复波数域弥散曲线的求解方法研究
发布时间：2019-10-09 01:50
【摘要】：研究了复波数域弥散方程的求解问题,根据相关文献提出了三种求解复波数域弥散曲线的方法,即一种改进的牛顿迭代法——抛物牛顿迭代法、求解方程组的二分法、模值收敛判别法。应用上述三种算法可以求出大部分弥散方程的数值结果。文中引用了参考文献中关于复波数域弥散曲线的算例,应用这三种方法分别对算例中的弥散方程进行求解并绘制相应复波数域弥散曲线。结果表明,这三种方法均可较好地对算例中的弥散方程在复数域中进行求解。通过与参考文献中的算例进行对比,进一步分析了这几种方法的特点和使用范围,介绍了如何应用这几种方法对复波数域弥散方程进行求解。
【图文】：
第3期李念，等：复波数域弥散曲线的求解方法研究3672.3模值收敛判别法对于任意的方程f=0，当它取到精确解时都有f=0，在这个解的邻域内所有点都有f>0。因此若能找到一个点，它的邻域范围的点对应模值都大于这个点对应的模值，且这个点的模值近似为零(即小于给定精度)，那么这个点就是模值收敛的点，可以近似认为它就是方程f=0的根。将这种方法应用于实际问题计算时，本文采用如下判别方法，如图1所示。图1模值收敛判别法判断收敛性示意图Fig.1Schematicfigureofthemodulus-convergence-basedmethod假设图1中的中心点为正在判断的点，根据步长选择临近的8个点，对应模值记为fi，其中i=1,2,…,8；对于这8个点再选择比较靠近中心点的8个点，对应模值记为mfi，判断是否满足fi>mfi，若满足则认为该点具有收敛性，近似认为这个点即为方程的解。将求根区间划分为多个网格，通过这种办法判断每个网格中的点是否收敛，最终确定方程的所有解。3数值算例3.1无限大压电板中的反平面剪切波由文献[1]得到这种情况下的量纲归一化弥散方程为[]122212222tan(π/2)()()tanh(π/2)ZZZkZΩΩ=(5)式中：Ω和Z分别表示量纲归一化的频率和波数；2k为耦合系数，文中取k=0.48计算，且参考文献中对于该式给出了复波数域的弥散曲线，如图2所示。应用本文介绍的三种方法对式(5)进行求解，将得到的弥散曲线与参考文献比较。首先将方程写成f(Ω,Z)=0的形式，三种方法具体应用如下。图2文献[1]中的弥散曲线Fig.2ThedispersioncurvefromRef.[1]3.1.1抛物牛顿迭代法求解应用该算法进行计算时首先给定Ω的值，来求解对应的Z值。将f对Z求导并代入公式(1)进行迭代计算即可求出对应的Z值。具体迭代
为mfi，判断是否满足fi>mfi，若满足则认为该点具有收敛性，近似认为这个点即为方程的解。将求根区间划分为多个网格，通过这种办法判断每个网格中的点是否收敛，最终确定方程的所有解。3数值算例3.1无限大压电板中的反平面剪切波由文献[1]得到这种情况下的量纲归一化弥散方程为[]122212222tan(π/2)()()tanh(π/2)ZZZkZΩΩ=(5)式中：Ω和Z分别表示量纲归一化的频率和波数；2k为耦合系数，文中取k=0.48计算，且参考文献中对于该式给出了复波数域的弥散曲线，如图2所示。应用本文介绍的三种方法对式(5)进行求解，将得到的弥散曲线与参考文献比较。首先将方程写成f(Ω,Z)=0的形式，三种方法具体应用如下。图2文献[1]中的弥散曲线Fig.2ThedispersioncurvefromRef.[1]3.1.1抛物牛顿迭代法求解应用该算法进行计算时首先给定Ω的值，来求解对应的Z值。将f对Z求导并代入公式(1)进行迭代计算即可求出对应的Z值。具体迭代过程与牛顿迭代法类似，只是迭代公式不同。增加Ω的步长进行计算即可得到需求的弥散曲线，如图3所示。由该方法绘制的弥散曲线与参考文献原图趋势相同，可以由这种算法计算形式简单的复数域超越方程。图3抛物牛顿迭代法求解文献[1]弥散方程的结果Fig.3ThedispersioncurveofequationinRef.[1]calculatedbyparabolicnewtoniterativemethod抛物牛顿迭代法在应用过程中涉及到的求导问题可以用Matlab软件解得，但当方程形式复杂，如涉及到复数域导数或者复杂行列式的情况时，即使应用软件求导也十分困难，这种方法将不再适用。另外对于初值的选取也有一定的要求，需要进行尝试。这种方法的优点是程序花费时间短，，对精确度有所保证。3.1.2解方程组的二分法求?
【作者单位】： 南京航空航天大学航空宇航学院/机械结构力学及控制国家重点实验室;
【基金】：国家自然科学基金(11502108;11232007) 江苏省杰出青年基金(SBK2014010134) 教育部新世纪优秀人才支持计划(NCET-12-0625) 中央高校基本科研业务费——南京航空航天大学杰出人才培育基金(NE2013101)
【分类号】：O347.41
本文编号：2546540
【图文】：
第3期李念，等：复波数域弥散曲线的求解方法研究3672.3模值收敛判别法对于任意的方程f=0，当它取到精确解时都有f=0，在这个解的邻域内所有点都有f>0。因此若能找到一个点，它的邻域范围的点对应模值都大于这个点对应的模值，且这个点的模值近似为零(即小于给定精度)，那么这个点就是模值收敛的点，可以近似认为它就是方程f=0的根。将这种方法应用于实际问题计算时，本文采用如下判别方法，如图1所示。图1模值收敛判别法判断收敛性示意图Fig.1Schematicfigureofthemodulus-convergence-basedmethod假设图1中的中心点为正在判断的点，根据步长选择临近的8个点，对应模值记为fi，其中i=1,2,…,8；对于这8个点再选择比较靠近中心点的8个点，对应模值记为mfi，判断是否满足fi>mfi，若满足则认为该点具有收敛性，近似认为这个点即为方程的解。将求根区间划分为多个网格，通过这种办法判断每个网格中的点是否收敛，最终确定方程的所有解。3数值算例3.1无限大压电板中的反平面剪切波由文献[1]得到这种情况下的量纲归一化弥散方程为[]122212222tan(π/2)()()tanh(π/2)ZZZkZΩΩ=(5)式中：Ω和Z分别表示量纲归一化的频率和波数；2k为耦合系数，文中取k=0.48计算，且参考文献中对于该式给出了复波数域的弥散曲线，如图2所示。应用本文介绍的三种方法对式(5)进行求解，将得到的弥散曲线与参考文献比较。首先将方程写成f(Ω,Z)=0的形式，三种方法具体应用如下。图2文献[1]中的弥散曲线Fig.2ThedispersioncurvefromRef.[1]3.1.1抛物牛顿迭代法求解应用该算法进行计算时首先给定Ω的值，来求解对应的Z值。将f对Z求导并代入公式(1)进行迭代计算即可求出对应的Z值。具体迭代
为mfi，判断是否满足fi>mfi，若满足则认为该点具有收敛性，近似认为这个点即为方程的解。将求根区间划分为多个网格，通过这种办法判断每个网格中的点是否收敛，最终确定方程的所有解。3数值算例3.1无限大压电板中的反平面剪切波由文献[1]得到这种情况下的量纲归一化弥散方程为[]122212222tan(π/2)()()tanh(π/2)ZZZkZΩΩ=(5)式中：Ω和Z分别表示量纲归一化的频率和波数；2k为耦合系数，文中取k=0.48计算，且参考文献中对于该式给出了复波数域的弥散曲线，如图2所示。应用本文介绍的三种方法对式(5)进行求解，将得到的弥散曲线与参考文献比较。首先将方程写成f(Ω,Z)=0的形式，三种方法具体应用如下。图2文献[1]中的弥散曲线Fig.2ThedispersioncurvefromRef.[1]3.1.1抛物牛顿迭代法求解应用该算法进行计算时首先给定Ω的值，来求解对应的Z值。将f对Z求导并代入公式(1)进行迭代计算即可求出对应的Z值。具体迭代过程与牛顿迭代法类似，只是迭代公式不同。增加Ω的步长进行计算即可得到需求的弥散曲线，如图3所示。由该方法绘制的弥散曲线与参考文献原图趋势相同，可以由这种算法计算形式简单的复数域超越方程。图3抛物牛顿迭代法求解文献[1]弥散方程的结果Fig.3ThedispersioncurveofequationinRef.[1]calculatedbyparabolicnewtoniterativemethod抛物牛顿迭代法在应用过程中涉及到的求导问题可以用Matlab软件解得，但当方程形式复杂，如涉及到复数域导数或者复杂行列式的情况时，即使应用软件求导也十分困难，这种方法将不再适用。另外对于初值的选取也有一定的要求，需要进行尝试。这种方法的优点是程序花费时间短，，对精确度有所保证。3.1.2解方程组的二分法求?
【作者单位】： 南京航空航天大学航空宇航学院/机械结构力学及控制国家重点实验室;
【基金】：国家自然科学基金(11502108;11232007) 江苏省杰出青年基金(SBK2014010134) 教育部新世纪优秀人才支持计划(NCET-12-0625) 中央高校基本科研业务费——南京航空航天大学杰出人才培育基金(NE2013101)
【分类号】：O347.41
本文编号：2546540
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