位势和非稳态热传导问题分数阶本构模型的数值计算

发布时间：2020-08-07 11:31

【摘要】：近几十年来,分数阶微积分理论逐渐引起研究人员的重视并得到迅速发展,相对于传统整数阶微积分理论,分数阶导数理论框架下的数学模型更适用于模拟力学和工程建模中的复杂现象,能够对复杂环境中所涉及的记忆和遗传性(Heredity)、非局部性(Non-locality)、自相似性(Self-similarity)、路径依赖性(Long-range-dependence)等性质提供更为深刻全面的阐述,且模型更为简单明了。由于分数阶算子本身特有的复杂性和非局部性使得模型不能轻易的获得其解析解,通常情况下需要借助于数值方法来求解。本文主要针对工程中重要的位势问题和一维非稳态热传导问题,提炼其整数阶本构模型,并重点构建分数阶本构模型对其进行数值求解。所构建的模型和算法不仅适用于广义的分数阶,更适用于文中给定的整数阶模型。文中给出的所有测试算例均是针对实际问题抽象出一般性的数学模型,进而利用给定的数值方法进行求解。全文的核心要点主要分为以下几部分:(1)本文旨在讨论两类二维位势问题的数值解,即泊松(Poisson)方程和拉普拉斯(Laplace)方程,且满足狄利克雷(Dirichlet)和诺伊曼(Neumann)边界条件。文中首先引入块脉冲函数(Block-Pulse functions)的定义,并由此定义构建满足该基函数的向量,然后将原问题的解函数由该基向量近似表示,接着将原问题的微分项也表示成向量形式,最后离散未知变量对形成的线性方程组数值求解。数值结果表明本文给出的方法较其它数值算法构造简单、运行速度快,且能获得高的数值精度。(2)本文利用分数阶微分算子矩阵方法求解三维位势问题Poisson方程和Laplace方程的数值解。该方法基于一维Block-Pulse函数的微分算子矩阵并构造相应的三维Block-pulse函数的微分算子矩阵,然后将原问题的每一项同边界条件均表示成向量形式,最后离散未知变量求解。以往求解三维位势问题数值解常用的方法是利用球谐函数和三维Taylor级数展开,而本文提出的方法是将待求问题的解函数由三维Block-Pulse函数展开,该方法构造简单,运行速度快,而且当级数展开达到64项时,即可达到10~(-3)10~(-4)的数值精度。(3)本文利用Chebyshev小波求解一类一维常系数非稳态热传导问题的数值解,该方法基于第二类Chebyshev小波的定义并构造相应的分数阶积分算子矩阵,然后将此积分算子矩阵应用于初始问题微分项的处理,使得原问题被转化为关于未知解的线性代数方程组,最后得到原问题的数值解。相比传统的傅里叶分析,小波能任意的提取短期负荷序列的细节,因此具有更高的数值精度,而且数值结果验证了本文所提方法的可行性及有效性。(4)针对一维非稳态变系数热传导问题,本文提出利用Chebyshev多项式进行数值求解,用正交多项式函数去逼近微分方程的基本解,所得数值结果相比解析结果能获得10~(-9)10~(-10)的收敛精度。由于本章讨论的是变系数问题,对于变系数的处理,以往处理起来都比较困难,这里通过引入乘积算子矩阵,进而将初始问题转化为统一的向量形式。另外本文还针对所讨论的问题给出了误差分析,且数值结果也表明本文提出的方法对于求解此类问题有很高的数值精度。
【学位授予单位】：太原科技大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O551.3
【图文】：

1.1 二维位势问题求解域 和节点 的子域in and subdomains of the nodeJS for two-dim 1.2 三维位势问题求解域 和节点 的子域in and subdomain of the node for three-dim典型的位势问题 例如电子元件的散热常为拉普拉斯(Laplace)方程或泊松(Poiss

1 1.2 三维位势问题求解域 和节点 的子域in and subdomain of the node for three-dim典型的位势问题 例如电子元件的散热问常为拉普拉斯(Laplace)方程或泊松(Poiss种椭圆形方程，反映了问题的一种定常状，稳定浓度场等均是定常态，位势导数 工程中很多位势问题都满足 Laplace 方程周围的静电场 瓷绝缘子或各种横截面的埋

图 1.3 二维温度场的控制体积1.3 The control volume of two-dimensional temperatur有两方面的特征，首先其温度不随时间变化域净增热量为零，即在同一段时间内，流入制方程可表示为：

【参考文献】

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1 陈清华;董长帅;马燕;庞立;刘泽功;;基于恒温边界一维非稳态传热模型测量固体材料热物性参数[J];中南大学学报(自然科学版);2015年12期

2 高效伟;赵金军;刘健;胡金秀;;变系数各向异性热传导问题边界元解法[J];化工学报;2014年S1期

3 王克用;黄争鸣;李培超;刘博;;正交各向异性轴对称位势问题的Trefftz有限元分析[J];应用数学和力学;2013年05期

4 谢世正;周剑丰;肖爱达;姜东滨;;连铸板坯凝固过程数值模拟[J];涟钢科技与管理;2013年02期

5 阮周生;张文;王泽文;;一类空间分数阶扩散方程系数反问题的数值解[J];黑龙江大学自然科学学报;2012年06期

6 陈治明;罗飞;曹建忠;;基于小波分析的多RBF神经网络轧制力设定模型[J];华南理工大学学报(自然科学版);2010年02期

7 钱炜祺;何开锋;汪清;;三维非稳态热传导逆问题反演算法研究[J];力学学报;2008年05期

8 杨能彪;;一维非稳态导热问题的数值计算[J];青海师范大学学报(自然科学版);2006年04期

9 曹卫东;陆昌根;钱建华;;泊松方程非等间距有限差分的数值求解方法[J];河海大学学报(自然科学版);2006年02期

10 周焕林,牛忠荣,王秀喜;三维位势问题边界元法中几乎奇异积分的正则化[J];计算物理;2005年06期

本文编号：2783935