数理金融学中的现代证券组合选择理论的均值—方差模型的等价性证明

发布时间：2020-07-02 06:04

【摘要】：现代证券投资组合选择理论(MPT)要追溯到1990年的诺贝尔经济学奖得主马尔柯维茨(Markowitz)(1952，1959)。重要内容之一是：在由期望度量的收益α一定的情形下，通过所谓的风险-收益模型分析[44]来寻求使得风险最小的投资组合，同时投资者还有其它的策略可以选择，例如在所承受的风险σ_0范围内，寻求投资组合以获得尽可能大的收益．本文的主要目的是在得出的风险和收益的函数关系下，验证上述两个策略是等价的。本文在允许“卖空”和不允许“卖空”的情形下，分别考虑不具有无风险资产和具有无风险资产的n种有风险证券的市场，寻求最优投资组合，同时验证上述两个策略对应的模型是等价的，假设这n种有风险证券的收益分别为x_1，x_2，…，x_n，无风险资产的收益用常数R_0表示。x=(x_1，x_2，…x_n)~T的期望值和它们的协方差矩阵分别记为 Ex=(Ex_1，Ex_2，…，Ex_n)~T=μ=(μ_1，μ_2，…，μ_n)~T，(μ_i不全相等)， Var(x)=E(x-μ)(x-μ)~T=(Coy(x_i，x_j))=∑＞0。用ω_0，ω_1，ω_2，…，ω_n分别表示投资者在无风险资产和这n种有风险证券上投入的资金量，则ω=(ω_1，ω_2，…，ω_n)~T或(ω_0，ω~T)~T称为一个投资组合，总和为1，1表示坐标全部为1的n维向量，ω~Tx的期望ω~Tμ和方差ω~TΣω分别表示投资组合ω的平均收益和投资风险。吉林大学博士学位论文理性的投资者通常有两类策略来选择投资组合: 给定平均收益下限a，求投资组合叨使风险最小; 给定平均风险上限a。，求投资组合叨使收益达到最大. .在允许“卖空”时，不具有无风险资产的。种有风险证券的投资组合模型如 L2.(i)下 nllll U) 切T艺牡) 1llaX 1I) f、IL 1犷卜 S. 切T拜全a 牡)，I’1=1 (11) 切TI，切T艺切叨7’1 三ao =1 △=AC一BZ0. /..少、.‘、 t. S .、产 r卫了J.、如果令A=厂￡一‘1，B=l’r艺一‘赵，C二拜T艺一，.则有那么，当户的分量赵:不全相等时，我们有下面的定理: 定理2.1对于模型(I)而言，设二，为其最优投资组合，当。昌日寸: _，C一刀a Aa一B、甲_ iv，=艺一’(—1+—以)，2口士艺叨， △△ AaZ一ZBa+C △ AB、ql =丁《a一了)‘十二 △、AA 当。三瓮时: 艺一11 叭=一五丫，，_1 ~_‘l、、肉叭“w*一万定理2.2对于模型(11)而言，设切为其最优投资组合，当a。青时: B一A _，r IB、寿I石万二丁、、闷石不万，叹)=艺一‘1(一一一一子一~)1+一一七三产一川，切‘拜== ‘’AA斌△’议△ 征诺不币二丁. —十从而在定理2.1和定理2.2的条件下，模型(j)与模型(11)的最优投资组合是相同的，利用模型(j)与模型(11)描述的这两种策略是等价的. (11).在允许“卖空”时，具有无风险资产的n种有风险证券的投资组合模型如下: lzlin牡)7’艺，刀，nax尺。+，，，，I’(l，一R。1) 、，:rI’(l，一尺。1)Za一R0O 货I，rI’i二一，，)o三l (11)’ ，v，I’艺切三Jo ，v了’1二1一切。三 f才、..、 t. t8. 矛!/、.L t. 欲、‘，.J 了了了右几吸、 △一A 由I\’=A几若一ZBRO+C=A(R。 2+ B一A 第2页中文摘要那么，在拼的分量户*不全相等的情形下，我们有下面的定理: 定理3.1对于模型(I)‘而言，设伽。，，(w，)T)T为其最优投资组合，当aR。时: 丈万硫兰厄去戴五万艺一‘(‘另一R0‘)， (a一 R。) (AR。一B)a一(BR。一C) A璐一ZBRO十C 71。(a一R0)2 W二乙切，一一，，二二二一一一一，，二，二丁= A儿百一2万场+C (a一凡)z K 定理3.2对于模型(11)‘而言，设(、0，。l’)T为其最优投资组合，则有西石了A璐一ZBRO十c 艺一‘(赵一Rol)，场十w伙l，一Rol)=R0十 (B一ARO). 这样在定理3.1和定理3.2的条件下，从模型(月‘与模型(11)‘分别得出的最优投资组合是相同的，也就是说策略1与策略2是等价的. (iii).在不允许“卖空”(非负投资组合)时，不具有无风险资产的n种有风险证券的投资组合模型如下: 111 In 1」J 叹了1..才、.es、 t. S 、、，..矛 J理 rJ 了牙r，、 mT艺切叨Tz，切Tl 1llaX 侧 a 一1 l，2 wT拼，uT艺叨叨Tl 切:资0 ’，7乙· 全0，乞= 兰JO =1 l，2，…，n. 了...夕、...、日于‘ S. ‘、.刃产 r1 ‘了.1、其中1=1。是坐标全部为l的n维向量.显然有 a〔Imin{共‘，，户2，…，z‘。}，n，ax{，，，，矛‘2，…，l‘。}]. 不失一般性，将前无个资产收益(x，，xZ，…，x、)T对应的协方差矩阵记为￡，，. /八，，A，。\ 令艺一’=!一“一“l，其中A;，是一kx人阶方阵.设Al=(AIL，AtZ)且A:一、AZI A22/ (AZ，，A
【学位授予单位】：吉林大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2004
【分类号】：F224

【引证文献】