基于二次模型的信赖域子问题算法研究

发布时间：2020-08-31 15:48

　　 信赖域方法是一类求解非线性优化问题的数值计算方法,该算法以其较强的适定性和全局收敛性受到最优化研究者们的广泛关注,一直以来是非线性规划的研究热点。信赖域算法实现的关键是对信赖域子问题的有效求解,信赖域子问题的求解直接影响到算法的稳定性及其收敛性。针对信赖域子问题的求解,在国内外数学工作者们的不懈努力下,目前已建立了多种信赖域子问题的模型。其中二次函数模型是信赖域子问题中最基础和最广泛应用的一类模型。在二次函数模型信赖域子问题的求解算法中,折线法是一类重要且有效的计算方法。本文主要针对二次函数模型信赖域子问题,在分段割线法及微分方程模型的基础上,进一步研究信赖域子问题的折线求解算法,并推广现有的结论。本文从分段低次插值和最优曲线的微分方程模型两方面入手进行讨论。首先,针对分段低次插值,在Hessian矩阵不定的前提下,介绍了两种修正不定矩阵的分解方法,构造了求解信赖域子问题的修正分段割线算法,同时将新算法与混合折线算法比较获得了较好的数值结果。其次,在Hessian矩阵正定的前提下,结合数值分析中的分段三次Hermite插值法的思想,构造了求解信赖域子问题的分段三次Hermite插值曲线,证明了此曲线路径的合理性,提出了一种求解信赖域子问题的分段Hermite插值法,运用新算法和分段割线算法对常用的优化测试函数进行测试,得到了理想的数值实验结果。再次,基于最优曲线的微分方程模型,从信赖域算法的全局收敛性出发,着重讨论了步长的选取策略,证明了休恩折线法的适定性,构造了求解信赖域子问题的变步长休恩折线算法,并通过数值实验结果说明了新算法的可行性及有效性。最后,在Hessian矩阵正定及固定步长的条件下,分别采用三种高阶的Runge-Kutta方法对最优曲线的微分方程模型进行求解,构造了三条不同的Runge-Kutta曲线,用每条折线近似代替最优曲线求解信赖域子问题。通过MATLAB编程和数值实验分析并比较了三种方法下的测试函数最优解的情况,说明了新算法的有效性和可行性。
【学位单位】：太原科技大学
【学位级别】：硕士
【学位年份】：2015
【中图分类】：O241.8

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本文编号：2809009