受Markov链调控的风险模型研究

发布时间：2019-08-15 21:06

【摘要】：本论文建立并研究了几类受Markov链调控的风险模型.首先,从严格数学意义上证明了这些模型的存在性、概率构造和轨道刻划等.然后,在建立的这些数学模型的基础上,研究模型的破产问题,具体研究了各种破产量,特别是Gerber-Shiu折罚函数. 受Markov链调控的风险模型是经典风险模型的推广.经典风险模型只涉及两个随机过程(Poisson赔付计数过程和独立同分布赔付额过程),而且两个过程是独立的.本论文研究的受Markov链调控的风险模型,除了涉及两个随机过程(赔付计数过程和赔付额过程)外,还增加了一个Markov链(调控过程),甚至还有这三个过程以外的其它过程.这些过程不独立,而是相依的,它们之间满足某些相依关系.从数学角度看,风险模型的存在性问题是首先要解决的.只有证明了模型的存在性,才能在此基础上再研究模型的破产问题、最优控制问题等等.利用独立乘积空间技巧,经典风险模型的存在性是无容置疑的,数学上容易严格证明.但如果一个风险模型涉及两个或两个以上的互相依赖的随机过程(如受Markov链调控的风险模型),证明风险模型的存在性,就不能简单地用独立乘积空间技巧了.许多学者往往忽略这个问题,引进一些模型后就默认了模型的存在性.这是不可取的,也是不科学的.因此,本论文对新建立的受Markov链调控的风险模型,严格地证明了模型的存在性,并进一步研究了风险模型的概率构造及性质.从创新点和内容结构两个方面介绍如下. 一.论文的创新点. 本文的内容,除了第1章绪论和第2章2.1至2.4节外,文中所有其他的内容,即从第2章的2.5节直至本文最后的第7章,都是新的,都是作者的研究结果.具体地说,有下面7个方面的创新点. 1.提出用独立乘积空间构造相依随机变量的组装法这里提出的“组装法”,自认为并不是大的发明.但本文却是首次系统地、明确地作为一种方法提出来,而且这个组装法在本文中得到很好的、很充分的应用,相信在构造其他的相依随机变量的情形也将是很有用的. 2.获得了Markov链的若干新结果 Markov链的理论研究已经很深入和丰富.虽然本论文主要是研究受Markov链调控的风险模型,但我们也获得了Markov链的若干新结果. (1).研究了Markov链的一种随机时间替换.在一定假设下,时间替换后的链仍然具有Markov性. 一般情形Markov过程的时间替换早已有研究,要用到Markov过程的可加泛函等较高等的概念.本文研究的时间替换是在Markov链的初等框架下进行的. (2).证明了：由q过程和Markov风险模型导出的几个多维过程是时间齐次Markov链；获得了一类有报酬的随机过程的Markov性和时间齐次性. 3.对Markov风险模型,获得了其Gerber-Shiu折罚函数满足的方程、递推公式和解析表达式. 4.首次引进双Markov风险模型,求出了它的生存概率和条件生存概率. 5.解决了Markov调制风险模型的存在性问题,给出了轨道刻划和概率构造.对附带税率的Markov调制过程,给出了轨道刻划. 6.给出了Markov相依风险模型的判别准则、必要条件和概率构造,解决了模型的存在性问题和判别问题. 7.新引进了半Markov相依风险模型,体现出“半”的意义.给出了模型的判别准则和一些必要条件,给出了概率构造,也解决了模型的存在性问题和判别问题. 二.论文的内容结构. 本论文总共7章,分两部分. 第一部分(第1-2章).首先,介绍本文必需要的关于Markov链的基本理论知识.然后,给出了作者获得的关于Markov链的若干新结果：关于q过程的一些新结果；Markov链的一种随机时间替换；有报酬的随机过程的Markov性和时间齐次性.再次,给出了用独立乘积空间构造相依随机变量的组装法. 第二部分(第3-7章).研究5类受Markov链调控的风险模型.每章研究一个模型,对于每个模型,研究的内容也不一样,各有侧重. 1. Markov风险模型(第3章)：研究它的Gerber-Shiu折罚函数,得到了Gerber-Shiu折罚函数满足的积分方程、递推公式、解析表达式. 2.双Markov风险模型(第4章)：研究它的生存概率和破产概率.首次提出双Markov风险模型.它是在Markov风险模型的基础上,将赔付额过程推广为一个Markov链.由于赔付时刻是一个Markov链(q过程)的跳跃点,赔付额也是一个Markov链,故提出的模型叫做双Markov风险模型.对于此模型的生存概率和条件生存概率,得到了它满足的积分方程、它的递推公式以及解析表达式. 3. Markov调制风险模型(第5章)：研究它的存在性和轨道结构.Markov调制风险模型前人已引进,但许多文献中,对于Markov环境的依赖都是描述性的、不很清晰.本文给出了Markov调制风险模型U=(A; J,S,X)的严格的数学定义,其中A=(C,Q,G,F)是模型U的特征组；给出了保费率、赔付时和赔付额依赖Markov环境的准确数学描述；模型的存在性和概率构造；对附带税率的Markov调制过程,给出了轨道刻划. 4. Markov相依风险模型(第6章)：研究它的判别准则、必要条件和概率构造,解决了模型的存在性和判别问题.Markov相依风险模型是前人提出的,它涉及3个相依的随机过程,而且3个随机过程的相依关系是用一个公式“一揽子”描述的.这样的3个过程,或者说,这样的模型是否存在?两两的关系如何?如何判断3个过程可否组成Markov相依风险模型?有无判别准则?本章给出了回答. 5.半Markov相依风险模型(第7章)：研究它的判别准则、必要条件和概率构造,解决了模型的存在性和判别问题.Albrecher and Boxma(2005)中已经引进了"Markov相依风险模型”,其文中虽然提到“半Markov性”,但没有体现出“半”的意义.本文引进的“半Markov相依风险模型”,体现了“半”的意义.而且,作为特殊情形包含了Markov相依风险模型,即本论文第6章中研究的模型.
【学位授予单位】：湖南师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2014
【分类号】：F840;O211.62

【参考文献】