基于灰色神经网络与马尔科夫链的城市需水量组合预测

发布时间：2016-09-16 18:31

  本文关键词：基于灰色神经网络与马尔科夫链的城市需水量组合预测，，由笔耕文化传播整理发布。

第 39 卷 第 7 期 2011 年 7 月

西北农林科技大学学报( 自然科学版)

Jo ur nal of N o rthwest A & F U niver sity( N at. Sci. Ed. )

Vo l. 39 N o. 7

Jul. 2011

基于灰色神经网络与马尔科夫链

的 城市需水量组合预测*

[ 摘 要] 目的 针对城市需水量预测系统具有非线性和随机波动性的特点, 建立基于马尔科夫链修正的组 合灰色神经网络预测模型, 以提高模型的预测精度。 方法 比较分析灰色 GM ( 1, 1) 模型、BP 神经网络模型以及二 者线性组合的灰色神经网络预测模型的预测效果, 建立基于马尔科夫链修正的组合灰色神经网络预测模型, 并以榆 林市2000- 2009 年的用水量实际数据为研究对象, 通过实例比较分析模型的检验预测精度。 结果 经马尔科夫链 修正处理后, 建立的基于马尔科夫链修正的灰色神经网络组合模型的预测精度更高, 预测误差的绝对值均小于 4% , 且均方差 为 1. 00, 小于组合灰色神经网络模型与 GM ( 1, 1) 模型、BP 神经网络模型预测误差值的均方差。 结论 基于马尔科夫链修正的组合灰色神经网络需水量预测模型, 对城市需水量的预测优于灰色神经网络及各单项预测模 型, 不仅预测精度高, 而且能同时反映出数据序列发展变化的总体趋势和系统各状态之间的内在规律, 适合描述随机 波动性较大的预测问题。

景亚平a , 张 鑫a , 罗 艳b

( 西北农林科技大学 a 水利与建筑工程学院, b 经济管理学院, 陕西杨凌 712100)

[ 关键词] 需水量; 灰色神经网络; 马尔科夫链; 组合预测模型 [ 中图分类号] T U 991. 31

[ 文献标识码] A

[ 文章编号] 1671 9387( 2011) 07 0229 06

Forecasting of urban water demand based on combining Grey

and BP neural network with Markov chain model

JING Ya pinga , ZH ANG Xina , LU O Yanb

( a Colleg e of Water R esour ces and A rch itectural Eng ine ering , b Colleg e of Ec onomy and M anag

ement, N orthw est A & F Univ er sity , Yang ling , S haanx i 712100, China)

Abstract: Objective Because w ater demand forecast m odel is nonlinear and sto chastic, a combination

model based on Grey and BP neur al netw o rk model corrected by M arkov chain is established to im prov e ac cur acy. Metho d On the analysis of Grey GM ( 1, 1) mo del, BP neural netw o rk and the linear combination

of these tw o m ethods, a prediction model based on Gr ey neural netw ork and Markov chain mo del is set up. The w ater co nsum ption of Yulin fr om 2000 to 2009 is used to verify this m odel and check its precision thro ug h so me analysis. Result T he result show s that Grey neural netw o rk model after M ar ko v chain has hig her precision, the absolute fo rcasting error s are all less than 4%, and its m ean square erro rs o f predicting er ror value is 1. 00, less than the mean square errors of predicting error value of Gr ey GM ( 1, 1) , BP neural netw ork and com bination o f Grey GM and BP neural netw o rk. Conclusion The Grey neural netw o rk and Markov chain mo del is better than Grey GM and BP neural netw ork model and other 2 single models, w hich

no t only gives hig her predictio n but also sho w s the data sequence trend and the internal law betw een sys tem states. This mo del suits for v olatile random questions.

* [ 收稿日期] 2010 11 29

[ 基金项目] 国家高技术研究发展计划( 863 计划) 项目( 14110209) ; 国家重大科技支撑计划项目( 2006BAD11B05 ) ; 西北农林科技

大学博士科研启动基金项目( 01140504) ; 西北农林科技大学科研专项( 08080230)

[ 作者简介] 景亚平( 1984- ) , 男, 甘肃平凉人, 在读硕士, 主要从事水文水资源研究。E mail: yzytm121@ 163. com [ 通信作者] 张 鑫( 1968- ) , 男, 河南淅川人, 副教授, 博士, 主要从事水文水资源研究。

Key words: w ater dem and; Gr ey neural netw ork; Markov chain; com bination for ecasting mo del

城市需水量预测是区域水资源规划及优化配置

的基础内容之一。目前常用的预测方法可分为时间 序列预测方法和解释性预测方法等[ 1] , 其中时间序 列预测方法包括时间序列分析法、灰色模型预测法 等; 解释性预测方法有回归模型预测法、人工神经网 络法等[ 2] 。城市需水量变化是一个由多种影响因素 构成的复杂整体, 单一的预测方法仅能描述其局部 的变化规律, 因而预测精度不高。因此, 改进单一模 型预测方法或建立组合预测模型便成了提高预测精 度的重要手段[ 3] 。蒋绍阶等[ 2] 利用灰色模型和改进 BP 神经网络, 建立了预测城市需水量的最优权组合 模型;

章柏红等[ 4]

介绍了灰色 马尔科夫链预测建模

方法及其应用; 朱新国等[ 5] 将 BP 神经网络与马尔 科夫链相结合的预测模型应用于需水量预测等。上 述探索及模型应用均取得了较好的预测效果, 但预 测精度尚有待提高。本研究通过组合灰色 GM ( 1, 1) 与 BP 神经网络预测模型得出城市需水量 预测初值, 并结合马尔科夫链对随机波动性较大问 题的处理优势[ 6] , 对组合预测模型进行修正, 建立基 于马尔科夫链修正的组合灰色神经网络预测模型, 以期为进一步提高城市需水量的预测精度提供 支持。

式中: a 为系统发展系数; b 为内生控制变

量。 将( 1) 式离散化后得矩阵形式:

Y= XB。

( 2)

式中: Y 为序列变量矩阵; X 为一阶累加函数矩阵; B 为估计量矩阵。

对方程( 2) 按最小二乘法, 得:

B= ( XT X ) - 1 ( XT Y) = 。

b

其中:

1

( 1) ( 1) - 2 [ x ( 1) + x ( 2) ]

X=

1

- 2 [ x ( 2) + x ( 3) ]

( 1) ( 1)

;

1 [ x ( 1) ( n- 1) + x ( 1) ( n) ] -

2

x ( 0)

x ( 0)。

(0)

x

则微分方程的解为: x^ ( 1) ( k+ 1) = ( x ( 0)b

a

)e- ak + b

。( 3)

a

1 模型介绍

1. 1 组合灰色神经网络

式中: k= 0, 1, 2, 3, 。

x ( 0) 的模拟值为:

1. 1. 1 灰色 GM ( 1, 1) 预测模型 灰色系统( Grey

x^ ( 0) ( k+ 1) = ^x ( 1) ( k+ 1) - ^x ( 1) ( k) 。 ( 4) 1. 1. 2 BP 神经网络预测模型 神经网络是由大量

system ) 理论是我国学者邓聚龙教授于 1982 年首先 提出来的[ 7] 。该理论是以灰色生成函数概念为基 础, 以微分拟合为核心的建模方法。灰色系统理论 所需样本量少、模型简单, 因此, 其在各个领域中都 得到了广泛应用。城市用水量既有已知信息, 也有 未知或不确定信息, 是一个灰色系统[ 8] 。因而根据 城市用水量的时间序列特性, 建立灰色模型用于城 市需水量的预测是可行的。

简单的神经元相互连接构成的复杂网络系统, 其对

[ 10] 。 非线性系统具有很强的模拟能力

BP 神经网络即误差反向传播网络是目前应用 最为广泛的网络算法, 其学习过程由信息的正向传 递与误差的反向传播 2 个过程组成, 3 层( 输入层、 隐含层、输出层) 的前向 BP 神经网络可以任意精度 逼近任意非线性函数[ 11] , 且运用神经网络只需建立 输入和输出之间的网络关系就可对目标值进行模拟 预测, 所以用 BP 神经网络对城市需水量进行预测 是十分有效的。本研究采用 3 层网络模式对城市需 水量进行模拟预测, 其网络拓扑结构如图 1 所示。

1. 1. 3 组合灰色神经网络预测模型 组合预测模 型[ 12 13] 就是综合利用各单项预测模型的预测结果, 用适当的组合权系数对其进行加权平均得到的预测 模型。合理确定组合权系数是组合预测模型最关键 的环节。目前, 国内外学者主要以绝对误差或相对

城市需水量预测中常用的灰色 GM ( 1, 1) 模

型, 其建模过程[ 9] 大致如下:

设已有的用水量序列数据为:

x ( 0) = { x ( 0) ( 1) , x ( 0) ( 2) , , x ( 0) ( n) } 。 经一阶累加, 生成模块 x ( 1) : x ( 1) = { x ( 1) ( 1) , x ( 1) ( 2) , , x ( 1) ( n) } 。 由一阶灰色模型 x ( 1) 构成的微分方程为:

ax ( 1) = b。

( 1)

误差作为导出组合权系数的优化准则[ 14] 。

图 1 3 层 BP 神经网络的结构

Fig. 1 T hr ee layer s BP neural netw or k st ructur e

用马尔科夫链修正灰色神经网络, 形成基于马尔科 夫链修正的组合灰色神经网络预测模型, 不仅能揭 示数据序列的发展变化总趋势, 又能得到预测区间 的状态变化规律, 提高模型的预测精度[ 16] 。

本研究以绝对误差和最小为目标, 建立灰色 GM ( 1, 1) 与 BP 神经网络的线性组合预测模型, 即:

1. 2. 1 马尔科夫链预测模型 马尔科夫链是一种

特殊的随机过程[ 5] ( 马尔科夫过程) , 其可以根据系 统当前时刻的状态推求下一时刻的状态概率分布, 进而得到下一时刻的状态。其基本原理是: 按照某 个系统的发展, 时间可离散为 n= 0, 1, 2, 3, , 对每 个系统的状态可用随机变量表示, 并且对应一定的 概率, 称为状态概率。当马尔科夫过程由某一时刻 状态转移到另一时刻状态时, 在这个转移过程中存 在着概率的转移, 称为转移概率。

X = t=n 1l Gx^ G t + lBx^ B t 。 ( 5)

式中: X 为组合预测值, t 为预测时段数, x^ G t , x^ B t , lG , l B 分别表示灰色 GM ( 1, 1) 与 BP 神经网络预测 模型在第 t 个时段的预测值及其相应的组合权系 数。组合权系数 l G , l B 可参考下述经验公[ 9] 求 取: 式

马尔科夫链预测的理论基础是马尔科夫过程。

对其运动变化的分析, 主要是通过研究链内有限个 马尔科夫过程的状态及其相互关系, 进而预测链的 未来发展状况。马尔科夫链预测的结果为一取值范 围, 适合于对随机波动性较大的预测问题进行修正 描述。马尔科夫链预测模型可表示为:

= i kd i

n

1 , n 2, k= 1, 2, , n。 ( 6)

Pt+ 1 = P0 [ P( 1) ] t+ 1 。 ( 8) 式中: Pt+ 1 为 t+ 1 时刻的概率分布; P0 为初始时刻 的无条件概率分布; P( 1) 为一步转移概率矩阵, 其表 达式为:

k

i= 1d i

式中: lk 表示第k 种模型的组合权系数, 满足 i l i =

研究中取 n= 2, 用 lG , lB 表示 l 1 , l2 即得:

l B =

p 11 p 12

p 22 p 2m

p p p

。( 9)

1; d i 为第 i 种模型在预测时段内的残差平方和。本

d G , l G = d B 。

d B + d G

1. 2 基于马尔科夫链修正的组合灰色神经网络预 测模型

灰色预测的优势在于短期预测, 缺点在于其对 长期预测和波动较大数据序列的拟合较差。神经网 络模型具有局部逼近的特性和较强的非线性映射能 力, 能够很好地模拟具有较强非线性变化特点的城 市需水量预测问题[ 15] , 其缺点在于收敛速度慢、训 练时间长且易陷入局部极小问题。组合灰色神经网 络预测模型综合了灰色模型与神经网络在单变量预 测及非线性处理上的优势, 但由于对组合权系数的 确定目前还处于探索阶段, 简单的线性叠加并不能 完全消除单项模型预测中存在的问题。

马尔科夫链预测的对象是一个随机变化的动态 系统, 且能够缩小预测区间, 对长期预测和随机波动 较大数据序列的预测效果较好。但是采用马尔科夫 链预测时, 要求预测对象具有平移过程[ 4] 。因此, 采

d B + d G

( 7)

P( 1) = p 21

p 1m

式中: p ij ( 与初始时刻无关) 为一步转移概率, 表示

过程从 tn 时刻状态 ai 经过一步转移到 t n+ 1 时刻状 态 aj 的概率, p ij = P ( X n+ 1 = aj | X n = ai ) 。0 p ij

1, j =n 1 p ij = 1, ( i, j = 1, 2,

, m; n 为正整数) 。

1. 2. 2 马尔科夫链修正的组合灰色神经网络预测 模型 综上所述, 采用马尔科夫链修正灰色神经网 络, 形成基于马尔科夫链修正的组合灰色神经网络 预测模型, 其不但可以反映系统各状态之间的内在 规律性, 能较好地描述随机波动性较大的预测问题。 同时, 通过灰色神经网络对随时间变化的时序数据 进行拟合, 预测出数据发展变化的总趋势, 可以使马 氏预测的不足之处得以弥补。

根据灰色神经网络的预测结果, 选取适当的标 准( 这里采用预测结果相对误差的绝对值) 将预测数 据序列划分为若干个状态区间; 计算其一步转移频 数矩阵 , 求得一步转移概率矩阵; 确定预测年份的状

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第 39 卷

态向量, 代入式( 8) 即可求得基于马尔科夫链修正的 研究从 陕西省水资源公报 中选取榆林市 2000- 组合灰色神经网络模型的城市需水量预测值。

2 模型应用

2009 年的实际用水量资料, 作为需水量预测的基础 数据资料( 表 1) 进行分析与计算。

为了对上述方法及模型的实用性进行验证, 本

表 1

榆林市 2000- 2009 年实际用水量统计

T able 1 Statist ics o f actual wat er consumptio n in Y ulin fr om 2000- 2009

注: 表中数据摘自陕西省水利厅的 陕西省水资源公报 。

Note: From the W ater Resources Departm ent of Shaan xi Province: Water Res ou rces Bulletin of Sh aanxi Provin ce .

2. 1 组合灰色神经网络模型的应用 值见表 2。

2. 1. 1 BP 神经网络预测模型 取榆林市 2000- 2009 年的实际用水量数据, 利用 M atlab 软件编程, 将原始数据归一化处理, 并随机化初始权值, 取 =

灰色GM( 1, 1) 预测模型 同样使用M

2. 1. 2 atlab

软件编程对选用数据进行计算, 具体算法见文献

[ 18] 。求得模型的系统发展系数 a= - 0. 026 2, 内

0. 6。经多次训练比较, 得出误差最小的 3 层 BP 神 生控制变量 b= 5. 544 5。则式( 3) 变为:

经网络结构为 1- 10- 1, 即用前 1 年的用水量预测 x^ ( 1) ( k+ 1) = 217. 392 1e0. 026 2k - 211. 622 1( k=

第 2 年的需水量, 隐含层神经元个数为 10。在输入 0, 1, 2, 3, ) 。

层与输出层之间选用 tansig 传递函数建立网络, 引 还原后的预测模型为: ^x ( 0) ( k+ 1) = 5. 544 5e0. 026 2k ( k = 0, 1, 2, 3, ) 。 入动量项来修正网络连接的权值和阈值, 具体算法

见文献[ 17] 。设置训练精度为 0. 001, 训练最大步 通过 M atlab 软件求得最终预测值及误差值如

骤为 10 000 步进行训练仿真, 求得的预测值及误差 表 2 所示。

表 2 基于不同模型的榆林市 2000- 2009 年需水量预测值与实际值的比较

T able 2 Compar ison betw een statist ics o f act ual water consumptio n and fo recasting w ater co nsumpt ion

by different models in Y ulin fro m 2000- 2009

序号

年份 Year

实测值/ 亿 m3 M eas ured

value

S erial num ber

误差/ % Error

BP 神经网络 神经网络模型 BP 神经网络 神经网络模型

灰色 GM ( 1, 1) 灰色 GM ( 1, 1) BP n eural Comb ination BP n eural Comb ination Grey GM ( 1, 1) netw ork Grey GM ( 1, 1) Gray n eural netw ork Gray neural

n etw ork m odel n etw ork model

预测值/ 亿 m3 Predicted value

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

5. 77 5. 84 5. 98 6. 00 6. 02 6. 33 6. 76 6. 90 7. 09

5. 77 5. 77 5. 92 6. 08 6. 24 6. 41 6. 58 6. 75 6. 93 7. 12

5. 77 5. 84 5. 59 5. 98 6. 08 6. 30 7. 24 6. 90 6. 98 6. 98

5. 77 5. 79 5. 81 6. 05 6. 19 6. 37 6. 80 6. 80 6. 95 7. 07

10 2009 6. 90

均方差 M ean s quare deviation

- 1. 18 - 0. 93 1. 37 3. 71 1. 25 - 2. 67 - 2. 11 - 2. 20 3. 16 1. 26

0. 06 - 6. 51 - 0. 36 0. 94 - 0. 48 7. 04 - 0. 04 - 1. 62 1. 09 7. 13

- 0. 77 - 2. 76 0. 80 2. 80 0. 68 0. 52 - 1. 43 - 2. 01 2. 48 1. 04

模型的预测值及其误差值见表 2。 2. 1. 3 组合灰色神经网络预测模型 结合灰色

GM ( 1, 1) 模型与 BP 神经网络模型的预测值, 计算 2. 1. 4 模型精度检验 由表 2 可知, 采用灰色 GM

相应的残差平方和, 按式( 7) 求得组合权系数 lG =

( 1, 1) 、BP 神经网络和组合灰色神经网络模型的预

0. 67, lB = 0. 33。带入式( 5) 求得组合灰色神经网络 测结果与实测值的相对误差绝对值均小于 10% , 其

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