非线性分数阶薛定谔方程光晶格中的截断布洛赫孤子研究

发布时间：2020-09-30 17:29

　　空间光孤子,是光束在传播过程中其波形能量等保持不变的物理现象,这一物理现象在信息传播方面有着重要的潜在应用价值。特定的系统支持不同种类的孤子,其中非线性周期性系统支持一种特殊的局域态--截断布洛赫波孤子。该类局域态将无限扩展的非线性布洛赫波和局域的孤子这两种基本非线性态联系起来。分数阶薛定谔方程,由N.Laskin提出。分数阶薛定谔方程描述了费曼路径积分中布朗轨迹被莱维飞行代替时粒子的演化行为。在凝聚态环境下,一维莱维晶体可用来实现空间分数阶量子力学。2015年,S.Longhi首次把分数阶薛定谔方程引入光学,提出了一个有效光学方案模拟分数阶量子谐振腔。分数量子力学的概念出现后,不管是在光学领域还是其他物理领域里都引起了极大的关注。自分数阶概念引入到光学领域后,经研究发现,有分数阶作用的孤子呈现出不稳定性被抑制的令人惊喜的现象,因此,对于分数阶效应在非线性光学领域里的研究是有意义的。本篇文章基于支持空间光孤子的非线性分数阶薛定谔方程而展开,运用数值求解的方法-牛顿迭代法和改进后的平方算子迭代法-求解得出多类孤子稳态解。对多类稳态解应用傅里叶配置法分析其线性不稳定性,得出不稳定增长率,并利用分步傅里叶法验证了其线性稳定性。本论文主要工作包括:第三章第1小节主要介绍了论文研究对象分数阶截断布洛赫波孤子的研究背景和目前的研究现状;第2小节理论分析了研究内容的可行性。第3小节,通过讨论非线性情况下,分数阶薛定谔方程支持的光晶格的带隙结构,确定了孤子有可能存在的范围,即确定传播常数的范围。在确定了带隙结构后,第4,5小节讨论了截断布洛赫波的存在性,稳定性及其稳定性的验证。结果证明,截断布洛赫波可存在于分数阶非线性薛定谔方程光晶格中。我们分别探讨了第一个带隙和第二个带隙,第一个带隙中求得两大类孤子--同相截断布洛赫波孤子和反相截断布洛赫波孤子,通常来说,反相孤子都是不能够稳定存在的;第二个带隙中求得了两个单元和四个单元的孤子,由于第二个带隙稳定区域的减小,则会出现同一个传播常数,两个单元孤子和四个单元的稳定性不同。总的来说,在自散焦克尔介质中,不同峰数局域非线性模可存在于相应线性系统的有限带隙中。截断布洛赫波孤子主体与同传播常数的非线性布洛赫波完全重合。第一个带隙中,同相截断布洛赫波孤子在其存在区域内几乎完全稳定,而反相孤子完全不稳定;第二个带隙中,同样得到了稳定的孤子,但其稳定区域相比第一个带隙中的稳定区域要小。特别地,莱维指数的减小可明显地抑制截断布洛赫波孤子的不稳定性。
【学位单位】：浙江师范大学
【学位级别】：硕士
【学位年份】：2019
【中图分类】：O437
【部分图文】：

带隙结构,晶格,虚线

晶格带隙结构，虚线标记 1.2。(b) 1.2时，晶色区域为带，白色为隙。(c) p 5， 1.2时的色散关系和边缘（下图）线性布洛赫模。了晶格深度 p 5时，分数阶系统的 Floquet-Bloc限隙和无限多个有限带隙(白色区域)。周期性布洛)中。若介质表现出非线性，则局域非线性模可作期性结构的布拉格散射时，正向和反向传播波在孤子的形成。莱维指数的变化改变了系统的带隙结本征模相联系的非线性局域态特性，如存在区域、等。随着莱维指数减小，所有带向半无限大隙方对于变化的莱维指数，同一个b 可能处在不同的带一个带隙中的孤子

边界,自聚焦,传播常数,孤子

带上边界分歧出来的非线性布洛赫波。(a)振幅和传播常数之间关系中）和5.0（隙中）时的非线性布洛赫波。性引入到系统中时，带边缘线性布洛赫模能够分歧出非线有限而能量无限。在自散焦非线性介质中，非线性布洛赫波)]中标为 1，2)分歧而来，并且能够穿过带[图 2(a)]。理论上常数能够穿越更高阶带而趋于负无穷大。对于自聚焦非线性从带的下边界分歧出来([图 1(c)]中标为 3)，其对应的传播常而趋于正无穷大。自聚焦周期系统中，有限带隙中的孤子将会经历振荡不稳定焦克尔非线性介质中孤子的传播特性，亦即仅讨论与图 1(d)性局域态。当传播常数b从第一个带上边界逐渐减小时，无变成了有限振幅的非线性模(振幅是 w 的最大值)。随着b的大，线性布洛赫波变成了非线性布洛赫波[图 2(a)]。非线性

剖面图,布洛赫,孤子,时分

分数阶系统截断布洛赫孤子剖面示意，b 6.0，p 5。(a)反相相孤子。 (d)中虚线表示同传播常数的非线性布洛赫波。上述猜想，利用平方--算子迭代法对方程(2)进行数值不同峰数的直接截断非线性布洛赫波。在一个 1.2的截断布洛赫波孤子展示在图 3 中。孤子解可分为反相和中央区域有偶数个峰，围绕中间峰两边各有一个与其相子的各个主峰则是同号的[图 3(b)]。与标准 Gross-性薛定谔方程中截断布洛赫波孤子不同的是，同相孤子很大[图 3(b-d)]，这应归因于分数阶衍射的内在非局明截断布洛赫波孤子的每个峰值几乎相等，且与相应的等。这证明了截断布洛赫波孤子确实是从扩展的周期性。理论上，只要传播常数处于带隙中，任意偶数峰值截适当截断相应扩展非线性布洛赫波得到。

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