干净数值模拟在混沌动力系统中的应用

发布时间：2020-03-22 09:30

【摘要】：物理世界是复杂的,事物之间的关系往往是非线性的,如湍流、非线性振动和波浪等问题。混沌是非线性系统的典型行为,并且被认为是20世纪继相对论和量子力学之后第三次伟大的科学革命。所以混沌动力系统的研究在科学和工程中都有着重要的意义和价值。由于混沌动力系统通常不存在解析解,所以数值模拟是其重要的研究手段之一。众所周知,所有数值模拟都存在数值噪音,即截断误差和舍入误差。由于混沌动力系统对初始条件敏感,从而也对数值误差敏感,所以获得足够长时域内混沌动力系统可靠的数值解是一个具有挑战性的问题。本文采用廖世俊教授提出的“干净数值模拟”(Clean Numerical Simulation,简称CNS)策略对混沌动力系统进行高精度数值模拟,研究了数值噪音对混沌动力系统数值结果的影响,揭示了混沌三体系统微观不确定性和宏观随机性之间的联系,并且获得三体系统二千多个全新的周期解。本文研究的主要内容如下:首先,以Hénon-Heiles系统、三体系统以及由Rayleigh-Bénard对流导出的有限维动力系统为例,采用干净数值模拟得到这些混沌动力系统的收敛、可靠的数值结果,并且与基于双精度的传统数值方法所得到的数值结果进行对比研究。对于Hénon-Heiles系统和三体系统,在双精度计算环境下的传统数值方法不能够得到系统长时间可靠的轨道、傅里叶功率谱和自相关函数。对由Rayleigh-Bénard对流所导出的有限维耗散动力系统的数值研究表明数值噪音对混沌的耗散动力系统的非定常统计量有着较大的影响。其次,采用干净数值模拟研究了混沌三体系统微观不确定性的传播。考虑三体系统的初始位置存在微观的物理不确定性,通过10000个样本的干净数值模拟,发现该不确性会随着时间指数级增长到宏观尺度,表现出宏观的随机性。这种微观的不确定性是内在的,不需要任何外力。因此,这表明三体系统宏观的随机性是自激产生的。干净数值模拟结果表明,混沌或许是连接微观不确定性和宏观随机性的桥梁。此外,本文发现了三体问题2000多族全新的周期解。自从牛顿提出三体问题以来,300多年间人们仅发现3族周期解,直到2013年,?uvakov和Dmitra?inovi?[Phys.Rev.Lett.110,114301(2013)]取得重大突破发现了13个全新的等质量三体问题的周期解。本文将网格搜寻方法和Newton-Raphson方法与干净数值模拟相结合,发现了等质量三体问题600多族全新的周期解,不等质量三体问题1200多族全新的周期解以及自由落体三体问题300多族全新的周期解。并且发现这些三体系统的周期解满足广义的开普勒第三定律,即系统总能量的立方和平均周期的平方之乘积近似于一个常数。传统上认为非等级结构的三体系统通常是不稳定的。但是本文新发现的周期解都是非等级结构的,其中28个周期解是线性稳定的。因此,本文从理论上预测了三体系统存在许多稳定的非等级结构的周期解,这对天文观测有着指导意义。
【图文】：

周期轨道,字型,形状,三体系统

＝煌ù笱Р┦垦绗宦畚?第五章三体问题的周期解研究5.4 拓扑分类方法如图5 5所示，三体系统的三个天体的相对位置可以采用两个相对坐标向量来表示 [101]：ρ =1√2(r1 r2), λ =1√6(r1+ r2 2r3). (5 11)因此，，可以采用向量ρ和λ来描述三体系统周期解的轨道的形状。三个天体形成的三角形的形状可以用以下长度为 1 的向量表示 [40]：n = (nx, ny, nz) =(2ρ · λR2,λ2 ρ2R2,2(ρ × λ) · ezR2), (5 12)其中R =√ρ2+ λ2。三体系统的三个天体的相对位置变量对应于单位为1 的球面上的点，如图5 6所示。球面坐标仅仅依赖三体系统三个天体的位置所构成的三角形的形状，因此称为 “形状球面”（shape sphere）。球面的赤道上的点对应的是三体共线的情形。图5 6中赤道上的三个红色的点对应是两体碰撞点，也就是势能的奇点。球面的北极和南极点对应的是三体为等边三角形的构型。图5 6中的实线为 8 字型周期解轨道对应在形状球面的曲线。本章采用拓扑分类方法对三体问题周期解进行分类 [40, 41]。采用上述的坐标变换，三体系统的一个周期轨道对应于球面的一条闭合曲线。因为本文仅3r3 / 2 2 2r1r图 5 5 三体系统的 Jacobi 坐标。Fig. 5 5 The three-body Jacobi coordinates ρ, λ.— 57 —
【学位授予单位】：上海交通大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O415.5;O313

【参考文献】