薄壁量子化方法及其在光学中的应用

发布时间：2020-10-13 03:50

　　 薄壁量子化方法是研究低维弯曲系统动力学的有效理论。经过数十年的发展,薄壁量子化方法已经被推广、应用于研究各种被限制在低维弯曲系统中运动的粒子,包括电磁场中的带电粒子、由狄拉克方程描述的自旋-1/2粒子、由泡利方程描述的带自旋轨道相互作用的粒子甚至电磁波等。然而,尽管已经取得了较大的发展,薄壁量子化方法理论本身及其在光学方面的应用仍存在一些问题需要得到澄清和解决。在本文第二章中,我们系统地研究了薄壁量子化方法的基本思想和计算框架,并给出了薄壁量子化方法的两个最重要的结果:几何势和几何规范势。几何势跟低维弯曲系统的曲率有关,而几何规范势则跟粒子的内在轨道角动量以及低维弯曲系统的挠率有关,其中内在轨道角动量起着等效电荷的作用。在第三章中,我们研究了不同的薄壁化过程对曲线上动力学的影响,发现通常的曲率诱导的几何势不依赖于薄壁化过程的细节,而挠率诱导的几何势、几何动量只出现在方形边界的薄壁化过程中,几何规范势只出现在圆形边界的薄壁化过程中。此外,考虑自旋联络的情况下,我们利用薄壁量子化方法,推导得到了曲面上的自旋-1/2粒子的非相对论等效方程。方程中包含赝磁场和等效自旋轨道相互作用项,其中赝磁场正比于曲面的高斯曲率,等效自旋轨道相互作用则由温加藤曲率矩阵决定。我们发现赝磁场和等效自旋轨道相互作用导致曲面上的自旋霍尔效应。在第四章中,我们推导得到了电磁波沿曲线传播的等效方程,其中电磁波由横电场描述。方程中包含依赖于光的内在轨道角动量和纵向自旋角动量的几何规范势,其中光的内在轨道角动量和纵向自旋角动量起着等效电荷的作用。该几何规范势导致依赖于光的内在轨道角动量和纵向自旋角动量的几何相位及霍尔效应。除了几何规范势之外,等效方程中还包含非对角矩阵项,显然非对角矩阵将导致光的螺旋度沿曲线传播时发生非绝热变化。在第五章中,我们考虑跟光的横向自旋有关的几何相位效应。通过考虑带有纵向分量的电场,我们得到的等效方程中包含一个SO(3)规范势。在不同的绝热近似下,这个SO(3)规范势退化为不同的SO(2)/U(1)规范势:挠率诱导的和曲率诱导的规范势,其中挠率诱导的规范势跟光的纵向自旋有关,而曲率诱导的规范势则跟光的横向自旋有关。我们计算了曲率诱导的规范势导致的依赖于横向自旋的几何相位和霍尔效应。这些结果将帮助研究者们利用低维弯曲系统的几何结构来调控光的自旋轨道相互作用。
【学位单位】：南京大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2019
【中图分类】：O413;O441
【部分图文】：

和相对强度无关。??参考第二章中的薄壁化过程，哈密顿量（３．３）可以分离为法向和切向的哈??密顿量，在本章中我们使用式（３．６）中的限制势并引入方形边界（如图３．１），我??们继续将法向哈密顿量免ｖ分离成沿法向的哈密顿量右ｎ和沿副法向的哈密顿??量??＝?＿２ｍ＾２?＋?（３．７）??Ｈｂ?＝?￣２ｍ＾?＾７７２＾２＾３＾２＇?（３．８）??与瓦和戌相关的本征方程就是量子力学中的简单的一维谐振子的求解问题。于??是我们可以很容易地得到法向和副法向的基态表达式：??｜Ｘｎ〇〉＝?ａＨ?哗，?（３．９）??＼Ｘｗ）?＝?（３．１０）??其中ａ?＝?相应的零点能为私〇?＝五６〇?＝?＆／２。??于是根据式（３．２）、（３．３）、（３．９）和（３．１０），我们可以得到曲线上的等效哈密顿??量为：??＝?（ＸｎＯｙｂｏＫｆ＾Ｈｆ?５）?￣?Ｈｊｖ｜ＸｎＯ，６〇）〇??＝ｌｉｒａ?（ＸｎＯ，６〇｜（／＾／￣５）?－?＾ｊｖ｜ｘ？〇）Ｗ））??Ｗ４００??１?．２?纪?２?＾?２?ｉｎ??＝２＾Ｐａ￣８＾Ｋ?￣４＾ｒ?５?（３１１）??其中丨Ｘｎ〇，Ｗ〉＝?Ｉｘｎ０〉？｜ｘｗ〉，灸＝一访么是切向的动量算符，一盖《２即第二章??中提到的几何势＆４３，而第三项－盖Ｔ２是由挠率诱导的几何势［１１２］。其中通常??的几何势－也可以从式（３．１）得到，但是挠率诱导的几何势－基Ｔ２却不能从??式（３．１）得到

?ｑ２?ｑ２??图３．１：方形边界的情况。（ａ）具有方形横截面的扭管。（ｂ）横截面及相应的限制??力。（ｃ）限制势Ｖｂ（ｇ２，ｇ３）。（ｄ）限制势沿ｇ２方向的示意图。??其中Ｐ是定义在法平面上的极坐标一一径向坐标。圆形边界的薄壁化过程和方形??边界的薄壁化过程中最重要的不同在于，后者冻结了法向的两个维度而前者只??冻结法向的一个维度，即径向维度，同时方位角维度的运动则保留下来了。由??于限制势（３．１３）具有ＳＯ（２）对称性，内在轨道角动量乙跟哈密顿量戌ｖ对易，１定??义为：??Ｌｓ?—?—ｉｈ（ｑ２ｄｓ?—?＝?—ｉｈｄｇ，?（３．１４）??其中０表示法平面的极坐标一一方位角坐标。在极坐标下，法向哈密顿量免Ｖ写??１?为：??Ｈｎ?＝?Ｓｄｐｐｄｐ＋＾Ｌ２ｓ?＋?＼ｍＵｊ２ｐ＇?（３－１５）??２０??

（ｄ）零温时，考虑（实线）和不考虑（虚线）自旋联络时的电导。??为了比较赝磁场和等效自旋轨道相互作用的效应，我们在这里考虑弯曲柱??面上的粒子（参考图３．４．（ａ））。相应的哈密顿量为：??ｆｒ?—?Ｒ?Ｒ?＋?ｐｃｏｓｄ??°?一?２ｍｐ２Ｒ?＋?ｐｃｏｓｅｄｅ（?Ｒ?汍）??汽２?Ｒ２?ｍ?＾３?．?，１２??２ｍ?（Ｒ?＋?ｐｃｏｓ０）２?ｓ?２ｉ？?Ｓｍ?］??ｈ２?ｃｏｓ?９??＋４ｍｐ（ｉ？?＋?ｐｃｏｓ０）?’?（３．６９）??和??￡ｊ?—?ｉｈ２?Ｒ?ｃｏｓ?９?１??３〇ｉ?＝?２＾ｐ（Ｒ?＋?ｐｃｏｓ９）｛Ｒ?＋?ｐｃｏｓ９ａｅａａ?￣?（３．７〇）??３１??
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本文编号：2838695