两类分数阶方程的数值方法

发布时间：2021-12-10 03:42

　　分数阶微分方程在数学和物理领域有着非常广泛的应用,可以更加准确地描述一些反常扩散现象.然而不同于整数阶导数,时间分数阶导数在初始时刻具有奇异性和记忆性,空间分数阶导数具有非局部性,所以通常情况下往往很难求得方程的精确解,因此分数阶方程的数值解算法成为研究者关注的焦点.众所周知,能量是非常重要的物理不变量,所以研究方程的耗散性和保能量的数值方法就具有重要的理论意义和实际应用价值.鉴于此,本学位论文主要研究两类分数阶方程的数值方法,即重点研究时间分数阶次扩散方程的数值耗散性以及空间分数阶Schr（?）dinger方程的能量守恒性.主要内容和研究结果如下:1.针对时间分数阶次扩散方程,研究了方程在L²（Ω）中的耗散性,并证明了方程的解的衰减率为t^-α,0<α<1,这与整数阶的指数衰减有本质区别.随后分别利用L1方法和有限元方法对时间Caputo导数和经典的空间Laplace算子进行离散,证明了该格式的数值耗散性.最后通过数值算例证实了理论结果的正确性.2.针对空间分数阶非线性Schr（?）dinger方程,建立了对于任何次幂的非线性项都... 

【文章来源】：西北大学陕西省 211工程院校

【文章页数】：134 页

【学位级别】：博士

【部分图文】：

当=1时数值解

西北大学博士学位论文图3.1当=1时数值解||(左)以及相应的离散质量()(中)和离散能量()(右)的误差.图3.2当=0.8时数值解||(左)以及相应的离散质量()(中)和离散能量()(右)的误差.本例中取计算区域Ω=[30,30],节点=101,时间步长为4×105.在图3.5和图3.6中,分别描述了=1,0.8和=2时的数值解和质量和能量误差.图3.7和图3.8分别给出了=3和=1,0.8的数值解和质量和能量的离散误差.结果表明,非线性项的大小不仅影响解的宽度和高度,而且还影响能量误差的精度,而且越小,误差的精度越高.从质量和能量的误差可以看出,松弛法可以保持两个不变量.由表3.2和表3.3可知,离散误差的2范数和数值解的收敛速度与理论结果完全吻合,对于不同的指数,它们的收敛阶均为2.例3.3为了进一步说明我们方法的有效性,考虑如下二维非线性偏微分方程(,,)=(Δ)(,,)|(,,)|2(,,),0(,)=exp(22).(3.51)其中Ω=(3,3)2×(0,].61


本文编号：3531841