微分方程在经济学、管理学中的运用

发布时间：2014-07-27 10:13

　　一、收入与债务的问题
　　目前，欧债美债危机使大家对经济的发展前景十分担忧。一个国家债务过多，其所需支付的利息超过了该国的国民收入时，该国会出现破产。那么持续财政赤字的国家会出现破产这个现象吗？国民收入与国家债务问题能否转化为微分方程去进行分析呢？当然可以。利用微分方程可以很好地体现一个国家的国民收入与其债务问题。
　　令D（t）表示国债在时刻t的美元价值，Y（t）表示时刻t国民收入。假定所有变量都以实际美元标价，从而去掉通货膨胀因素。同时假定赤字（定义为一个等于支出减去收入的正值）为任何时点国民收入的常数比例。由于债务变化恰好是赤字，则有
　　D=by,b>0（一般，许多国家的b值 介于0.02和0.08之间，这意味着赤字大约相当于国民收入的2%~8%）
　　同时进一步假定，国民收入随时间的增长满足如下微分方程：
　　Y=gY g为正常数（表示国民收入的增长率）。
　　上述两个方程一起构成了国债积累模型。为了分析该模型所蕴含的利息支付与国民收入长期比值之间的关系，我们需要求解这两个方程。该方程可以重新改写成积分可得
　　Y（t）=C1egt
　　我们假定利息率为常数r，计算利息支付（rD（t））和国民收入（Y（t））的比值：
　　定义z（t）=rD（t）/Y（t）为偿付国债利息所吸收的国民收入份额，化简可得z（t）=re-gt+r（1-e-gt）
　　z（t）即利息支付与国民收入的比值，随着t→∞收敛到一个有限值。为了验明这一点，对式子右边的两项取t→∞时的极限。注意e-gt随着t→∞而趋于零。则有：国债的利息支付收敛到国民收入的一个固定比例rb/g。如果rb/g＜1，那么即便政府一直实行不断增长的国民收入的固定比例的预算赤字，最终的债务负担也会收敛到国民收入的一个固定份额。这会是一个好消息，因为这意味着经济总是能够满足债务的偿付，破产永远都不会发生。另一方面，如果rb/g＞1，那么这一过程就会收敛到一个利息支付超过国民收入的有限值，笔耕文化推荐期刊，此时，如果预算赤字持续下去，那么经济将注定会破产。
　　二、逻辑斯谛方程
　　利用逻辑斯谛方程的思想可以很好地分析一些经济问题，例如新产品在市场中的发展。根据逻辑斯谛方程可以建立一个新产品的推广模型。例如：某种新产品问世，t时刻的销量为f（t），由于产品属于新型产品，没有可替代的产品，因此t时刻产品销售量的增长率与f（x）成正比。同时，产品的销售量存在着一定的市场容量N，统计表明，与尚未购买的此新产品的潜在客户数量N-f（x）也呈正比，于是有=kx（N-x）符合逻辑斯谛方程的模型， 于是有通解：
　　=kx（N-x）
　　其中k为比例系数，分离变量积分， 可以解得x（t）=
　　由=,=
　　当x（t*）0,即销量x（t）单调增加。 当x（t*）=时，=0;当x（t*）>时， <0;当x（t*）<时，>0，即当销售量大于需求量的一半时，产品最畅销。当销售不足一半时，销售速度将不断的增大。同理，销售量达到一半时，销售速度则不断减少。
　　许多产品的销售曲线都和逻辑斯谛方程曲线十分的相近。所以，分析家认为，当产品推出的初期应小批量生产；当产品用户在20％－80％之间时，产品应该大批量的生产；但当产品的用户超过80％时，企业应该研发新的产品。

 

本文编号：7157