent years , there are more and more researches on the positive inverted stochastic differential equations ( FBMs ) , but there are not many related references for the estimation of the parameters in FBMs . We find that the following problems in the parameter estimation work of FBSare the following : ( 1 ) The existence relation between the solution of FBS( s ) and the viscous solution ( u , v ) of the partial differential equation : Y _ t = u ( t , Xt ) , Z _ t = v ( t , Xt ) , that is , ( Xt , Z _ t ) is also dependent on ( t , Xt ) . In the case of only the demand of g ( s , x , y , z ) , it is considered that g ( s , x , y ( s , x ) , z ( s , x )) depend only on ( s , x ) . In this paper , it is considered that the problem that the generator g ( s , x , y , z ) needs to be solved is to give a clear expression of g ( s , x0 , y0 , z0 ) for any given ( s00 , x0 , y0 , z0 ) . ( 4 ) In chapter 1 , the paper introduces and summarizes the basic ideas about the method of parameter estimation , including the definition , instance , type , development and the difference between FBMs and other stochastic differential equations .

【学位授予单位】：山东大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2017
【分类号】：F224;F830.9

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