Cartan型李（超）代数极大子代数及线状李超代数表示

发布时间：2017-12-18 10:20

  本文关键词：Cartan型李（超）代数极大子代数及线状李超代数表示

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【摘要】：李(超)代数是一类重要的非结合代数,它与众多数学分支都有紧密的联系,并且是物理学的重要研究工具。李超代数是李代数的自然推广,李代数是一类特殊的李超代数。从基域角度看,李超代数可分为模李超代数(即素特征域上李超代数)和非模李超代数(即特征零域上李超代数)。根据有无非平凡理想,又可以把李超代数分为单李超代数和非单李超代数。模李(超)代数的一个主要研究方向是对单模李(超)代数的结构、分类及表示的研究。Cartan型模李(超)代数是一类非常重要的单模李(超)代数,它的结构与表示是当前较为活跃的研究方向。目前,特征零域上单李超代数的研究已经取得比较完善的结果,越来越多的研究工作转向非单李超代数的结构与表示,特别地,转向幂零及可解李超代数的结构与表示的研究。线状李超代数是一类重要的幂零李超代数。本文刻画了四类限制Cartan型单模李超代数的极大阶化子代数以及四类非限制Cartan型单模李代数的极大阶化子代数;并且研究了线状李超代数的表示。首先,本文决定了特征p3代数闭域上的四个无限族有限维限制单模李超代数的极大阶化子代数,即给出了极大阶化子代数共轭的充要条件以及极大阶化子代数在共轭意义下的分类;并计算了除不可约极大阶化子代数以外的所有极大阶化子代数的共轭类个数;给出了这些极大阶化子代数的维数公式。这四类被称之为“奇Cartan型模李超代数”的李超代数,在模李代数中没有类似的代数,在有限维特征零域上李超代数中也无类似的代数,因此对这四类代数的极大阶化子代数的研究具有重要意义。由于目标代数可由它的局部生成,即由目标代数的-1,0,1三个阶化分支生成,因此本文通过“降次”的方法,重点研究1-分支作为0-分支的模的结构。然后通过构造法及权空间分解等方法,由局部出发,构造并分类了所有极大阶化子代数。其次,研究了特征p5代数闭域上非限制Cartan型模李代数的极大阶化子代数,即确定了除不可约极大阶化子代数以外的所有极大阶化子代数;把不可约极大阶化子代数的分类归结到典型李代数的不可约极大子代数的分类。从结构方面看,限制Cartan型模李代数与特征零域上无限维Cartan型李代数比较接近,因此限制Cartan型模李代数的结构与表示得以系统研究,特别地,早在2005年,限制Cartan型模李代数的极大阶化子代数就得以刻画。非限制Cartan型模李代数的结构与基域的特征联系更为紧密,它们的结构与表示理论更为复杂,特别地,极大阶化子代数的刻画一直是公开问题。受限制奇Cartan型模李超代数的极大阶化子代数分类方法的启发,本文对非限制Cartan型模李代数的极大阶化子代数进行了刻画。本文首次引入了拟极大阶化子代数的概念,证明了非限制Cartan型模李代数的极大阶化子代数都是拟极大阶化子代数,进一步给出拟极大阶化子代数是极大阶化子代数的充分必要条件。由于非限制Cartan型单模李代数不能由局部生成,即不能由目标代数的-1,0,1三个阶化分支生成,这使研究更为复杂。本文给出了非限制Cartan型单模李代数的一组生成元,再采用构造法,以及权空间分解等方法刻画极大阶化子代数。最后,研究了线状李超代数的表示。给出了模型线状李超代数忠实表示的极小维数。用Clifford代数和Weyl代数构造了模型线状李超代数的有限维和无限维表示。线状李超代数是一类重要的幂零李超代数,其表示理论有许多公开问题。每个线状李超代数都可以由模型线状李超代数的无穷小形变得到。本文通过构造的方法,借助模型线状李代数忠实表示的极小维数的结果,并利用若当典范型的性质给出了模型线状李超代数忠实表示的极小维数。进一步,借鉴Feingold A和Frenkel I在Clifford代数和Weyl代数上构造表示的方法通过考虑一般线性李超代数的表示,构造了模型线状李超代数在Clifford代数和Weyl代数上的表示。
【学位授予单位】：哈尔滨工业大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O152.5

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本文编号：1303805