分区组设计和折衷设计的若干理论

发布时间：2018-04-14 09:19

本文选题：部分因析设计 + 纯净效应　；参考：《东北师范大学》2017年博士论文

【摘要】：试验设计作为统计学的重要分支,受到越来越多的关注。因析试验则是其中的一部分重要内容,几十年来涌现出大量的关于因析试验的研究成果,包括如何经济且有效地选择最优的部分因析设计。根据不同的衡量标准,统计学者提出了多种最优的部分因析设计的准则。其中著名的有:最大分辨度(Maximum Resolution,简记为MR)准则(Box Hunter[5])、最小混杂(Minimum Aberration,简记为 MA)准则(Fries Hunter[25])、纯净效应(Clear Effects,简记为CE)准则(Wu Chen[47])和最大估计容量(Max-imum Estimation Capacity, 简记为 MEC) 准则 (Sun[381)。这些准则的提出都基于效应排序原则(Effect Hierarchy Principle,简记为 EHP, Wu Hamada[48]),即认为低阶效应比高阶效应更重要,同阶效应同等重要。显然,好的设计更倾向于使得低阶效应不被其他效应混杂或者在很轻的程度上被其他效应混杂。尽管这些最优准则都遵循效应等级原则的思想,其混杂参数的不同往往导致选出的最优部分因析设计并不相同。仍然是基于效应等级原则,Zhang etal.[62]提出了一般最小低阶混杂(General Minimum Confounding,简记为GMC)准则。该准则是针对正规的两水平的部分因析设计提出,其核心是被称为别名效应个数型(Aliased Effect Number Pattern,简记为AENP)的概念。首先,对于正规设计,任意的两个因子效应要么正交,要么完全别名,这样的混杂结构相对简单。AENP包含着所有因子效应按照不同的严重程度与其他因子效应相互别名的基本信息,更加充分和直接地反映了设计中各阶因子效应之间的混杂关系。理论证明部分也显示,以往准则可以通过AENP的特定函数表示出来。故而,相较于以往准则,GMC准则更为精细和客观地体现了 EHP准则的思想。随着研究的深入,AENP和GMC准则得到了充分的发展。主要工作有:ZhangMukerjee[63]将GMC准则推广到素数或素数幂水平的情形,并从补设计的角度给出了关于GMC设计的构造理论;Zhang Mukerjee[64]将AENP和GMC准则推广到分区组的情形,Wei, Li Zhang[44]、Zhang, Li Wei[61]、Tan Zhang[39]和Zhaoetal.[67]在B-GMC、B1-GMC、B2-GMC的构造问题上取得了重要进展;Wei,Yang Li Zhang[45]和Ren, Li Zhang[36] 讨论了GMC理论在裂区设计和稳健参数设计中的应用;Cheng Zhang[21]和 Zhou Zhang[71]将 AENP 和 GMC 准则推广到非正规的部分因析设计当中;Zhou, Balakrishnan Zhang[70]将AENP的概念拓展至因子安排问题的研究之中等等。此外,GMC理论的研究工作在试验设计领域受到广泛关注,不少统计学者直接参与研究,而在Cheng[16]中对GMC理论也有一定程度上的肯定。以上所有的工作都是基于对AENP及其思想的深刻理解,其特有的清晰的表达与广泛的应用使得GMC理论成为一个体系并且日趋完善。当然,依靠AENP这一有力的研究工具,仍有许多新的研究问题等待发掘。本文则致力于探索分区组情况下的因子安排问题,纯净折衷设计的构造以及AENP思想在折衷设计下的延伸。我们在第一章中回顾了 GMC理论的发展,并总结了 GMC理论与以往最优设计准则的联系。第二章主要介绍了本文即将用到的概念和符号,为理论部分的表述及证明提供依据。接下来的章节重点介绍我们所做的工作。第三章主要介绍B-F-AENP准则及其在B1-GMC设计的最优因子安排问题中的应用。Zhou, Balakrishnan Zhang[70]给出了不分区组的2n-m设计中的F-AENP准则,对于分区组的情形,区组因子的存在使得处理因子效应被混杂的情况更加复杂。我们将设计中涉及某一处理因子的效应分为g-,b-,m-和φ-四类,在每一类效应集中考虑涉及该处理因子的各阶交互效应被混杂的情况,并据此给出了 B-F-AENP准则的定义。基于B-F-AENP准则,我们可以对任意2m-n:2 设计的列进行排序。本章的第三节主要研究B1-GMC设计中列的B-F-AENP的计算,分为N/2+1 ≤n≤N-1和5N/16+1≤n≤N/2两种情况讨论,研究方法主要依赖于对处理列Dt的划分以及第i类2fi的概念。第四节给出了B1-GMC设计中列的排序,结果显示:当处理因子个数5N/16 + 1 ≤ n ≤N-1时,2n-m : 2s B1-GMC设计中处理列的排序与F-AENP准则下2n-m GMC设计中列的排序相同。B-F-AENP准则及设计列的排序在因子安排问题中的应用在本章第五节做了详细的介绍,16-run、32-run和64-run B1-GMC设计中依次最优的q (= n - m)个最优列以列表给出,详见附录中表A1.1.1-A1.1.3。本论文的第四章主要研究具有纯净的特定因子效应的折衷设计及其构造。由Addelman[2]和Sun[38]提出的四类折衷计划(Compromise Plan)只针对主效应全都纯净的情况,进一步来说只考虑设计的分辨度为IV的情况。本章将折衷设计的研究范围扩大,重新定义了特定因子效应的集合Ω1为(1). {G1,G1 ×G1},(2).{G1,G1×G11G2×G2},(3).{G1,G1×G1,G1×G2},(4).{G1,G1×G2}的四类折衷设计(Compromise Design),当Ω1中的效应都纯净时,我们称之为纯净折衷设计(Clear Compromise Design,简记为CCD)。CCD可能是分辨度为Ⅲ和Ⅳ的设计,关于存在性问题的讨论在本章的第二节详细给出。对于CCD的构造问题,第三、四节给出了系统的理论结果。然而,CCD设计并非在全体参数下都存在。所以,我们有必要给出适用于任意参数的“好的”折衷设计的定义。本文的第五章给出了针对折衷设计好坏的更一般的衡量标准,即部分混杂效应别名个数型(Partial-Aliased Effect Number Patern,简记为P-AENP)准则,基于该准则可以量化Ω1中各阶特定因子效应被混杂的严重程度。此时,特定因子效应的集合Ω1的构成形式更加宽泛,不仅限于以上重新定义的四类折衷设计的形式。在P-AENP准则的基础之上,可以给出最优折衷设计(Optimal Compromise Design,简记为OCD)的定义,并进行构造。我们在本章第二节给出了第三类OCD在#{G1} = 1,2时的构造结果,更多的研究是我们接下来的主要工作内容。
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【学位授予单位】：东北师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2017
【分类号】：O212.6

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