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微分方程在经济学、管理学中的运用

发布时间:2014-07-27 10:13

  一、收入与债务的问题
  目前,欧债美债危机使大家对经济的发展前景十分担忧。一个国家债务过多,其所需支付的利息超过了该国的国民收入时,该国会出现破产。那么持续财政赤字的国家会出现破产这个现象吗?国民收入与国家债务问题能否转化为微分方程去进行分析呢?当然可以。利用微分方程可以很好地体现一个国家的国民收入与其债务问题。
  令D(t)表示国债在时刻t的美元价值,Y(t)表示时刻t国民收入。假定所有变量都以实际美元标价,从而去掉通货膨胀因素。同时假定赤字(定义为一个等于支出减去收入的正值)为任何时点国民收入的常数比例。由于债务变化恰好是赤字,则有
  D=by,b>0(一般,许多国家的b值 介于0.02和0.08之间,这意味着赤字大约相当于国民收入的2%~8%)
  同时进一步假定,国民收入随时间的增长满足如下微分方程:
  Y=gY g为正常数(表示国民收入的增长率)。
  上述两个方程一起构成了国债积累模型。为了分析该模型所蕴含的利息支付与国民收入长期比值之间的关系,我们需要求解这两个方程。该方程可以重新改写成积分可得
  Y(t)=C1egt
  我们假定利息率为常数r,计算利息支付(rD(t))和国民收入(Y(t))的比值:
  定义z(t)=rD(t)/Y(t)为偿付国债利息所吸收的国民收入份额,化简可得z(t)=re-gt+r(1-e-gt)
  z(t)即利息支付与国民收入的比值,随着t→∞收敛到一个有限值。为了验明这一点,对式子右边的两项取t→∞时的极限。注意e-gt随着t→∞而趋于零。则有:国债的利息支付收敛到国民收入的一个固定比例rb/g。如果rb/g<1,那么即便政府一直实行不断增长的国民收入的固定比例的预算赤字,最终的债务负担也会收敛到国民收入的一个固定份额。这会是一个好消息,因为这意味着经济总是能够满足债务的偿付,破产永远都不会发生。另一方面,如果rb/g>1,那么这一过程就会收敛到一个利息支付超过国民收入的有限值,笔耕文化推荐期刊,此时,如果预算赤字持续下去,那么经济将注定会破产。
  二、逻辑斯谛方程
  利用逻辑斯谛方程的思想可以很好地分析一些经济问题,例如新产品在市场中的发展。根据逻辑斯谛方程可以建立一个新产品的推广模型。例如:某种新产品问世,t时刻的销量为f(t),由于产品属于新型产品,没有可替代的产品,因此t时刻产品销售量的增长率与f(x)成正比。同时,产品的销售量存在着一定的市场容量N,统计表明,与尚未购买的此新产品的潜在客户数量N-f(x)也呈正比,于是有=kx(N-x)符合逻辑斯谛方程的模型, 于是有通解:
  =kx(N-x)
  其中k为比例系数,分离变量积分, 可以解得x(t)=
  由=,=
  当x(t*)0,即销量x(t)单调增加。 当x(t*)=时,=0;当x(t*)>时, <0;当x(t*)<时,>0,即当销售量大于需求量的一半时,产品最畅销。当销售不足一半时,销售速度将不断的增大。同理,销售量达到一半时,销售速度则不断减少。
  许多产品的销售曲线都和逻辑斯谛方程曲线十分的相近。所以,分析家认为,当产品推出的初期应小批量生产;当产品用户在20%-80%之间时,产品应该大批量的生产;但当产品的用户超过80%时,企业应该研发新的产品。

 



本文编号:7157

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