一类地下水污染问题的数值方法及理论分析

发布时间：2020-05-22 07:36

【摘要】：目前,地下水污染问题受到各国政府、企业和学术界的普遍关注,数值模拟技术逐渐成为研究分析水资源各种问题的重要手段。很多地下水污染问题的数学模型都被归结为对流扩散方程,研究对流扩散方程的数值解对水资源的自然生态保护具有重要的理论和实际意义。本文主要研究一类地下水污染问题的数值方法及理论分析。考虑平面单向流场中示踪剂的二维弥散造成污水渗流的实际问题,其数学模型为仅在x方向有对流的二维对流扩散方程:(?)αC(x,y,t)/(?)tα=Dx(?)2C(x,y,t)/(?)x2+Dy(?)2C(x,y,t)/(?)y2-v(?)C(x,y,t)/(?)x+f(x,y,t),其中C(x,y,t)为溶质浓度,Dx和Dy分别为横向和纵向弥散系数,v为平均孔隙速度,α为时间分数阶导数的阶数,f(x,y,t)为源项。研究内容主要包括三部分:①瞬时注入(α=1,f(x,y,t)=0)的情开形;②带有源项(α=1,f(x,y,t)≠0)的情形;③时间分数阶(0α＜1,f(x,y,t)≠0)的情形。本文的主要工作是:根据地下水污染的实际问题建立合适的定解条件,借助降维思想将原方程等价改写为两个方程,运用有限差分方法或紧致有限差分方法,构造合适的数值计算格式,研究原问题的数值解,模拟污染物在多孔介质中的运移规律。首先,对空间导数,我们在①中应用一、二阶中心差商代替一、二阶导数项进行离散,得到二阶精度;在②和③中采用处理一维问题的三点四阶紧致差分格式离散,得到四阶精度。其次,对时间导数,我们在①和②中使用Cank-Nicolson(C-N)格式离散,得到二阶精度;在@中则用Caputo分数阶导数的L1插值进行逼近,得到(2-α)阶精度。最后,在紧致差分格式的唯一可解性、稳定性和收敛性的理论分析基础上,我们给出多个数值算例,并借助hMATLAB软件编程计算,验证了所提的格式的精确性、有效性和可靠性。结果表明,我们的方法能更加精确地模拟污染物的浓度分布,为水资源保护特别是应对水污染突发性事件提供了快速、直观的决策依据。
【图文】：

几何形状,水质模型,水质数学模型

状态以及它与周围其他系统之间的联系。这些模型的优点是：物理意义比较明逡逑确，能够详细地刻画出系统的状态随时间和空间的变化。逡逑在本文中，我们主要介绍物质输运模型中的对流一扩散模型，图１－１表示逡逑对流扩散型水质数学模型的构成，其中的对流扩散方程是以多孔介质中流体动逡逑力弥散理论为基础的。逡逑对流扩散方程中Ｉ定解条件Ｉ日Ｉ水质数学模型胃逡逑图１－１对流扩散型水质数学模型的构成逡逑这种模型是由偏微分方程组成的，而且有时候是非线性的，能求得解析解逡逑的情形十分有限。孙纳正教授也曾在文献［７２］中提到：在实际上，水质模型只逡逑有靠数值方法求解。逡逑然而，要建立某一含水层系统的水质模型，除了按实际条件和一般理论确逡逑定各个方程的类型外，还有一个更加关键的因素一一确定出现在方程中的各种逡逑水文地质参数的值（尤其是与弥散有关的参数）以及方程的定解条件。水质模逡逑型的输入与输出见图１－２。逡逑区域几何形状逦邋逦逡逑：逦溶逡逑流动参数１逦邋｜｜逡逑扩散系数＾的逡逑逦邋庾逦时逡逑，逦１邋梭—间逡逑丨污染源位置强度一邋＝逦｜逡逑一邋空逡逑…初语蔡件———逦间逡逑——＿邋．逦分逡逑逦：逦布逡逑边界条件逦逦—逡逑图１－２邋水质模型的输入与输出逡逑９逡逑

模型图,水平含水层,污染物质,输运

若地下含水层是单层水平均质岩层，介质为多孔介质，水的实际流速是常逡逑数且流向平行于ｒｒ轴．取０（０．０）为坐标原点（即污染源），，设该无限平面为平逡逑面Ｏ－ｚｙ，水流方向和工轴方向一致．图２－３是这一实际问题的模型图示，逡逑（0，0）邋逦观测孔逦逡逑ｙ逡逑图２－３水平含水层中污染物质的单向输运逡逑其可由如下的具有对流项的二维抛物方程来描述：逡逑￣ｍ＝Ｄｘ￣ｄ＾邋＋邋ＤｙＷ￣ｖ￣ｄ＾＂邋（°＜＾＜＋００＾＞°）！逦（２．１．１）逡逑Ｃ（ｘ，ｙ，０）邋＝邋０，逦｛ｘ．ｙ）邋＾邋（０，０），逦（２．１．２）逡逑／＋00邋，？＋00逡逑／邋ｎＣ邋ｃＬｒｄ＂邋＝邋ｍ，逦（２．１．３）逡逑－00邋Ｊ邋—ｏｏ逡逑ｌｉｍ邋Ｃ（ｘ：ｙ．ｔ）邋＝邋０，邋（ｔ邋＞邋０），逦（２．１．４）逡逑ｘ—＞ｚｂｏｏ逡逑ｌｉｍ邋Ｃ（ｘ，邋ｙ，邋ｔ）邋＝邋０，邋（ｔ邋＞邋０）．逦（２．１．５）逡逑
【学位授予单位】：山东师范大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2019
【分类号】：O241.82;X523

【参考文献】