具有两阶时间精度的时间分数阶非线性扩散方程的有限差分方法

发布时间：2017-07-05 18:16

  本文关键词：具有两阶时间精度的时间分数阶非线性扩散方程的有限差分方法

  更多相关文章： 分数阶 非线性 有限差分格式 稳定性 收敛性

【摘要】：近十几年来,分数阶微分方程和分数阶导数在数学、科学和工程等领域得到了越来越广泛的应用.当今,人们已经将其成功应用于粘弹性材料,信号处理,流体力学,生物学等多个领域.越来越多的结论表明,分数阶微分方程在一些关于实际问题建立的系统模型比整数阶更加接近实际情况.故此分数阶微分方程的重要作用已经越来越多的被人们所认识到.而分数阶微分方程的稳定性和收敛性的研究是分数阶微分方程理论研究的一个重要的分支,近年来也得到了学者们的重视,并且获得了不少的研究成果.本文研究了具有二阶时间精度的时间分数阶非线性扩散方程的有限差分方法.利用传统的Grunwald-Letnikov公式在某个特殊的点(xi,tk-a/2)的分数阶导数的超收敛性,我们推导出方程的有限差分格式并在时间层上达到两阶精度.在空间层上,我们分别给出了二阶的有限差分格式以及四阶紧致差分格式.我们分别建立了一维和二维的时间分数阶非线性扩散方程的有限差分格式及其紧格式,并且给出了理论性分析.最后给出数值算例来验证该格式的可行性.第一章,介绍了分数阶微积分的发展历程以及分数阶微分方程研究的背景及意义,并给出了常用的分数阶导数的定义及性质.第二章到第四章,是本文的核心内容.首先分别给出了关于一维和二维扩散方程的有限差分格式及其紧致差分格式,格式主要利用在某些特殊点的分数阶导数的超收敛得出.对于分数阶导数,本文使用的是Riemann-Liouville时间分数阶导数.其次,给出有限差分格式后,我们使用能量的方法证明了格式的稳定性和收敛性.第二章讨论的是一维时间分数阶非线性扩散方程的二阶有限差分格式及其理论分析并给出具体算例验证；第三章讨论的是一维扩散方程的紧致差分格式；第四章讨论的是二维时间分数阶非线性扩散方程的有限差分格式并给出其理论分析.第五章是对本次论文的总结.
【关键词】：分数阶 非线性 有限差分格式 稳定性 收敛性
【学位授予单位】：山东大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O241.82
【目录】：

• 中文摘要8-10
• 英文摘要10-12
• 第一章 引言12-17
• §1.1 分数阶微积分简介12
• §1.2 分数阶微积分的定义及其主要性质12-14
• §1.3 分数阶微分方程的研究背景及意义14-17
• 第二章 一维时间分数阶非线性扩散方程的有限差分格式17-35
• §2.1 差分格式的建立17-20
• §2.2 差分格式的理论分析20-30
• 2.2.1 稳定性21-27
• 2.2.2 收敛性27-30
• §2.3 数值算例30-35
• 第三章 一维时间分数阶非线性扩散方程的紧致差分格式35-42
• §3.1 差分格式的建立35-36
• §3.2 差分格式的理论分析36-42
• 第四章 二维时间分数阶非线性扩散方程的的有限差分格式42-53
• §4.1 差分格式的建立42-44
• §4.2 差分格式的理论分析44-50
• 4.2.1 稳定性44-47
• 4.2.2 收敛性47-50
• §4.3 紧致差分格式50-53
• 第五章 结论53-54
• 参考文献54-57
• 致谢57-58
• 附件58

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本文编号：523037