一维对流弥散方程的显式差分法求解及其收敛性分析
发布时间：2021-08-28 10:01
对一维对流弥散方程的特点进行全面分析,在稳定渗流场中,认为差分格式中的流速项系数和弥散系数是随空间节点的位置而改变的,给出了不同渗流方向下相应的差分格式,推导了对应的收敛条件,并考虑了边界浓度衰减的影响,引入边界衰减因子,最后将该方法运用到实际工况中。从计算结果中发现,在满足收敛条件的情况下,能够计算出浓度在时间和空间的变化数值,最终计算结果是收敛的,而不满足相应的收敛条件时,其计算结果是不收敛的。所介绍的方法能够求解一维对流弥散方程的解析解,简单实用,且能够方便了解每一迭代步内的浓度空间分布情况。
【文章来源】：石家庄铁道大学学报(自然科学版). 2020,33(02)
【文章页数】：7 页
【部分图文】：
图１正向渗流类型的示意图??
第２期??张力霆等：一维对流弥散方程的显式差分法求解及其收敛性分析??３??＾Ｎ－２?＾Ｎ－ｌ?Ｚｌ／Ｖ??Ｃ〇??／ｌ〇?ｒ??ｉ?ｈ??ｖ２??２?ｎ??３??匕丨??Ｖ，ｖ??ＶｙｖＭ??ｌｊ／２??Ｖｙｉ??＾ｉｊ．Ｖ２??ｖ??Ｖ?Ｎ￣３／２??Ｖ?ｐｆ￣ｍ??＾?Ｎ＋＼ｆ２??Ｃｊ??Ａ?＼??ｃ，??＼?ｘ??ａ９??Ｃ－２??ｃｒｌ??ｃ，??ｃ＋ｉ??Ｃｖ．？??Ｃ／ｖ＿｜??ＣＮ??＼?＼?ｉ?＼?＼??＾Ｎ－＼?ＸＮ??Ｘｘ?Ｘ２?ｘｌ?…??图２逆向渗流类型的示意图??在正向渗流的类型下，流速为正值，根据达西定律，待到稳定后，Ｖ，的值和１存在——对应关系，根??据空间节点处流董相等的原理［１°］，可以求得稳定后的流速表达式为??ｋ｛ｈｌ?￣?ｈ％）??Ｖ，??２Ｌ?＇?ｈｆ、－?ｉ??（／ｌ〇?－?／ｌ；ｖ?）?Ａｘ??（５）??．（／ｉｆ，?－?／ｉ＾）?Ａｘ??Ｉ?ｈｉ?－??Ｖｌ?＋?，??Ｌ??■??（ｚ＋１）??｛ｈｉ?￣?ｈ２Ｎ）／＾ｘ、??￣Ｌ￣??ｖｖ??ＶＮ??Ａｘ??ｋ（ｈｌ?￣?ｈｈ?）??２Ｌ／ｉ？??ｋ（ｈｆ、－?ｈ２Ｎ）??２ＬｈＮ??（６）??（７）??（８）??（ｌ＜ｔ＜Ｎ）??（９）??将一维对流弥散方程式（１）差分化为??ｃＴ１?一此［Ｖ，?＋士（ｃ＼，?－＜）?一?—?Ｇ－，）］?—?Ｖ，－，。－，??Ａ／?（Ａｘ）２?Ａｘ??当时，认为＝／３＾，＼＾＋｜＝ＶＮ，其中０为边界衰减因子，其值介于［０，１］之间，反映浓度在边??界处的衰减程度，／？＝?１时，代表边界处浓度没有衰减，＃＝〇时，代表完全衰减（假如边界处存在
６??石家庄铁道大学学报（自然科学版）??第３３卷??０．６，???〇?５??海水水位０．５?ｍ?ｑ?＾??海水?Ｃ１－浓度?１８?０００?ｍｇ／Ｌ?＾?〇?３??■ｆｅ！??迷０．２??０．１??０．６??０．５??§：３－５???０．３??２淡水水位０．３５?ｍ??丨淡水Ｃｌ－浓度０?ｍｇ／Ｌ??＂０?０．１?０．２?０．３?０．４?０．５?０．６?０．７?０．８?０．９?１．０１．１?１．２?１．３?１．４??宽度／ｍ??图３正向渗流类型下渗流槽尺寸及边界条件示意图??采用有限差分法计算上述算例，在满足收敛条件??的情况下，经过６?０（）０步迭代次数后，得到节点位置??的浓度基本上不随迭代次数的增加而改变，则绘制最??终浓度随渗流距离变化的曲线图，并比较边界衰减因??子卢＝０与／？＝?１的情况，如图４所示。在正向渗流的情??况下，右边界处浓度的衰减对最终稳定状态的影响是??比较大的，不能忽略。??３．２逆向渗流算例??当左侧海水水位为〇．?３５?ｍ、右侧淡水水位为０．?５??ｍ时，其他条件均与上述情况相同，此情况为逆向渗流??类型，其示意图见图５。采用有限差分法计算上述算例，绘制最终浓度随渗流距离变化曲线图，并比较边??界衰减因子０＝０与；３＝１的情况，如图６所示。??２０?０００??１８?０００??１６?０００??—１４?０００??ｉ?１２?０００??ｉｃｌＯ?０００??８?０００??？?６?０００??Ｓ?４?０００??２?０００??０??０?０．２??０．４?０．６?０．８?１．０??渗流距离／ｍ??１．２?１．４?１．６??图４正向渗流类型下最终浓度随
【参考文献】：
期刊论文
[1]求解分数阶对流弥散方程的边界值法[J]. 杨淑伶. 高等学校计算数学学报. 2016(04)
[2]一维对称空间分数阶对流弥散方程的数值解[J]. 李新洁,李功胜,贾现正. 山东理工大学学报(自然科学版). 2011(02)
[3]对流-弥散方程显式差分法稳定性分析方法的初探[J]. 马荣,石建省,张翼龙. 水资源与水工程学报. 2010(01)
[4]分数阶对流——弥散方程的数值求解[J]. 夏源,吴吉春. 南京大学学报(自然科学版). 2007(04)
[5]海水入侵数学模型研究现状与发展趋势[J]. 聂晶,赵全升,杨天行. 鞍山师范学院学报. 2002(03)
[6]各种求解对流—弥散方程数值方法的比较[J]. 杨金忠. 武汉水利电力学院学报. 1987(05)
本文编号：3368304
【文章来源】：石家庄铁道大学学报(自然科学版). 2020,33(02)
【文章页数】：7 页
【部分图文】：
图１正向渗流类型的示意图??
第２期??张力霆等：一维对流弥散方程的显式差分法求解及其收敛性分析??３??＾Ｎ－２?＾Ｎ－ｌ?Ｚｌ／Ｖ??Ｃ〇??／ｌ〇?ｒ??ｉ?ｈ??ｖ２??２?ｎ??３??匕丨??Ｖ，ｖ??ＶｙｖＭ??ｌｊ／２??Ｖｙｉ??＾ｉｊ．Ｖ２??ｖ??Ｖ?Ｎ￣３／２??Ｖ?ｐｆ￣ｍ??＾?Ｎ＋＼ｆ２??Ｃｊ??Ａ?＼??ｃ，??＼?ｘ??ａ９??Ｃ－２??ｃｒｌ??ｃ，??ｃ＋ｉ??Ｃｖ．？??Ｃ／ｖ＿｜??ＣＮ??＼?＼?ｉ?＼?＼??＾Ｎ－＼?ＸＮ??Ｘｘ?Ｘ２?ｘｌ?…??图２逆向渗流类型的示意图??在正向渗流的类型下，流速为正值，根据达西定律，待到稳定后，Ｖ，的值和１存在——对应关系，根??据空间节点处流董相等的原理［１°］，可以求得稳定后的流速表达式为??ｋ｛ｈｌ?￣?ｈ％）??Ｖ，??２Ｌ?＇?ｈｆ、－?ｉ??（／ｌ〇?－?／ｌ；ｖ?）?Ａｘ??（５）??．（／ｉｆ，?－?／ｉ＾）?Ａｘ??Ｉ?ｈｉ?－??Ｖｌ?＋?，??Ｌ??■??（ｚ＋１）??｛ｈｉ?￣?ｈ２Ｎ）／＾ｘ、??￣Ｌ￣??ｖｖ??ＶＮ??Ａｘ??ｋ（ｈｌ?￣?ｈｈ?）??２Ｌ／ｉ？??ｋ（ｈｆ、－?ｈ２Ｎ）??２ＬｈＮ??（６）??（７）??（８）??（ｌ＜ｔ＜Ｎ）??（９）??将一维对流弥散方程式（１）差分化为??ｃＴ１?一此［Ｖ，?＋士（ｃ＼，?－＜）?一?—?Ｇ－，）］?—?Ｖ，－，。－，??Ａ／?（Ａｘ）２?Ａｘ??当时，认为＝／３＾，＼＾＋｜＝ＶＮ，其中０为边界衰减因子，其值介于［０，１］之间，反映浓度在边??界处的衰减程度，／？＝?１时，代表边界处浓度没有衰减，＃＝〇时，代表完全衰减（假如边界处存在
６??石家庄铁道大学学报（自然科学版）??第３３卷??０．６，???〇?５??海水水位０．５?ｍ?ｑ?＾??海水?Ｃ１－浓度?１８?０００?ｍｇ／Ｌ?＾?〇?３??■ｆｅ！??迷０．２??０．１??０．６??０．５??§：３－５???０．３??２淡水水位０．３５?ｍ??丨淡水Ｃｌ－浓度０?ｍｇ／Ｌ??＂０?０．１?０．２?０．３?０．４?０．５?０．６?０．７?０．８?０．９?１．０１．１?１．２?１．３?１．４??宽度／ｍ??图３正向渗流类型下渗流槽尺寸及边界条件示意图??采用有限差分法计算上述算例，在满足收敛条件??的情况下，经过６?０（）０步迭代次数后，得到节点位置??的浓度基本上不随迭代次数的增加而改变，则绘制最??终浓度随渗流距离变化的曲线图，并比较边界衰减因??子卢＝０与／？＝?１的情况，如图４所示。在正向渗流的情??况下，右边界处浓度的衰减对最终稳定状态的影响是??比较大的，不能忽略。??３．２逆向渗流算例??当左侧海水水位为〇．?３５?ｍ、右侧淡水水位为０．?５??ｍ时，其他条件均与上述情况相同，此情况为逆向渗流??类型，其示意图见图５。采用有限差分法计算上述算例，绘制最终浓度随渗流距离变化曲线图，并比较边??界衰减因子０＝０与；３＝１的情况，如图６所示。??２０?０００??１８?０００??１６?０００??—１４?０００??ｉ?１２?０００??ｉｃｌＯ?０００??８?０００??？?６?０００??Ｓ?４?０００??２?０００??０??０?０．２??０．４?０．６?０．８?１．０??渗流距离／ｍ??１．２?１．４?１．６??图４正向渗流类型下最终浓度随
【参考文献】：
期刊论文
[1]求解分数阶对流弥散方程的边界值法[J]. 杨淑伶. 高等学校计算数学学报. 2016(04)
[2]一维对称空间分数阶对流弥散方程的数值解[J]. 李新洁,李功胜,贾现正. 山东理工大学学报(自然科学版). 2011(02)
[3]对流-弥散方程显式差分法稳定性分析方法的初探[J]. 马荣,石建省,张翼龙. 水资源与水工程学报. 2010(01)
[4]分数阶对流——弥散方程的数值求解[J]. 夏源,吴吉春. 南京大学学报(自然科学版). 2007(04)
[5]海水入侵数学模型研究现状与发展趋势[J]. 聂晶,赵全升,杨天行. 鞍山师范学院学报. 2002(03)
[6]各种求解对流—弥散方程数值方法的比较[J]. 杨金忠. 武汉水利电力学院学报. 1987(05)
本文编号：3368304
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