广义傅里叶级数法和柔性约束压杆临界点的稳定性

发布时间：2020-10-21 08:01

　　 具有柔性约束的杆结构在工程中应用广泛,但这类结构在受压状态下容易发生失稳,充分了解这类杆件临界点的稳定性及后屈曲特性,既可以提高材料的利用率,又能减少由失稳引起的事故。目前,尽管在压杆的屈曲和后屈曲问题研究方面已有大量成果,但大部分的研究都是针对于刚性约束压杆来进行的,因此,对柔性约束压杆后屈曲问题的仍需进一步探讨。本文以Koiter稳定性理论为研究基础,分别分析了左端固定、右端由弹簧约束滑动铰支座的压杆,左固定、右端由弹簧约束竖向位移的压杆,左端固定、右端由扭转弹簧约束的压杆,以及左端简支、右端由扭转弹簧约束的压杆,它们在欧拉临界载荷作用下的稳定性,并分析了其初始后屈曲平衡路径的分叉行为。将系统的势能表示成转角的泛函,通过势能的增量求出二阶变分和高阶变分表达式。对于含有拉伸弹簧的压杆,将扰动量展开成普通傅里叶级数形式,对于含有扭转弹簧的压杆,为了方便后续分析,利用Sturm-Liouville理论将其扰动量展开成广义傅里叶形式,得到势能二阶变分的二次型,并将二次型的顺序主子式化成初等表达式,再进一步由所有顺序主子式的符号判断二阶变分的半正定性,给出了系统势能二阶变分半正定的证明。由二阶变分半正定可得到欧拉临界载荷,并求出压杆的失稳模态。根据势能四阶变分和六阶变分的正负,可以判断临界点的稳定性。再由Koiter初始后屈曲理论分析后屈曲平衡路径的特点。结果表明,具有拉伸弹簧约束的压杆,临界状态的稳定性与弹簧的相对刚度有关,其势能可能取极小也可能不取极小,所以临界状态既可能是稳定的,也可能是不稳定的。相应的后屈曲平衡路径分别为正分叉和倒分叉形式。正分叉为稳定的平衡路径;倒分叉为不稳定的平衡路径。并给出了稳定与不稳定的后屈曲对应的弹性约束相对刚度的范围。其中一端固定、另一端由弹簧支承滑动铰支座的压杆具有一个不稳定的二重分叉点。具有扭转弹簧约束的压杆,其临界状态是大范围稳定的,初始后屈曲也是大范围稳定的,平衡路径均为正分叉形式。本文的主要创新点有:应用了广义傅里叶级数分析柔性约束压杆的稳定性;提供了无穷阶矩阵进行正定性判别的方法;提出了柔性约束压杆可能具有不稳定的临界点。
【学位单位】：北京交通大学
【学位级别】：硕士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O316
【部分图文】：

从杆的均匀压缩变形转变为弯曲变形，其所涉及到的分叉行为就是一次分叉，而??非线性问题的分叉现象往往更加复杂多样，不仅有单次分叉，还有多次分叉，如??图１．?２中（ａ）、（ｂ）所示。??ｉ．Ｔ?ｉｘ??次分叉解枝＼?＾??广??ｆ?／?次分叉解枝??（ａ）单次分－叉?（ｂ）多次分叉??图１．２平衡曲线上的单次分叉与多次分叉Ｗ??Ｆｉｇ．?１．２?Ｓｉｎｇｌｅ?ａｎｄ?ｍｕｌｔｉｐｌｅ?ｂｒａｎｃｈｉｎｇ?ｏｎ?ｔｈｅ?ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ?ｃｕｒｖｅ［５］??分叉点是系统平衡路径上的关键点，通常它可以反映系统平衡的稳定性的变??化。但要具体分析这种变化，就必须进一步讨论系统在分叉后的非线性行为，也??就是后屈曲的特性，这就需要我们根据高阶导算子的性质来对不同情况下的分叉??行为进行分析。??１．２．３?Ｋｏｉｔｅｒ稳定性理论??Ｋｏｉｔｅｒ将分支点附近足够小的邻域作为研宄对象，根据能量原理和稳定性能量??３??

?（１－４０）??Ｌ?」４Ｃ?Ｇ?Ｌ?」??根据＜的正定性，可以对初始后屈曲的路径进行分析，并判断其稳定性。设??载荷因子为Ａ，位移为ａ，则图１．３（ａ）表不為＞０时的平衡路径，１．３（ｂ）、（ｃ）分别给??出了為＝０时，＜０和４）?＞?〇的平衡路径，１．３（ｄ）表不為＝＝?０？為＞０时的平衡路??径。图中实线代表稳定的平衡状态，虚线代表不稳定的平衡状态，而点划线表示??的是稳定与不稳定的分界。??／＞?？??／?乂??／?；??／／?＾?，Ｗ、??／／?／?ｉ?＼?＼??／?／?＼?＼??，??一?ａ?????ａ??Ａｙ?＞?０?Ａ３?＝０，Ａ４?＜?０??（ａ）?（ｂ）??／?乂??Ｌｃｒ?ｚ？义。??／?／????—ａ???—ａ??Ａｙ?＝?０，Ａ４?＞?０?Ａ｝?＝?Ａ４?＝?０＾?＞?０??（ｃ）?（ｄ）??图１．３初始后屈曲平衡路径及其稳定性ｆ４９］??Ｆｉｇ．?１．３?Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ?ｏｆ?ｔｈｅ?ｉｎｉｔｉａｌ?ｐｏｓｔ－ｂｕｃｋｌｉｎｇ?ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ?ｐａｔｈ［４９］?

?文选取了？７?＝?０，Ｏ．ｌｒ２，〇．５？ｒ２，；ｒ２，５？ｒ２，?１０？ｒ２和／／－＞〇〇七种模态的情况绘出其??模态曲线，取挠度的最大值为１，绘得模态曲线如图２．４中（ａ）所示，为了更清晰地??进行对比，截取了图（ａ）中曲线较密集的部分进行适当放大，细节图如（ｂ）所示，图??中标注的数字为柔性约束相对刚度７／的取值。??謂：關??°．２?７?－?／?／?—???＇?１?１??０．８????Ｌ＿＿Ｉ???０．０?０．２?０．４?０．６?０．８?１．０?０．９?１．０??ＪＣ?ＪＣ??（ａ）?（ｂ）??图２．４不同相对刚度柔性约束下的模态曲线??Ｆｉｇ．２．４?Ｍｏｄａｌ?ｃｕｒｖｅｓ?ｗｉｔｈ?ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ?ｒｅｌａｔｉｖｅ?ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ??２．２左端简支、右端由扭转弹簧约束的压杆??图２．５为左端简支、右端由扭转弹簧约束并在平面内可自由移动的压杆，其势??能表达式为??＿＝］■：＞’〔尝）出－〇＿ｃｏｓ＿＋ｆ?ＨＪ２?（２．４７）??式中，６表示杆变形前长度，ｓ表示杆的轴线的弧长坐标０表示杆弯??曲时的转角，＃表示轴向压力，表示抗弯刚度，ｋ表示弹簧常数。??＾／／／／／／／／）／／／．?ｈ?Ｋ??ｒ?ｉ??图２．５左端简支、右端由扭转弹簧约束的压杆??Ｆｉｇ．２．５?Ａ?ｓｌｅｎｄｅｒ?ｃｏｌｕｍｎ?ｗｉｔｈ?ｏｎｅ?ｅｎｄ?ｐｉｎｎｅｄ?ａｎｄ?ｔｈｅ?ｏｔｈｅｒ?ｅｎｄ?ｃｏｎｓｔｒａ
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本文编号：2849863