分数阶积分微分方程的数值方法研究

发布时间：2017-06-07 12:12

  本文关键词：分数阶积分微分方程的数值方法研究，由笔耕文化传播整理发布。

【摘要】：分数阶积分微分理论是数学分析的一个重要的分支,是专门研究任意阶积分和微分的数学性质及其应用的重要领域。分数阶微分方程可以应用到记忆材料、粘弹性力学、地震分析以及分数电容理论等领域。分数阶微分方程因其内部的导数具有非局部性,能有效描述某些物质的记忆和遗传性的材料。另外,脉冲微分方程能够很好的用来刻画某些瞬间改变原有状态的物理模型。因此,对他们的研究具有十分重要的意义。目前,许多学者已对其进行了理论研究,但是对数值计算方面的研究较少。本文从数值计算方面对分数阶常微分方程、二维分数阶Volterra积分方程和脉冲微分方程进行了研究,具体内容如下:首先,针对分数阶常微分方程的数值解。从block-by-block方法的思想出发,提出了一种构造更高阶数值格式的方法,借助修正的block-by-block方法的思想对分数阶常微分方程构造并分析了一个新的高阶数值格式,该格式的优点在于除了前三层外,其余的未知量不需要耦合求解,最后通过数值算例证明了该方法的有效性。其次,基于经典block-by-block方法的思想对二维分数阶Volterra积分方程构造了一个修正block-by-block数值格式。该方法的优点在于除了u(x_1,y),u(x_2,y),u(x,y_1)和u(x,y_2)外,其余未知量都不需要耦合求解,本文通过数值算例表明了该格式具有较好的逼近性。最后,针对脉冲微分方程初值问题,首先将脉冲微分方程转化为等价积分方程,然后对等价的积分方程利用利用经典的block-by-block方法和修正的block-by-block方法,构造了一个高阶数值格式,并分析了该数值格式的收敛性和稳定性,最后通过数值算例验证了理论的正确性和有效性。
【关键词】：高阶数值格式 分数阶Volterra积分方程 微分方程 收敛性稳定性
【学位授予单位】：贵州民族大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O241.8
【目录】：

• 摘要3-4
• Abstract4-8
• 1 绪论8-15
• 1.1 分数阶积分微分的研究背景8-10
• 1.2 脉冲微分方程的研究背景10
• 1.3 分数阶积分微分方程和脉冲微分方程的数值解法的研究现状10-13
• 1.4 本文的主要工作13-14
• 1.5 本文的创新点14-15
• 2 预备知识15-18
• 2.1 Gamma函数和Beta函数的基本定义15
• 2.2 分数阶积分微分的一些常见的基本定义15-17
• 2.3 脉冲微分方程的一些基本定义17-18
• 3 分数阶微分方程的一个高阶数值格式18-26
• 3.1 高阶格式构造18-23
• 3.2 截断误差估计23-24
• 3.3 数值算例24-25
• 3.4 本章结论25-26
• 4 二维分数阶Volterra积分方程的修正block-by-block方法26-34
• 4.1 数值格式的构造26-32
• 4.2 数值算例32-33
• 4.3 本章结论33-34
• 5 脉冲微分方程的block-by-block方法34-44
• 5.1 数值格式34-36
• 5.2 收敛性分析36-39
• 5.3 稳定性分析39-41
• 5.4 数值算例41-43
• 5.5 本章结论43-44
• 6 脉冲微分方程的一个修正block-by-block数值格式44-52
• 6.1 数值格式的构造44-46
• 6.2 收敛性分析46-49
• 6.3 数值算例49-51
• 6.4 本章结论51-52
• 7 结论与展望52-53
• 7.1 结论52
• 7.2 展望52-53
• 参考文献53-57
• 致谢57-58
• 个人简历58

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本文编号：429038