纳米结构光学散射减基边界元法建模研究

发布时间：2020-09-29 11:41

　　由于具有测量速度快、成本低、非破坏性等优点,光学散射测量技术已经发展成为批量化纳米制造中纳米结构形貌参数在线测量的一种重要手段。作为一种非成像测量技术,光学散射测量过程是一个典型的逆问题求解过程,其中参数化光学散射模型的求解效率和准确度直接关系到光学散射测量的速度与测量结果的精度。近年来,一种称为减基法的快速算法被广泛应用于参数化模型的实时求解,其基本原理是在满足一定近似精度的前提下,将传统数值方法(如有限元法、边界元法等)所得高维模型投影至预先构造的低维减基空间中,缩减为低维模型进行求解。此外,减基法将参数化模型分解为参数无关的耗时离线部分和参数相关的快速在线部分,以进一步提高计算效率。目前,减基法的研究主要集中于与有限元法的结合。相比于有限元法,边界元法具有模型维度低、无需额外引入吸收边界条件等优势,更适于光学散射问题的建模。为此,本学位论文将减基法与边界元法相结合,提出了一种称为减基边界元的方法,实现了参数化光学散射模型的准确实时求解,所取得的创新点主要包括:首先,针对离线阶段基于标准贪婪算法构造近似空间非常耗时的问题,本文提出了多重网格贪婪算法与混合贪婪算法。多重网格贪婪算法将可变参数的参数域离散为多个规模递增的参数集合,并从规模最小的参数集合开始递进地训练近似空间。混合贪婪算法则在多重网格贪婪算法的基础上,考虑了投影误差的饱和假设,从而进一步提高了近似空间的构造效率。实验结果表明,与标准贪婪算法相比,本文提出的两种贪婪算法在不损失近似精度的前提下,均可将近似空间构造效率提高数倍。特别地,对不同特征的函数构造近似空间时,混合贪婪算法总能达到或接近最高的计算效率,具有更强的适应性与稳定性。其次,针对积分方程中被积函数未显式包含散射体几何参数的问题,本文利用散射体实际形貌与参考形貌间的仿射变换关系,将定义于二维或三维实际散射体边界上的积分方程转化为定义于参考散射体边界上的积分方程,从而将几何参数作为可变参数引入至被积函数中。最后,针对光学散射模型的离线/在线分解难以实现的问题,本文在不同散射体具有相同和不同仿射变换算子的情况下,分别对可变参数相关的Green函数及其法向导数(或梯度)进行了分解与转化,将二者改造为若干项易于仿射分解的参数相关函数之和,从而实现了二维和三维理想导体与色散介质纳米结构光学散射模型的离线/在线分解。本学位论文在入射波长、入射平面波偏振态、入射角、散射体几何形貌参数和远区散射场观测角等多个参数可变情况下,利用仿真实验对所提减基边界元法的有效性进行了验证。实验结果表明,在远区散射场振幅具有10~(-4)量级的近似精度下,数千维的边界元模型可缩减为数十维的减基模型,极大地减小了模型求解复杂度,相应的计算效率提高了数十倍甚至上百倍。与解析解或商业软件计算结果相比,减基边界元法所得结果与之完全吻合。由此说明,本文提出的减基边界元法具有计算速度快、结果准确的特点。本学位论文所提减基边界元法不仅可用于参数化光学散射模型的实时求解,其思想还可应用于声学散射、计算成像等参数化问题的实时求解。
【学位单位】：华中科技大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O436.2
【部分图文】：

测量参数,方程组,耦合波分析,矩阵方程

图 1-1 光学散射测量参数提取原理图可以从两个方面入手，一方面可以优化迭代步数；另一方面则可以提高散射模，从而减少总的迭代时间。本文主要针理想导体纳米结构或半导体领域常用的信号，必须完整地求解 Maxwell 方程组格耦合波分析(Rigorous Coupled-WaveA米结构，多采用有限元法(Finite Eleme-Difference Time-Domain, FDTD)[15-17]、[18 23]等低频数值方法建模。这类数值方法离散，从而将 Maxwell 方程组转化为矩分法需要离散整个计算空间相比，边界得矩阵方程维度更小；另外，边界元法

电磁散射,建模方法

优点：计算精度高、无需引入吸收边界缺点：模型阻抗矩阵为满阵，求解效率低图 1-2 常用电磁散射建模方法及特点与高频法相对应的一种数值方法通常被称作低频法。低频法是一种精确数值方法，按照所求解 Maxwell 方程的形式，又可以分为基于微分方程的于积分方程的方法。微分方程类方法主要包括有限元和时域有限差分法，通用性强，适用范围广，算法实现简单，并且所产生的阻抗矩阵为稀疏矩特别适合求解复杂电磁问题。理论上，微分方程类方法的未知量需要定义间中，以满足电磁场在无限远处的辐射条件。在利用计算机进行数值仿真到有限的内存量，需要引入吸收边界条件对计算空间进行截断。然而，即吸收边界条件，由于微分方程类方法需要对吸收边界层包裹的整个计算空散，所以得到的阻抗矩阵维度往往十分巨大，而且对吸收边界层的网格划入额外的内存需求和计算量。另外，微分方程本身的截断误差还会引入数差，导致计算区域越大，积累的色散误差就越多，从而影响了数值求解的基于微分方程的方法不同，基于积分方程的边界元法，又称为矩量法(M

边界元,快速算法,方法

利用特定频点或入射角处的模型解，基于展开式快速估计其余频点或入射角处的解图 1-3 常用边界元快速算法方法及特点(1) 基于积分核退化的算法基于积分核退化的算法中应用最广泛的当属 FMM 及 MLFMA。FMM 由美国鲁大学 V. Rokhlin 教授等人提出[24]，如今已被广泛应用于电磁积分方程的求解[25 2具体来说，FMM 是对离散单元进行分组，并根据组之间的距离将组分为近相互作组和远相互作用组。一般情况下，两个分组中心间距小于半个波长即可看作近相作用组，反之为远相互作用组。近组中的相互作用仍严格地采用边界元法计算，对精确的核函数进行积分运算，远组中的相互作用则采用 FMM 近似计算。具体来说首先利用加法定理[84]将核函数展开为谐波函数的无穷级数，并在设定精度下对级进行截断得到核函数的退化核，然后将矩阵向量的乘积运算转化为“聚合—转移配置”三个过程。FMM 大大简化了远组中场点和源点间相互作用的计算复杂度，避免了矩阵元素的一些重复计算，从而将单个迭代步骤中的存储复杂度和计算复1.5

【参考文献】