几类非线性波方程的精确行波解及其分支问题

发布时间：2020-04-25 22:14

【摘要】：本文主要应用动力系统方法研究若干非线性波方程的精确行波解及其分支问题。这些方程包括了数学物理中有重要应用的Raman孤立子方程,以及若干耦合非线性方程、离子声波模型和高阶非线性方程。本文详细分析了这些非线性方程对应的行波系统的丰富动力学性质,以及其随参数而改变的分支行为,并通过较为复杂的计算获得了系统丰富的精确行波解。针对光学超导材料中的一类Raman孤立子方程,我们利用动力系统及分支理论方法,研究该方程分别在具有Kerr非线性律和抛物非线性律情形下的精确行波解及其分支。对非线性方程具有形如q(x,t)=φ(x-vt)exp(i(-kx+ωt))的解,其中φ(ξ)为对应的奇异非线性平面动力系统的解函数,我们根据分支理论分析该平面动力系统,从而对具有Kerr非线性律的情形得到23种不同参数条件下的系统相图分支和92种不同形式的精确行波解,这些行波解包括孤立波解、周期波解、扭波和反扭波解、周期尖波解、孤立尖波解以及各种破缺波解等。而对于具有抛物非线性律情形,由于四次非线性项出现,使其精确行波解及其分支问题研究难度大为增加,我们根据分支理论对系统做更精细的刻画,获得了28个具有代表性的相图,进而得到了相应的Raman孤立子系统的62个不同形式的行波解,这些解包括孤立波解、周期波解、扭波和反扭波解、周期尖波解、孤立尖波解、伪尖波解和破缺波解以及其精确的参数表达式。其后,我们相继研究了若干耦合非线性方程、离子声波模型以及高阶非线性方程。对于耦合非线性方程组,经过计算我们发现其相应的行波系统属于第一类奇异行波系统且含有9个参数,利用分支理论和奇异行波系统理论,我们证明了存在合适的参数组使得此系统有扭波和反扭波解、周期波解、周期尖波解、破缺波解及各种不同的孤立波解。对于三个非线性离子声波模型,其控制方程分别为三个偏微分方程系统,它们的行波系统也都属于第一类奇异行波系统,通过研究行波系统的分支,我们证明了存在合适的参数组使得这些奇异行波系统有孤立波解、周期波解、伪尖波解、周期尖波解以及不同形式的破缺波解,从而完善了文[1-3]的研究结果。最后,对于五类高阶非线性方程,利用动力系统理论,我们讨论了该类方程的行波解,在Cosgrove所得公式的基础上,获得了无限多的孤立波解和拟周期波解,且给出了精确的参数表达式,同时证明了这些方程也存在无限多的双峰孤立波解,并给出了这些孤立波解存在的参数范围和几何解释。
【图文】：

图１．３异宿轨道和对应的扭波－反扭波解逡逑（２）行波系统的一个三角形轨道／／（也ｙ）邋＝邋／ｉｓ对应系统的一个孤立尖波解逡逑（ｐｅａｋｏｎ邋ｓｏｌｕｔｉｏｎ），其中这个三角形轨道是一族周期轨道丑（０，ｙ）邋＝逡逑当／ｚ邋－＞邋Ａｓ时的极限轨道（见图１．４）．逡逑１逡逑０．８－１邋１８／１逡逑１逡逑ｊｌ邋Ｖ逡逑＼逦－１５＇邋＇逦－１０＇邋＇逦－５逦５逦１０逦１５逡逑－0．８Ｊ逦，逡逑（ａ）三角形轨道逦（６）孤立尖波逡逑注：图中的奇异直线为４邋＝邋２．逡逑

（ａ）周期闭轨道逦⑷光滑周期波逡逑图１．２周期闭轨道和对应的光滑周期波解逡逑＼［—二邋Ｓ逦°：，，邋＼，，，，，逡逑＼邋ｚ邋小：＼逦：：逦／逡逑＼邋．０邋３邋ｙ逦－。６逦Ｍ逡逑－０．８＇邋－０．８邋—＊＊逡逑（ａ）异宿轨道逦（６）扭波逦（ｃ）反扭波逡逑图１．３异宿轨道和对应的扭波－反扭波解逡逑（２）
【学位授予单位】：中国科学技术大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2019
【分类号】：O411.1

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本文编号：2640743