Navier-Stokes方程与Darcy流耦合模型的mortar元算法

发布时间：2020-06-21 03:23

【摘要】：本文研究的是不可压缩流体和多孔介质流耦合问题的mortar元算法.此类模型有多种应用:可用来分析干旱地区洪水的影响,描述血液在动脉血管中的流动规律,模拟河流、湖泊中污染物透过河床进入地下水的过程.该耦合问题由不同的偏微分方程构成,Navier-Stokes方程用来描述不可压缩流体的运动规律,而多孔介质流满足Darcy法则.交界面条件为:质量守恒定律、力的平衡性条件和Beavers-Joseph-Saffman法则.工作主要有以下三部分:第一、讨论非线性、稳态模型-Navier-Stokes方程与Darcy流耦合问题的mortar元算法.给出模型的数学表达式,建立了两种等价的弱形式,区别在于是否含有交界面上的一致项.在假设流体的粘性系数和右端项满足一定关系的条件下,借助于Galerkin方法和Brouwer不动点定理,我们对流速低的耦合问题证明了弱形式解的存在唯一性.采用三角形网格对区域进行剖分,在多孔介质区域使用最低阶Raviart-Thomas元,在自由流体区域采用Taylor-Hood元.选择Navier-Stokes区域在交界面上的部分作为mortar,并且按照mortar元方法,构建了离散流速解空间,给出了耦合问题的离散格式.我们分析了弱解和数值解间的误差,其关于流体区域的剖分尺寸是二阶收敛的,而关于多孔介质区域的剖分尺寸是线性收敛的.为了求解由耦合问题所导致的非线性代数系统,我们建立了一种迭代格式,并通过理论推导证明了迭代序列收敛到数值解.在数值计算中,取多孔介质区域剖分尺寸等于流体区域剖分尺寸的平方.对于一组构造出的真解,数值结果验证了理论分析.第二、研究线性、非稳态模型-Stokes方程与Darcy流耦合问题的mortar元算法.在此模型中,Stokes方程中含有流速关于时间变量的偏导数项,所有交界面条件要求在任意时刻成立.我们证明了变分问题解的存在唯一性.在离散时,采用Bernardi-Raugel元来求解Stokes方程,在多孔介质区域仍然使用最低阶Raviart-Thomas元,采用向后Euler方法来得到全离散格式.不同于大多数在时间层上加权平均的结果,我们在每个时间步上给出了误差估计的清晰表达式,其显示误差关于多孔介质的剖分尺寸是一阶收敛的,关于流体区域的剖分尺寸是线性收敛的,关于时间区间的剖分尺寸也是一阶收敛的.在数值验证的部分,取两个子区域的剖分尺寸相等且等于时间区间的剖分尺寸.为了看到mortar方法逼近解的情况,我们给出真解和数值解的图像.通过所给出的图像和表格,可以发现数值结果与理论分析一致.第三、分析非线性、非稳态模型-Navier-Stokes方程与Darcy流耦合问题的mor-tar元算法.在此问题中,Navier-Stokes方程和Darcy方程均带有流速关于时间的偏导数项.由于大部分问题、困难在前两部分工作中解决,所以这部分工作相对简略.利用Galerkin方法和非线性常微分方程组解的存在唯一性理论,证明了变分问题的正则性.选择与第二部分工作中相同的有限元离散,依然采用向后Euler方法来得到全离散格式.通过严格的理论分析,证明了弱解和数值解间的误差估计.证明的过程需要借助于算子,而该算子是由第一部分工作中稳态、非线性耦合问题的数值解所诱导的.以上三部分工作验证了使用mortar元方法结合不同的有限元来求解非线性、非稳态耦合问题是有效的.mortar元方法允许交界面上不匹配的网格,从而在子区域内可以按照特定的要求灵活地选择合适的有限元.所建立的mortar元格式既继承了不同有限元独立求解各自问题(Navier-Stokes、Darcy)的算法优势,又对交界面上的流量连续性有一个弱(积分意义)的表达.所得到的数值解在各自区域满足局部流量连续性,这一性质可避免人工质量项,从而在求解带传质方程的耦合问题的过程中具有优势.
【学位授予单位】：湘潭大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O35
【图文】：

示意图,血管,示意图,血液

图１：多孔介质示意图逡逑这种耦合系统可用来描述血液在动脉血管屮的流动规律，一方面血液在压力作用下逡逑沿着血管流动，另？方面血液又透过血管壁与组织、器官进行物质传输．图２为血管逡逑示意图，图片源自Ｎ站视觉中国．逡逑？’Wｉ逡逑图２：血管示意图逡逑１逡逑

湖泊,河流

逑另一个更直观的过程：表层水与地下水间的相互渗透．这里的表层水通常是指河流、逡逑湖泊中的水，而由岩石、泥沙所构成的河床、湖底即为多孔介质．图３为河流、湖泊，逡逑图片源自网站－视觉中国．逡逑逦逦■邋．Ｍ．．ＩＩＭＩ邋■逡逑图３：河流与湖泊逡逑如今，全世界面临着一个严重的环境问题：地下水污染．造成污染的原因通常是工逡逑厂、企业非法向河流、湖泊中排放未经处理的废水（污染源），之后河流、湖泊中的逡逑污染物通过河床进入地下水．如果将盐也视为一种污染物，那么海水入侵也属于此逡逑类过程，中国的许多沿海城市正在遭遇这个问题．在上述过程中均存在物质的扩散、逡逑传播和交换．我们的工作是数值模拟此类过程，为其它学科提供理论保障和数据支逡逑撑．耦合模型通常由不同的偏微分方程构成，Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程用来描述不可压缩逡逑流体的运动规律，而多孔介质流满足Ｄａｒｃｙ法则．逡逑Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程的命名来自法国科学家Ｃ．邋Ｎａｖｉｅｒ和英国物理学家Ｇ．邋Ｓｔｏｋｅｓ

【参考文献】