三类弹性体非协调辛有限元的理论研究

发布时间：2020-09-21 18:37

　　位移有限元方法的位移结果精度较高,计算资源消耗低,便于实现大规模问题分析。然而,由于位移结果的微分运算,应力结果的精度低。另一方面,一般工程中层合结构的面外应力沿厚度方向通常呈非线性,且应力梯度大,假设采用位移法,要得到可靠的面外应力数值结果,必须在厚度方向将网格划分得更细,并要求采用磨平方案修改应力结果。混合有限元法可以同时求解位移和应力两类变量,且应力结果的精度很高,但是场变量数增加,需要更多的计算机资源。针对以上几个问题,本文的主要工作包括以下几个部分:(1)以最小势能原理、修正的Hellinger-Reissner(H-R)变分原理或单一的修正的广义H-R变分原理为基础,建立了两种包含位移变量和面外应力变量的非协调辛元等参列式。对位移变量和面外应力变量采用相同的形函数进行离散,为面外应力边界条件的引入奠定了基础。由于控制方程中只包含了位移和面外应力两类变量,所以线性方程组所占空间较经典的混合法更少,面内应力可以由位移和面外应力得到。通过对单元矩阵的特征值和特征模态进行分析,证明了该方法的可靠性。分片试验证明了非协调辛元结果的收敛性和稳定性。(2)复合材料层合板的算例表明本文的非协调辛元保证了层间面外应力的连续性,面外应力结果的精度高。因此,非协调辛有限元的等参列式具有计算资源消耗低、精度高和良好的稳定性等优点。(3)非协调辛元的形式比较简单,可方便地推广到包含多物理场的工程材料或相关的智能结构中,例如压电弹性材料和电磁弹性材料等类型的层合结构。本文有关这方面的理论推导和算例进一步表明,采用包含广义位移和广义面外应力变量的非协调辛有限元法所得到的力、电、磁的计算结果精度高,收敛速度快。本文的研究工作为分析有关工程结构静力学问题提出了一种简便、可靠的有限元方法。
【学位单位】：中国民航大学
【学位级别】：硕士
【学位年份】：2019
【中图分类】：V214
【部分图文】：

子矩阵,非协调

(a) 协调辛元的子矩阵图 (b) 非协调辛元的子矩阵图图 3-1 协调和非协调辛有限元方法的子矩阵图.2.1 基于两个变分原理的非协调辛元将式(3.25)代入式(2.13)可得到包含变量eq 和er 离散泛函T T T T T TP e e e pp e e rr e e qr e e qr e q e r e1 1 1 1( , ) ( )2 2 2 2n∏ =q r ∑q D q + r D r + q D r + r D q f q f r (3.2中：T Tqq qqV( ) ( ) di= =VD D ∫ Ν C Ν，T Trr rr r rV( ) ( ) di= =VD D ∫ Ν C Ν，Tqr rV( ) ( ) di=VD ∫ Ν C Ν，Tr rsdi=Sf ∫T N 。根据非协调有限元的处理方法[7,46,50]，式(3.29)中与单元内部结点位移向量er 相关Tr e f r 对计算结果影响很小，可以忽略，下文的推导过程与之相同。δ ∏ ( r ) =0可得

模态图

NCSE8的模态图

模态图,附表,零特征值,非零

26图 3-3 NCSE8'的模态图附表 2 表示当约束了 6 个位移自由度时，NCSE8、NCSE8'和位移法的特征值的计算结果。从附表 2 可以看出，当施加约束时，6 个零特征值消失，正特征值和负特征值的数量没有改变。这一特点进一步表明 18 个正特征值对应于 18 个非零能模态，24 个负特

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