正倒向随机差分方程理论及其相关的优化问题

发布时间：2020-04-08 23:28

【摘要】：本论文研究的是正倒向随机差分方程(FBS△Es)的可解性理论及其相关的最优控制问题.正倒向随机差分方程可以看作是正倒向随机微分方程(FBSDE)在离散时间框架下的对应,后者从上世纪九十年代发展至今,已经有了许多的研究成果,并且在最优控制,经济金融等领域产生了非常广泛的应用价值.然而,相应的对于正倒向随机差分方程的研究却相对较少,并且其中大部分工作是在数值计算领域,其对差分方程的研究内容主要是对FBSDE的近似.在本论文中,对于FBS△E及其优化问题的讨论着眼于其在离散时间框架下的自身的一些性质特点,而不是作为对连续时间情形的近似.事实上,用随机差分方程刻画问题与用离散时间控制模型解决问题有着广阔的应用前景.例如,数字化技术对信号固定时间离散采样的特点使得对相关问题的建模都需要用到离散时间模型,随着数字化技术的迅速发展,离散时间模型的价值也变得更加重要.本文主要包括四部分内容,在第一部分我们研究了倒向随机差分方程(BS△Es)的相关理论性质,主要是给出问题研究的框架结构并得到一些基本结果,这些结果将在后面章节的理论推导中发挥作用.在第二部分我们研究了完全耦合的线性FBS△E解的存在唯一性理论,我们给出了线性FBS△E可解性的充要条件,并给出了两种特殊情形下的推论,这一结果将用于第三部分非线性情形下的证明.在第三部分我们研究了完全耦合的一般非线性FBS△E解的存在唯一性理论,我们得到了不同情形下方程解存在唯一性的条件,这是第四部分的理论基础,同时,我们在这一部分提出的FBS△E的乘积法则也将继续用在第四部分里.最后,在第四部分,我们对部分耦合与完全耦合FBS△E系统的最优控制问题进行了讨论,并给出了对应于该问题的最大值原理.关于本文的主要工作,详述如下:首先,我们将对倒向随机差分方程(BS△Es)的研究作为工作的起点.在FBS△E中,倒向部分是其中更为重要的部分.基于离散时间下鞅表示定理的形式,对于BS△E的研究主要在两种概率空间框架下,一类是由取值于Rd空间基向量的随机过程生成的有限状态概率空间,该随机过程生成的鞅过程用来作为方程的驱动过程,另一类是由增量独立的鞅过程生成的一般概率空间,该增量独立的鞅过程用来作为方程的驱动过程.另外,基于生成元的具体形式,BS△E也可以分为两类,一类是t时刻生成元依赖于t时刻解的隐式依赖,一类是t时刻生成元依赖于t+1时刻解的显式依赖.两类方程有不同的意义并且不能互相转化.我们在两类概率框架,两类生成元下系统地研究BSAE及FBS△E的相关理论.注意到有限状态概率空间下鞅表示定理的结果在一般意义下并不唯一.唯一性只在一类等价关系下成立.等价关系使得在有限状态概率空间下对于方程形式的构建与变量范数的定义都变得更为复杂.针对这一问题我们在第二章中进行讨论.我们的主要工作是在有限状态概率空间下给出了等价关系的显式刻画,该刻画方式不依赖于概率空间结构,并基于这一结果构造等价类并在其上定义范数.之后我们证明了这一范数与通过鞅过程定义的半范数的关系.另外.我们给出了鞅表示定理的显式表达结果.最后,我们给出了几种类型的BS△E解的存在唯一性理论.相关内容可以参见论文第二章.其次,我们研究了完全耦合的线性FBS△E这一类特殊FBS△E的可解性理论.在有限状态概率空间下.我们具体考察了生成元隐式依赖与生成元显式依赖的随机系数线性FBS△E.在一般状态概率空间下,我们具体考察了生成元隐式依赖与生成元显式依赖的确定齐次项系数线性FBS△E.我们的主要工作是通过将线性FBS△E的可解性问题转化为线性代数方程组的可解性问题,从而给出线性FBS△E解存在唯一的充分必要条件.需要指出的是，与连续时间情形下给出的Riccati方程可解性这一充分条件相比,这里在离散时间情形下的充要条件更容易验证.相关内容可以参见论文第三章.之后,我们研究了完全耦合的非线性FBS△E的可解性理论.在有限状态概率空间下.我们具体讨论了生成元显式依赖的一维非线性FBS△E与生成元隐式依赖的多维非线性FBS△E，在一般状态概率空间下，我们具体讨论了生成元显式依赖的正倒向变量同维非线性FBS△E与生成元隐式依赖的多维非线性FBS△E.我们的主要工作是在生成元显式依赖的情形下给出离散时间下FBS△E的乘积法则，这一技术可以在一定程度起到类似于微分方程中Ito公式的作用.通过这一技术我们得到了单调性条件下生成元显式依赖的有限状态概率空间与一般状态概率空间下FBS△E解的存在唯一性定理.另外,我们通过引入λ-范数，并利用差分方程解的估计,通过压缩映射的方法得到了弱耦合条件下生成元隐式依赖的有限状态概率空间与一般状态概率空间下FBS△E解的存在唯一性定理.相关内容可以参见论文第四章.最后，我们研究了 FBS△E最优控制问题.在有限状态概率空间下，我们研究了多维情形下部分耦合的FBS△E最优控制问题与一维情形下完全耦合的FBS△E最优控制问题.在一般状态概率空间下.我们研究了多维情形下部分耦合的FBS△E最优控制问题与正倒向变量同维情形下完全耦合的FBS△E最优控制问题.这一部分我们的主要工作包括通过FBS△E的乘积法则得到了完全耦合情形下变分方程解的估计,以及通过FBS△E的乘积法则建立的对偶关系而推导得出部分耦合与完全耦合情形下伴随方程与哈密顿系统的合适形式，并最终给出最优控制问题的最大值原理.相关内容可以参见论文第五章.
【学位授予单位】：山东大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O175.7

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