非线性薛定谔方程组高精度数值解法

发布时间：2021-03-04 13:46

　　本文主要研究建立在全直线上的两类非线性薛定谔方程组的高精度分裂式Hermite-Galerkin谱逼近格式。对于耦合非线性薛定谔方程组,首先将问题分裂为两个子问题:非线性子问题和线性子问题。非线性子问题可以精确求解;对于线性子问题,利用矩阵的正交分解,构造出恰当的Hermite基函数,进行适当的函数变换,得到对角代数方程组,再结合二阶分裂格式和四阶分裂格式进行快速求解。然后进一步考虑带有伸缩因子的分裂式Hermite-Galerkin谱逼近格式。最后给出数值算例,数值结果说明算法不仅在时空方向都具有高精度,而且能很好的保持原方程组的离散质量。对于分数阶耦合非线性薛定谔方程组,同样将问题改写为两个子问题、构造恰当的基函数,再结合分裂格式进行快速求解。数值结果表明,对于分数阶耦合非线性薛定谔方程组,分裂式Hermite-Galerkin谱逼近格式在时空方向也都具有高精度,并且能较好地保持原方程组的离散质量。 

【文章来源】：华侨大学福建省

【文章页数】：45 页

【学位级别】：硕士

【部分图文】：

图 3.6 时间方向的最大误差及收敛阶

计算中使用的参数为α=0.2??,????????λ=0.5??,?????????β=1?????。首先测试二阶时间分裂Hermite-Galerkin谱方法的收敛速度。一方面,取τ=0.0001,图 3.1(a)给出的是在L=1和L=2两种情况下,T=1时刻的最大误差随N的变化情况。从图中可以看出,误差呈e?cN衰减。另一方面,取N=512,图 3.1 (b)给出的是在L=1和L=2两种情况下,T=1时刻的最大误差随τ的变化情况。由图易知,数值解在时间方向上具有二阶收敛速度。

首先测试二阶时间分裂Hermite-Galerkin谱方法的收敛速度。一方面,取τ=0.0001,图 3.1(a)给出的是在L=1和L=2两种情况下,T=1时刻的最大误差随N的变化情况。从图中可以看出,误差呈e?cN衰减。另一方面,取N=512,图 3.1 (b)给出的是在L=1和L=2两种情况下,T=1时刻的最大误差随τ的变化情况。由图易知,数值解在时间方向上具有二阶收敛速度。接下来我们测试四阶分裂Hermite-Galerkin谱方法的收敛速度。一方面,取τ=0.005???????,图 3.2(a)给出的是在L=1???????和L=2????????两种情况下,T=1???????时刻的最大误差随N的变化情况。从图中可以看出,误差呈e?cN??????衰减。另一方面,取N=512????????,图 3.2(b)给出的是在L=1????????和L=2????????两种情况下,T=1????????时刻的最大误差随τ的变化情况。由图易知,数值解在时间方向上具有四阶收敛速度。

【参考文献】：
期刊论文
[1]Numerical Approximation of Solution for the Coupled Nonlinear Schr?dinger Equations[J]. Juan CHEN,Lu-ming ZHANG.  Acta Mathematicae Applicatae Sinica. 2017(02)

硕士论文
[1]非线性薛定谔方程保守恒性质间断有限元方法[D]. 胡馨文.湘潭大学 2016



本文编号：3063321