弹性波三维散射快速多极子间接边界元法求解

发布时间：2020-10-19 19:53

　　 边界元方法对于无限域中弹性波散射求解具有独特优势,但求解矩阵的非对称稠密特征极大限制了该方法在大规模实际工程中的应用。为此,基于单层位势理论,结合快速多极子展开技术,通过对球面压缩波和剪切波势函数的泰勒级数展开,建立一种新的快速多极间接边界元方法,以实现大规模弹性波三维散射的精确高效模拟。算例分析表明所提方法能够大幅度降低计算时间和存储量,可在目前普通计算机上快速实现上百万自由度弹性波三维散射问题的快速精确求解。最后以全空间椭球形孔洞群对平面P波、SV波的散射为例,揭示了三维孔洞群周围稳态位移场和应力场的若干分布规律。该文方法对低无量纲频率(ka5.0)的大规模多体散射问题尤为适合。
【部分图文】：

??给出了总场位移和应力的计算公式。2)通过典型算例验证了方法的计算精度和求解效率。基于FMM-IBEM，以全空间椭球形孔洞群对弹性波的散射为例，揭示了孔洞群周围位移场和应力场的若干分布规律。最后，以上百万自由度的大规模随机孔洞群对弹性波散射为例，进一步验证了FMM-IBEM对求解大规模散射问题的简便高效。本文方法为实际当中大规模弹性波散射问题的精细分析提供了一种新的途径。1传统间接边界元法(IBEM)下面以全空间中三维孔洞对弹性波的散射为例，阐述传统间接边界元法的基本原理及实现步骤。计算模型如图1所示。其中常规IBEM基于单层位势理论，通过在边界面上直接施加虚拟均布荷载，以构造散射波常整体求解思路简便直观，可看作是对惠更斯原理的数值实现[27]。散射波单元虚拟荷载分量等效圆盘单元3D孔洞散射面SReAAPyPzPx图1三维孔洞对弹性波的散射间接边界元法计算模型Fig.1Calculationmodelofelasticwavescatteringbya3DcavitybyIBEM考虑平面波(P波或SV波)入射，首先将总波场分解为自由场和散射常对于该三维问题，需在孔洞表面施加三个正交方向的虚拟荷载以构造散射波常边界元实施中，需首先将孔洞表面离散为三角形或四边形单元，为便于处理本单元格林函数，采用斜面圆盘均布荷载近似覆盖在离散单元上。进而根据孔洞表面零应力边界条件建立方程，求解得到虚拟荷载密度。散射波场由各个单元上的虚拟荷载的综合作用而得，最后将散射场和自由场叠加即得到总波常需指出的是，由于虚拟荷载直接施加在边界面上，本方法对边界形状具有更好的适应性。在不受体力作用情况下，各向同性弹性固体介质的稳态运动方程为：22(λ+μ)u+μu=ωu(1)式中：λ和μ为介质的拉梅常数；为矢量微

BEMandthatofanalyticalsolution分别利用快速多极子间接边界元法和球波函数展开法[31]计算全空间圆球形孔洞散射。图5分别给出了全空间P波、SV波水平入射下圆球形孔洞y=0(θ=0~2π)截面位移幅值结果对比情况。取ka=1.0，a为圆球半径，泊松比ν=1/3，单元离散数均取N=800，DOFs=2400，收敛残差3ε10=。容易看出，本文所发展弹性波三维散射快速多极子间接边界元法同精确解析解方法所得结果吻合良好。同解析解相比，本文方法可处理任意形状散射体。向应力幅值环|/|rrθθσσka=4.0ν=1/3z=0.0图6不同展开阶数环向应力及解析解结果对比Fig.6Comparisonbetweenhoopstresscalculatedbydifferent-orderedTaylor-seriesexpansionandthatofanalyticalsolution由于波的散射引起的动应力集中具有广泛的应用价值。图6给出了不同展开阶数求解环向应力的结果并与精确解对比分析[32](环向应力解答见附录B)。取ka=4.0，a为圆球半径，泊松比ν=1/3，单元离散数均取N=4600，DOFs=13800，y=0，收敛残差3ε10=。由图6，随着展开阶数的增加其吻合程度越好，但是其计算效率会有所下降(见通过M2L计算l层结点局部展开系数建立边界元模型边界单元离散并生成八叉树结构多极展开通过M2M计算各层结点多极展开系数采用常规IBEM计算近场源点贡献通过M2L和L2L计算l+1层结点局部展开系数局部展开GMRES迭代求解迭代收敛输出结果结束是M2M否M2LM2LL2LIBEM

也相差不大。注意，在本文中总计算时间包含多极展开系数、传递系数、局部展开系数以及近场常规计算、迭代求解的所有计算时间之和，其中多极展开系数、传递系数、局部展开系数计算时间约占总时间的80%~95%，其具体比重需根据计算频率、树结构划分程度、边界面离散单元数目以及边界面离散均匀性等综合确定。值得指出的是，上述计算结果以及CPU计算时间统计，均是在16G内存、64位Win7操作系统的个人电脑上(Intel(E3)3.2GHzCPU)，使用MatlabR2012a进行编程运算得到。若采用Fortran编译器，计算时间还将大幅度减少。图7FMM-IBEM与常规IBEM计算时间比较Fig.7ComparisonbetweencalculationtimeofFMM-IBEMandthatofIBEM
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本文编号：2847651