非线性薛定谔方程的配置谱方法研究

发布时间：2023-11-18 10:00

　　随着现代电子计算机的迅猛发展和快速Fourier变换的出现,谱方法飞速发展起来,已经成为研究非线性偏微分方程数值解的强有力的工具之一.谱方法最受人青睐的优越性在于“指数阶递减”,即用很少的节点数就可以使得误差精度在10-¹⁰以上.因此,充分利用谱方法的这一特点来求解更高阶或更复杂的偏微分方程,可以大大降低计算量.非线性薛定谔方程是数学物理中一类重要的非线性演化方程,在近现代数学、量子物理、量子化学中有着十分重要的地位.对于它的解的研究具有重大意义.在本文中,主要通过勒让德、切比雪夫、傅里叶等配置谱方法结合时间分裂法求解一维、二维、三维薛定谔方程、泊松方程、非线性薛定谔-泊松方程组.先给出了求解过程推导,然后我们列举了具体的数值例子,通过Matlab软件编写程序,得到偏微分方程的数值解,并且将其数值解和准确解相比较,画出不同步长时的误差分析表格.由计算结果可以证实谱方法对光滑函数指数性逼近的谱精度.

【文章页数】：48 页

【学位级别】：硕士

【文章目录】：
摘要
Abstract
第1章 引言
    1.1 问题背景
    1.2 国内外的研究现状
    1.3 本文的创新之处
    1.4 谱方法基本介绍
    1.5 文章安排
第2章 泊松方程数值计算
    2.1 泊松方程
    2.2 切比雪夫配置法
    2.3 切比雪夫配置法求解泊松方程
        2.3.1 一维的泊松方程
        2.3.2 二维的泊松方程
        2.3.3 三维的泊松方程
    2.4 勒让德配置法
    2.5 傅里叶配置法
第3章 线性薛定谔方程数值计算
    3.1 线性薛定谔方程
    3.2 一维线性薛定谔方程
    3.3 二维线性薛定谔方程
    3.4 三维线性薛定谔方程
第4章 非线性薛定谔方程数值计算
    4.1 非线性薛定谔方程
    4.2 一维非线性薛定谔方程
    4.3 二维非线性薛定谔方程
    4.4 三维非线性薛定谔方程
第5章 非线性薛定谔-泊松方程组数值计算
    5.1 非线性薛定谔-泊松方程组
    5.2 一维非线性薛定谔-泊松方程组
    5.3 二维非线性薛定谔-泊松方程组
第6章 数值计算例子
    6.1 泊松方程的计算结果
        6.1.1 一维泊松方程
        6.1.2 二维泊松方程
    6.2 线性薛定谔方程的计算结果
        6.2.1 一维线性薛定谔方程
        6.2.2 二维线性薛定谔方程
    6.3 非线性薛定谔方程的计算结果
        6.3.1 一维非线性薛定谔方程
        6.3.2 二维非线性薛定谔方程
    6.4 非线性薛定谔-泊松方程组的计算结果
        6.4.1 一维非线性薛定谔-泊松方程组
        6.4.2 二维非线性薛定谔-泊松方程组
总结与展望
参考文献
致谢
攻读学位期间发表的学术论文和研究成果



本文编号：3865064