分数阶扩散方程求解算法研究

发布时间：2017-07-30 06:20

  本文关键词：分数阶扩散方程求解算法研究

  更多相关文章： 分数阶扩散方程 Grünwald公式 Toeplitz矩阵 快速傅里叶变换

【摘要】：分数阶微分方程在数学和物理领域有着非常广泛的应用,尤其是分数阶扩散方程能够更加准确贴切的描述一些反常扩散现象,比如模拟渗透结构,湍流,地下水污染物的运动过程以及物理学中的混沌动力系统等,因此对于分数阶扩散方程的研究具有重要的理论意义和实际应用价值。但是由于分数阶扩散方程微分算子的非局部性质,有限差分和有限元等数值方法产生的都是稠密的系数矩阵,用一般的高斯消元法来解,计算量是O(N3) ,存储量是O(N2) ,N是网格点,这大大地增加了计算的复杂度和存储空间,因此,寻找快速高效的数值算法成为研究者关注的焦点。为了进一步改进Krylov子空间方法的可执行性和稳定性,便引进了预处理技术,并且预处理技术已经慢慢地成为解决大规模计算问题的有效方法。在分数阶扩散方程的数值解方面,研究者也针对离散后的的矩阵较好的Toeplitz结构,构造了很多经典的预处理子。本文重点分析了三种预条件子,孙海卫等人提出的PCGNR算法是在CGNR的基础上加上了循环预条件子,大大地加快了运算速度。PGMRES算法是基于矩阵分裂的思想,提出了带状预条件子,与Krylov子空间中的重启的GMRES算法相结合,快速求解分数阶扩散方程的一种方法。还有一种是顾先明基于CSCS算法构建的k-步多项式预处理子,它可以高效的求解非Hermintian Toeplitz系统。这些带有预处理子的数值算法将计算量控制在O(Nlog N),提高了运算效率,还将存储空间降低为O(N2)。为了进一步加快求解分数阶扩散方程的速度,提高数值逼近的精度,节省计算量和存储空间,本文对分数阶扩散方程的快速数值算法进行了深入细致的研究。引入了一个置换矩阵,将原来的非对称线性系统等价转化成对称的线性系统,提出了一种置换预处理子来加速分数阶扩散方程的求解。本文提出的预条件子避免了传统的矩阵-向量乘法的冗杂计算,并且充分利用了快速傅里叶变换来计算Toeplitz矩阵与向量的乘法,从而大大地降低了运算量和存储空间。从数值实验的结果来看,本文提出的方法的实验效果总体上比没有预条件子的的方法要好很多,本文提出的方法收敛速度更快,花费的计算量更少,较之本文提及的CGNR方法在节约运行时间上有明显的提高,提高了计算效率。
【关键词】：分数阶扩散方程 Grünwald公式 Toeplitz矩阵 快速傅里叶变换
【学位授予单位】：电子科技大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O241.82
【目录】：

• 摘要5-6
• ABSTRACT6-10
• 主要符号对照表及缩略词表10-11
• 第一章 绪论11-17
• 1.1 分数阶扩散方程的研究背景和意义11-12
• 1.2 分数阶扩散方程的国内外研究状况12-14
• 1.3 分数阶导数的定义及性质14-15
• 1.3.1 Grünwald-Letnikov分数阶导数定义14-15
• 1.3.2 Riemann-Liouville分数阶导数定义15
• 1.3.3 Caputo分数阶导数定义15
• 1.4 论文的主要内容、方法及创新点15-16
• 1.5 论文的结构安排16-17
• 第二章 预备知识17-28
• 2.1 Toeplitz矩阵的定义及基本性质17-19
• 2.2 经典的预处理技术19-21
• 2.3 Toeplitz系统的求解与预条件处理21
• 2.4 循环预处理矩阵21-23
• 2.4.1 Strang’s循环预条件21-22
• 2.4.2 T. Chan’s循环预条件22-23
• 2.5 分数阶扩散方程的离散23-27
• 2.5.1 隐式有限差分格式23-26
• 2.5.2 Crank-Nicolson有限差分格式26-27
• 2.6 本章小结27-28
• 第三章 经典的分数阶扩散方程的预条件处理算法28-38
• 3.1 带有循环预条件的PCGNR算法28-31
• 3.2 带有预条件的GMRES算法31-34
• 3.3 基于多项式预条件的CSCS算法34-37
• 3.4 本章小结37-38
• 第四章 基于置换预条件的分数阶扩散方程的求解算法38-55
• 4.1 矩阵向量乘的FFT快速算法38-40
• 4.2 基于置换预条件的分数阶扩散方程的求解算法40-43
• 4.3 数值实验43-53
• 4.3.1 数值算例 144-48
• 4.3.2 数值算例 248-53
• 4.4 本章小结53-55
• 第五章 全文总结与展望55-58
• 5.1 全文总结55
• 5.2 工作展望55-58
• 致谢58-59
• 参考文献59-64
• 攻读硕士学位期间的研究成果64-65

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本文编号：592839