几类偏微分方程的动力学相容的非标准有限差分方法

发布时间：2017-12-20 19:33

  本文关键词：几类偏微分方程的动力学相容的非标准有限差分方法　出处：《哈尔滨工业大学》2015年博士论文　论文类型：学位论文

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【摘要】：18世纪中期,Euler和D’Alembert分别提出了弦振动过程所满足的偏微分方程,自此有关偏微分方程的研究开始发展起来。一般情况下,偏微分方程定解问题很难求解,所以人们构造了各种各样的数值方法去求定解问题的近似解。由于能够正确反映连续方程的动力学性质的数值方法才具有实际意义,所以构造能够保持偏微分方程的动力学性质的数值方法是一个值得研究的课题。本文主要从保持偏微分方程的反对称性,解的正性、有界性、时间单调性和空间单调性,以及常数稳态解的存在性和全局渐近稳定性这几个方面考虑,构造了几类偏微分方程(系统)的动力学相容的非标准有限差分方法。首先研究了一类对流扩散反应方程的非标准有限差分方法。针对这类方程不带扩散项的情况,即相应的对流反应方程,构造了两个精确有限差分方法。由于精确有限差分方法形式复杂,所以从其中一个精确有限差分方法推导出一个非标准有限差分方法,该方法能够保持对流反应方程的解的单调性和有界性以及常数稳态解的局部稳定性。基于对流反应方程的非标准有限差分方法,构造了对流扩散反应方程的一个非标准有限差分方法,并且证明了该方法可以保持微分方程解的正性和有界性以及常数稳态解的存在性。然后构造了用于求解一类广义的Fisher KPP方程的两个非标准有限差分方法。针对这类方程关于空间变量独立的情形,构造了一个非标准有限差分方法,证明了该方法能够保持相应微分方程的解的单调性和有界性以及平衡点的局部稳定性。基于这个非标准有限差分方法,构造了这类广义的Fisher KPP方程的两个非标准有限差分方法。证明了这两个方法可以保持这类方程的反对称性,解的正性、有界性、时间单调性和空间单调性,以及常数稳态解的存在性。此外,还分析了这两个非标准有限差分方法的可解性和收敛性。其次针对一类Fitz Hugh Nagumo方程,构造了相应的非标准有限差分方法。通过一个能够保持关于空间变量独立的方程的动力学性质的非标准有限差分方法,分别构造了具有一个空间变量和两个空间变量的Fitz Hugh Nagumo方程的非标准有限差分方法。证明了所构造的方法能够无条件保持相应的微分方程的常数稳态解的存在性、以及解的正性和有界性,并且讨论了方法的可解性和收敛性。再次给出了一个具有空间扩散的乙肝病毒传播模型的非标准有限差分方法。分析了所构造方法的可解性,并且证明了该方法能够无条件保持连续系统解的正性和常数稳态解的存在性。通过构造李雅普诺夫函数,证明了该方法能够无条件保持连续系统的无病稳态解和慢性病稳态解的全局渐近稳定性。最后针对一个具有空间扩散的SIR传染病模型,构造了一个非标准有限差分方法。所构造的非标准有限差分方法是唯一可解的,且能够无条件保持连续系统的解的正性、有界性,以及常数稳态解的存在性。此外,通过构造李雅普诺夫函数证明了该方法能够无条件保持连续系统的无病稳态解和地方病稳态解的全局渐近稳定性。
【学位授予单位】：哈尔滨工业大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O241.82
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本文编号：1313175