关于二阶退化双曲型方程的Darboux问题研究

发布时间：2017-04-16 17:14

  本文关键词：关于二阶退化双曲型方程的Darboux问题研究，由笔耕文化传播整理发布。

【摘要】：由于喷气理论、高速空气动力学、跨音速和超音速等现代科学技术实际问题的需要,混合型偏微分方程的研究被人们所关注,尤其是退化椭圆型及退化双曲型方程的定解问题成为必须研究的对象。无论是退化双曲型还是退化椭圆型方程,经过一个适当的变换,总可以消除退化的性质而得到含奇线的方程来进行研究,Euler-Poisson-Darboux方程是被研究的最早和最多的一个。Darboux方程是一类含奇性的双曲型偏微分方程,与椭圆型方程相比,对双曲型方程是不能任意在区域的整个边界上提边界条件的。第一Darboux问题的特点是在区域的一部分边界上只出现函数本身的赋予值,第二Darboux问题的特点是在边界某部分上出现边界的外法线方向导数。本文主要用复分析方法(或函数论方法)研究二阶退化双曲型方程Darboux问题解的存在性,主要开展了以下研究工作:1)针对复形式的第一Darboux问题,对所建立解的表达式进行了先验估计,利用晓德(Schauder)不动点定理和热莱—晓德(Leray-Schauder)不动点定理研究了解的存在唯一性问题。2)关于第二Darboux问题,运用Riemann存在定理,结合在单叶解析函数映射下复方程类型不变的结果,通过适当的坐标变换,将退化的性质消除而得到一个含奇线的偏微分方程,从而转化为可求解的黎曼-希尔伯特(Riemann-Hilbert)问题。3)针对二阶退化双曲型方程带有斜微商边界条件及点型条件的斜微商问题,利用相应的黎曼—希尔伯特(Riemann-Hilbert)问题,证明了解的存在唯一性,将目前研究成果尚少的第二Darboux问题做了补充和促进。
【关键词】：退化双曲型方程 第一Darboux问题 第二Darboux问题 不动点定理 解的存在唯一性
【学位授予单位】：河北科技大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175
【目录】：

• 摘要4-5
• Abstract5-8
• 第1章 绪论8-20
• 1.1 论文的研究背景与意义8-9
• 1.2 边值问题研究发展现状9-10
• 1.3 一些常见的边值问题概述10-15
• 1.3.1 Dirichlet（狄里克莱）问题10
• 1.3.2 Hilbert（希尔伯特）边值问题10
• 1.3.3 Riemann（黎曼）边值问题10-11
• 1.3.4 Haseman（哈斯曼）边值问题11
• 1.3.5 Poincaré（庞加莱）边值问题11
• 1.3.6 Riemann－Hilbet边值大问题11-15
• 1.4 双曲型和抛物型方程与Darboux问题概述15-17
• 1.5 本文主要研究内容17-18
• 1.6 本章小结18-20
• 第2章 预备知识20-30
• 2.1 某些函数类20-23
• 2.2 化为复形式23-25
• 2.3 广义解、正则解、广义微商25-26
• 2.4 关于条件C26-28
• 2.5 本章小结28-30
• 第3章 关于第一Darboux问题的研究30-38
• 3.1 微分学中的Darboux定理及其他30-31
• 3.1.1 G.Darboux（达布）定理30-31
• 3.1.2 Darboux变换的新生31
• 3.2 Darboux方程及Darboux问题31-36
• 3.2.1 Darboux方程31-32
• 3.2.2 Darboux问题32-33
• 3.2.3 最简形式的第一Darboux问题的提法33-35
• 3.2.4 第一Darboux问题的复形式提法35-36
• 3.3 本章小结36-38
• 第4章 关于第二Darboux问题的研究38-46
• 4.1 Chaplygin方程和Tricomi方程38
• 4.2 二阶退化双曲型方程第二Darboux问题38-40
• 4.2.1 二阶线性退化双曲型方程38-39
• 4.2.2 问题的提法39-40
• 4.2.3 解决问题的依据、方法和主要步骤40
• 4.3 二阶退化双曲型方程的斜微商问题40-44
• 4.4 本章小结44-46
• 结论46-48
• 参考文献48-51
• 攻读硕士学位期间所发表的论文51-52
• 致谢52-53
• 个人简历53

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