区位选择与人文地理系统的分形优化——关于城市区位分形理论一般原理与方法的初步探讨

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第 18 卷第 4 期 1 9 9 8 年 8月

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Vol. 18

No. 4

SCIEN T IA G EOGRA PHICA SI NI CA

A ug. , 1 9 9 8
<

br />区位选择与人文地理系统的分形优化
关于城市区位分形理论一般原理与方法的初步探讨
刘继生
( 东北师范大学地理系 提 要 长春 130024)

陈彦光

余

斌
信阳 464000)

( 信阳师范学院地理系

以 城市区位论为主线, 提出区位 选择的分 形思想 和方法, 旨在 探讨人 文地理 系统空

间优化的基本理论。指出区位选择和空间优化 应该遵循 三个基 本原则: 自 相似原则 、 配原则 匹 和包容原则。 关键词 分类号 区位选择 中图法 人文地理系统 K901 城市结构 城镇体系 中心地 分形 分维

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引 言

传统的地理研究主要有三大方向: 区位研究、 景观研究和生态研究, 有人将这三个方向 全都归结到区域研究( 宋家泰, 顾朝林, 1987) [ 1] 。分形理论( f ract al t heory ) 开辟了地理研究 的新方向( M. Batt y, 1992) [ 2] , 区位研究也因分形几何学( f ract al geometry) 的引入而可以另 辟蹊径。经典的区位论有两个显著的缺陷, 使得区位研究陷入二难困境。其一, 传统的区位 模型都是以欧氏几何为基础, 而现实的地理系统则破碎无规, 理论与客观实际距离太远。不 论是 T h nen 环、 aunhardt Weber 三角形, 还是 Christ aller 正六边形, 都是规则的欧氏几何 L 图形, 人们虽然意识到有关模型太过失真, 但改良却非常困难: 逼近现实, 则不成其为模型, 因为模型必须简单明确, 具有普遍意义; 保持模型, 却又远离实际, 失去了其解释和预言的理 论功能及优化应用的实践价值。其二, 经典的区位论主要是由经济学家发展起来的, 模型创 建的首要思想是追求经济利润: 收益最高, 成本最低, 二者至少满足其一。但现实的地理系 统却是多目标的, 单纯的经济优化很可能导致环境和生态的恶化, 以至得不偿失。而且经济 上的最优区位在理论上似乎不可能得到, 因为人类的区位选择本身影响着区位的经济地理 价值: 我们可以认定某个地点最适合投资建设, 但一旦投资建设付诸行动, 这种活动又导致 了最佳位置的转移( 郑冬子, 郑慧子, 1997) [ 3] 。过去, 地理学家们也曾认识到区位论的上述 不足, 但缺乏理论变革的工具, 只有削足适履, 借助过多的假设来调和理论与现实。 但是, 区位论却是地理学理论化的重要起点之一。既往的区位研究为我们留下了大量 的理论遗产并积累了丰富的基础资料, 这些财富如能善加利用, 地理学的发展将会更为迅 速。 现在分形理论为地理研究提供了全新的数理工具, 地理学遇到了前所未有的变革机遇
国家自然科学基金( 49771035) 及河南省自然科学基金( 974071200) 资助项目。 第一作者简介: 刘继生, 男, 1955 年生, 副教授, 长期从事人文地理教学与科研。 收稿日期: 1997- 12- 08; 改回日期: 1998- 04- 06

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( 艾南山, 1993) , 区位论也适逢其机。1985 年, S. Arling haus 首先发现了中心地( central places) 等级 体系的分 形集性质 [ 5] ; 1992 年, 李后强、 艾南山 提出了第 一个分形 区位论 模 型[ 6] 。此后, 新理论、 新方法在分形思想的启发下不断创生。本文试以城市区位选择为主 线, 探讨分形理论在人文地理系统空间优化中的应用原理与方法。

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2. 1

区位选择的分形模型
五星网络模型 分形与黄金分割的统一

五星网络模型由 李后强博士和艾南 山教授 ( 1992) 首先提出, 它被用于刻画城市市场体系的空间 结构特征, 实则是一个分形区位模型。该模型的构造 方法是: 作一个正五边形, 相间顶角连线形成一个正 五角星, 五角星中央产生一个更 小的五边形 ,重 复这种操作, 可达无穷层次( 图 1) 。这个模型有两个 特征, 一是隐含 F ibonacci 数列和黄金分 割( g old sec t ion) ; 二是具有 自相似性( sel- similar) 结构。黄金分 f 割可由 F ibonacci 数列 Fn ( n= 0, 1, 2, . . . ) 引出, Fi bonacci 数列的递推关系为 F0 = F 1 = 1 建 F n = F n- 1 + F n- 2 F k+ 1 Gm = 1 = l im = k Fk n = 2, 3, . . . , 则有
图1
Fig. 1

数列{ F k / F k + 1 } 收敛, 令 l im F k - 1 / F k = k

5 + 1 = 1. 618 2

正五边形与 F ibonacci 数列
Regular pent agon w it h gold

式中 G m 为黄金中值。在图 1 中, AB= CD= a, BC=

section and f ract ional dimension

b, 而 BC+ CD= DE, CD+ DE= EF , DE+ EF= FG, 这正是 F ibonacci 数列的递推关系, 而 a/ b= Gm = 1. 618 恰为黄金中值。不仅如此, 每个五边形的边长 L i + 1 与其上级五边形的边长 L i 之比是黄金中值平方的倒数, 即 L i+ 1 1 = 1 = = Li Gm 2 1+ ( 5 + 1) / 2 将正五边形的每条边向外生成另外五个正五边形, 可构成一个更大的正五边形轮廓。 对每个五边形中的小五边形重复上述操作, 不断细划, 则可形成一个分形体系, 其生成数 N = 5, 相似比 = 1/ 1. 6182 , 故分维为 Ds = - lnN / ln = ln5/ ln2. 618 = 1. 672 由于正五边形的扩张过程是一星生五星, 故本文称之为 五星网络体系 。李后强等研 究了成都市的市场网络结构, 发现具有五边形特征。他们在此基础上提出了最佳商业服务 点选择的 Fibonacci 试验法, 这是一种商业区位的优选法。现实的商业网络非常复杂, 不可 能呈现标准的 正五边形 结构, 可借助 L ucas 等数 列将其进 行变形。如果 引入广 义的 Fi [ 6] bonacci 数列, 则可建立具有随机性质的多分形( mult ifractals) 网络体系 。 黄金中值原理是自然界形态发生学的重要原理, 是一种自然和谐的体现, 在现实世界有 着广泛的反映; 分形是大自然的优化结构, 分形体能够最有效的占据空间。五星网络模型将

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黄金中值和分形结构有机地统一起来, 是一种完美的结构形态, 在人文地理系统空间结构的 优化和规划中肯定具有极大的实践价值。不仅如此, 就形态发生而言, 其理论解释能力也不 可忽视。Muller 等( 1981) 对美国 84 个大城市统计区 的研究表明, 1967~ 1977 年的 10 年 间, 整个大城市区零售额增加了 42% , 其中郊区增加达 60% , 中心城市增加 16% , 而中心商 务区( CBD) 却下降了 34% ( 刘继生等, 1994) [ 7] 。这种现象可用五星网络的扩展机制进行解 释。如果赋予该模型一定的随机性, 则其解释可能更令人满意。 在应用五星网络模型进行商业区位选择和网络规划时, 应该注意以下几点: 第一, 商业区位( 服务点) 选择一般是线上选点, 可按黄金分割原理确定彼此之间的空间 位置; 对于一系列的服务点可按照 Fibonacci 数列分布, 或者根据具体条件采用 L ucas 数列 以至更广义的 Fibonacci 数列。第二, 在进行商业网络规划时, 则应在满足地理环境约束的 条件下尽可能按五星网络体系布局, 有意识地形成一种自相似结构。第三, 在空间条件限制 太大时, 可借助维数实现随机的五星网络结构, 即尽其可能地规划一个分维接近于 1. 672 的 市场网络, 借助计算机模拟不难达到这种规划目标。 需要说明的是, 五星网络体系不限于城市内部市场网络的模拟和规划, 也可推广到区域 城市( 镇) 体系的空间布局( 李后强, 艾南山, 1996) 。有关研究正在进行之中。下文着重 讨论另外一种城乡聚落体系的分形模型 Koch 雪花体系。 2. 2 Koch 雪花模型 城乡聚落体系的理想形态
[ 5, 9] [ 8]

Arling haus 等( 1985, 1988) 虽然从中心地等级体系中发现了分形集性质, 并用分形几何 学方法重构了中心地模式 , 但他们没有在此基础上进行分形区位论研究。我们认为, 借 助 Koch 雪花模型能够揭示城乡聚落体系( 核心是城镇体系) 的演化规律并发展一套区位选 择方法( 主要是 k 3 和 k 7 体系) [ 10, 11] 。

图 2 K och 雪花体系 的生成( 前四步, n 为每次出现 的城镇数目)
Fig. 2 Illust rat ion of generat ing K och snowf lake system ( K SS: t he first f our st eps)

如图 2 所示, 在 Christaller 式的假设条件下, 某地出现一个种子城镇 A, 然后在作用圈 外又产生一个城市 B, 接着是 C、 D、 F , 出现的城镇数列 n 为 0, 1, 1, 2, 3, 这是 F ibonacci G、 E、 数列的前四步。到第四步便形成一个 Koch 雪花体系的生成元, 它是一个正六角星, 此后六 角星便是 1 生 6, 6 生 6 , 即按 N 1 = 6 , 6 , 6 , 1 生 7, 7 生 7 , 即按 N 2 = 7 , 7 , 7 ,
2 0 1 2 2 0 1 2

序列发展( 图 3, 不包括中央虚线部分) , 或

序列生衍( 包括图 3 中的虚线部分) , 相邻两个等级

的六角形相似比为 r = 1/ 3, 故分维为 D= - l nN 1 / l nr = l n6/ ln 3 = 1. 631 及 D= - l nN 2 / l nr

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= ln 7/ l n3 = 1. 771 这样生成的城镇体系恰是 K = 3 的中心地体系。由它可以 派生出 k 7 体系, 其边界为典型的 Koch 雪花曲线, 分维为 D = ln 4/ ln3= 1. 262, 与 Arlinghaus 计算的 k 3 模式的分维一 致
[ 9]

。 至于 k 4 体系, 可用 Sierpinski 模型模拟生成, 赋予模型 , 相似比为 r = 1/ 2, 则分
图 3 K och 雪花模型( 第五步)
Fig. 3 K och snow flake model ( KS M : t he fif t h st ep)

以适当的随机性( 图 4) , 则更为接近现实。给定各级三角形 的生成序列为 N = 30 , 31 , 32 , 维为 D = ln3/ ln2 = 1. 585, 与 Arling haus 的 计 算 结 果 一 样[ 9] 。 Koch 雪花体系的演化主要受市场原则的支配, 但交通 原则也参与; 随机 Sierpinski 模型主要受交通原则的支配, 市 场原则也起很大作用, 它们的共同特点是对称破缺, 发育的 中心地体系是不完全的, 即不占满整个区域空间, 这是形成 分数维( fract ional dimension) 性质的关键。标准的中心地体 系是 d = 2 维的, 是一种欧氏几何体系, 只是其中隐含着分 形几何结构, 揭示这种结构对发展城市区位理论和建立空间 优化方法十分有益。 中心地理论中最重要的思想是聚落( 如城镇) 生成的等 距法则, 即新生的城镇必须与邻近的两个以上的城镇保持等 图 4 随机 Sierpinski 模型( 第四步) 距离[ 11] 。如图 5 所示, 如果某地有 A、 C、 四城镇, 则 E、 B、 D F、 G K 以及 a、 c 都满足等距法则, 当这些区位出现城 b、
Fig. 4 Sierpinski triangular net work model ( ST N : t he fourth st ep)

镇后, 又形成了更多的城镇区位( 即满足等距法则的位置) 。如果 城镇体系按照三点等距法则( 如 E 同时与 A、 C 等距) , 则可生 G、 成 Koch 雪花体系; 如果按二点等距法则( b 只与 A、 等距) 且保 C 持交通里程最近, 则生成 Sierpinski 体系。多种法则交替作用可 以形成随机的 Koch 雪花体系和随机的 Sierpinski 模式, 本文重点 讨论前者。研究豫南地区发现, 有两个乡镇发展很快, 一是明港, 位于信阳市和确山县城的交通线上, 与信阳、 正阳、 确山乃至桐柏 构成近似的等腰以至等边三角形; 二是周党, 位于交通叉口, 与信 阳、 罗山、 光山、 新县构成近似的等边三角形。这两个乡镇兴起以 后, 将使信阳地区的城镇分布更为接近中心地系统。 有时一个区域中的城市( 镇) 通过相关作用、 异速生长( allo 图5 等距法则示意图
A diagram of

Fig. 5

equidist ance principle
[ 12]

metric grow t h) , 形成比较稳定的三角关联, 此即所谓 三角增长极 现象 。在这个三角形 的重心地带有一点处于交通最优位置, 由几何学原理可知, 这一点到三角形三边所张之角相 等, 均为 120 。如果这个区位被激发产生一个新城市( 镇) , 就形成了 Koch 雪花体系的初始 元( 图 2- c) , 其形态很象 Eint hoven 三角形。例如吉林省的珲春、 汪清、 延吉构成了一个近 似的等边三角形, 而图们则位于其心脏地带, 尽管延吉市的发展打破了这种规范的格局, 但 如果进行科学的规划仍可以收到良好的空间效果。

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3. 1

人文地理系统的空间优化原理
空间优化的分形原理

根据分形理论的基本原理, 人文地理系统的空间优化至少要符合以下原则: 第一, 自相 似原则, 即系统具有分形的层次结构, 这样能最有效地利用空间。第二, 匹配原则, 不同的人 文子系统要想组成一个综合协调的大系统, 其分维值应当相等或接近。第三, 包容原则, 一 个人文地理系统的分维不得大于更高层次的系统或其地理环境的分维。 按照这些原则规划的地理空间, 系统的资源和信息可以被各级别的子系统有效共享, 各 级子系统的功能和能量也能够被层层放大, 从而达到良好的整体性效果。可见, 区位选择问 题绝非是单个区位点的问题, 而是区域网络和结构性体系的问题。 3. 2 人文地理系统的空间优化方法 首先说明五星网络模型与 Koch 雪花等模型的关系。 从功能上看, 五星网络模型虽然是基于市场网络而建, 但其应用范围不限于商业网点的 分布和城市空间结构, 可以推广到城镇体系; 而 Koch 雪花模型虽然是针对城乡聚落体系提 出, 但 作 为 中 心 地 模 式 早 就 被 用 于 城 市 结 构 分 析 ( 杨 吾 扬, 1989; 张 文 忠, 刘 继 生, 1992) [ 13, 14] 。 从形态上看, 在二维平面上固然以正四边形和正六边形( 包含三角形) 的弥合效果最好, 而且以正六边形的空间利用效率最高, 但就球形曲面而言, 正五边形亦能弥合, 研究表明, 在 许多情况下需要五边形与六边形等多种形态的混合套接才能更好地弥合。大自然的形态不 会单一, 五边形、 六边形乃至四边形在现实中可能都有所表现。 从维数上看, Koch 雪花模型的分维值为 1. 631~ 1. 771, 平均约 1. 701, 考虑到随机 Sier pinski 结构的分维 1. 585, 则各种维数的平均值约为 1. 662, 与五星网络的分维 1. 672 接近, 三者既可以相互匹配, 在一定条件下也可以相互包容( 表 1) 。
表1
模型与城市系统 K och 雪花模型 K och 雪花扩展模型 随机 Sierpinski 模型 五星网络模型 现实中的城市和城市( 镇) 体系 1. 6~ 1. 7

不同模型的分维( 理论值) 与实际系统的分维( 实测值或模拟值) 的比 较
Table 1 The values of fract al dimension of models and urban syst ems 分维 1. 631 1. 771 1. 585 1. 672 1. 701 平均分维 1. 662

1. 665

在实践中, 模型的选择是一个困难的问题, 应充分考虑: 一是尊重现实。一个系统的规 划和优化一般都是在原有基础上进行的, 此时系统已表现出某种模式的雏形, 按照其演化趋 势选取模式效果最好。例如, 吉林省图们江地区已出现 Koch 雪花体系的初始元, 且主水系 的分维约为 1. 7( 李宝林, 陈彦光, 1995) , 与 Koch 雪花模 型的平均 维数接近, 故应 选择 Koch 雪花模型进行城镇体系的规划。二是综合协调。一个优化的地理系统, 其分维必须包 容下级子系统并能被上级大系统所包容, 而且要与同级或相关系统的分维匹配, 包括与交通
据李宝林, 陈彦光( 1995) 计算, 图们江地区嘎呀河水系结构的分维为 D = 1. 736。

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网络以及水系分维的匹配。以郑州城市体系为例, 其西部的洛阳体系分维约为 1. 659, 东部 的开封体系分维约为 1. 746, 整个豫北地区的分维约为 1. 712, 交通网络的分维约为 1. 676, 均与 Koch 雪花体系的平均分维接近, 其空间结构形态又显示出 Koch 雪花特征[ 11] , 故应选 用 Koch 雪花模型进行城镇体系的空间优化。 问题在于, 在实践中很难安排一个标准的分形模型。实际上, 不论是五星网络结构, 还 是 Koch 雪花体系, 它们都是通过分维来体现自己, 故在应用中可借助维数而不单纯依靠图 形进行规划。我们可以大致地确定一种模式, 选择一种几何形态, 这样操作起来比较方便, 然后利用分形模拟技术和地理信息系统( GIS) 优化地理空间。大致思路如下: 第一步, 借助 GIS 技术将区域地貌、 水系等环境因素数字化, 设法计算其分维, 以确定 人文地理系统与环境的包容或匹配关系, 选择合适的系统维数。第二步, 将区域城乡聚落体 系和交通网络数字化, 计算其分维。如果分维合适, 则区位选择不宜改变整体的维数; 否则, 则应选择可适当调整系统维数的区位安排新的地理要素( 如城镇) 。城市内部结构的规划与 此同理。第三步, 在数字化地图上寻找可能建设新的城镇或安排新的商业网点的区位, 设置 虚拟的城镇或服务场所, 然后计算维数, 在确保分形结构不致破坏的前提下观察系统变化的 趋势。如果分维向优化方向改变, 则该区位可取, 否则应该放弃。如此反复多次模拟规划, 则不难找到满意的建设区位。 自组织系统都有三种层次的追求, 近期的趋向谓之 目标 , 长远的趋向谓之 目的 , 最 高的趋向谓之 理想 , 理想只可无限逼近, 但永远不可能真正地实现。系统优化的要义在 于, 在满足环境约束的条件下, 尽可能地逼近理想。五星网络模型和 Koch 雪花结构等都是 城市系统的理想状态, 借助它们规划地理空间应该遵循 满意 原则。

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结 语
分形区位原理与传统的区位选择方法虽然都以地理系统优化为目标, 但却有两个根本

的区别: 其一是前者追求体系最优, 后者追求区点最优; 其二是前者以系统结构为优化目的, 后者以经济利润为直接目标。基于成本 利润分析的区位论原理以及在此基础上建立起来 的一些空间经济理论在西方至今仍被排斥于主流经济学之外, Arrow Debreu 的经济模型将 区域经济的两个最重要的特征( 即运输成本和生产与消费的规模递增效益) 完全省略也并未 影响其分析效果, 其原因主要是, 地域空间结构在经济系统分析中被当作 黑箱 ( black box ) 处理了, 运输费用及生产与消费的规模递增效益也被抽象到一般的成本之中。笔者认为, 单 纯的成本 利润分析对区位研究而言似乎没有真正地抓住要领, 正确的做法应该是揭开黑 箱, 研究结构。地理系统优化必须直接从结构本身入手, 改善结构、 增强整体性功能才是区 位优选的目的, 在结构优化的基础上再考虑经济效益问题。这样研究才能与经济理论进行 完全的分工, 唯其如此人文地理学才具有不可替代的作用。分形理论已为今后区位论的变 革和发展提供了有效的工具, 区位理论的分形研究将会在人文地理学中别开生面。 参
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考

文

献

宋家泰, 顾朝林. 论地理学的现代区位研究. 地域研究与开发, 1987, 6( 2) : 2~ 9 Bat t y M . The f ract al nature of geography. Geographical M agazine, 1992, ( 5) : 32- 36. 郑冬子, 郑慧子. 区域的观念: 关于地理学的空间原理及其科学哲学思考. 天津: 天津人民出版社, 1997, 45~ 49

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艾南山. 曼德布罗特景观和赫斯特现象. 见: 辛厚文 主编: 分形 理论及其 应用. 合肥: 中国科学 技术大学 出版社, 1993, 444~ 446 A rlinghaus SL. Fract als t ake central place. G eografiska A nnaler, 1985, 67B: 83- 88. 李后强, 艾南山. 具有黄金分割特征和分形性质的市场网络. 经济地理, 1992, 12( 4) : 1~ 5 刘继生, 张文奎, 张文忠. 区位论. 南京: 江苏教育出版社, 1994 李后强, 艾南山. 关于城市演化的非线性动力学问题. 经济地理, 1996, 16( 1) : 65~ 70 A rlinghaus SL & WC. T he f ractal t heory of cent ral place geometry: A diophant ine analysis of fractal generat ors f or arbitrary L schian numbers. G eographical Analysis, 1989, 21( 2) : 104- 121. 陈涛( 陈彦光) , 刘继生. 城市体系分形特征的初步研究. 人文地理, 1994, 9( 1) : 26~ 30 陈涛( 陈彦光) , 李后强. 城市空间体系的 Koch 模式. 经济地理, 1994, 14( 3) : 10~ 14 曾菊新. 空间经济: 系统与结构. 武汉: 武汉出版社, 1996 杨吾扬. 区位论原理: 产业、 城市和区域的区位经济分析. 兰州: 甘肃人民出版社, 1989 张文忠, 刘继生. 关于区位论发展的探讨. 人文地理, 1992, 7( 3) : 7~ 13

PRELIMINARY STUDIES OF FRACTAL MODELS AND FUNDAMENTALS OF URBAN LOCATION THEORY
L iu Jisheng ( D ep ar tment of Geogr ap hy , N or theast Nor mal Univer sity , Changchun , 130024) Chen Yanguang Yu Bin

( Dep art ment of Geogr ap hy , Xiny ang T eacher s College, Xiny ang , 464000) ABST RACT Studies were made on fractal models, principles, and methods in the paper aimed at contributing to general urban location theor y by means of fr actal geometr y. So far, w e have had two impor tant fractal models on urban location theor y. One is called Fiv e stars N etwork M odel ( FSN) on mar ket location in urban districts, which pos sesses g old section and fractional dimension, and can be used to plan the spatial structure o f a city or tow n. T he ot her is named Koch Snow flake M odel ( K SM ) on systems of urban and r ural settlements, which have two kinds of patterns, and can be used to desig n or improve urban systems in a reg ion. T he former has a fractal dimension of 1. 672, the latter , however, the theor etical values ar e calculated as 1. 631 and 1. 771, and the mean is 1. 701. In addition, another model, Sier pinski T r iangular N etwork ( ST N ) on cities distribution and transport networ k w as giv en and discussed simply. T hr ee basic fractal pr inciples w ere pr esented and suggested to be used when planning a city or a region. T he first is sel- similar ity pr inciple, which demands that sel- similar structure should be introduced to human geo f f gr aphical system. T he second is matching principle, w hich demands that the values of fractal dimension of some g eo -systems should be equal or close to one anot her w hen they become united. T he third is containing principle, w hich demands that the fractal dimension of a subsystem must be smaller t han that of its mother system, or the fr actal dimension of a geosystem must be smaller than that of its environment . Several examples w er e g iven to illustrate how to use these models and pr inciples for the purpose of planning and improving human systems. Key Words: Selection of location; Human geographical system; U rban structure; U rban system; Central places; F ractal; Fractal dimension



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