某些Domain的信息系统和闭包空间表示

发布时间：2018-04-21 14:58

本文选题：代数domain + 代数L-domain　；参考：《湖南大学》2016年博士论文

【摘要】：20世纪70年代,图灵奖获得者Dana Scott提出了Domain理论,它在计算机程序设计语言中有重要作用。在纯数学领域,Lawson,Stralka等人在格序结构研究中定义了一种特殊性质的完备格。很快他们发现,这种完备格恰好就是Scott提出的连续格。这一结果引起研究者们广泛关注,刺激了Domain理论迅速发展。Domain理论是计算机科学和拓扑学,格论,范畴理论的交叉领域,是一个内涵丰富的研究领域。经过四十多年发展,这一理论取得丰富成果同时,也有不少问题以待研究。Domain理论一个重要研究课题是各类domain子结构的具体表示理论,例如拓扑刻画、闭包系统刻画、信息系统表示等等。1982年,Scott介绍了信息系统和逼近态射的概念。Larsen和Winskel证明了信息系统范畴和以连续函数为态射的Scott domain范畴等价,即找到了Scott domain的信息系统表示。随后,1993年Hoofman给出了有界完备domain的信息系统表示。至于连续domain的信息系统表示问题,直到2008年才由Spreen和徐罗山教授解决,他们将之称为一般连续信息系统。在此基础上,他们还得到了一般代数信息系统作为代数domain的表示。由连续domain和连续函数构成的范畴不是笛卡尔闭的,所以寻找它的极大笛卡尔闭满子范畴是Domain理论的一个重要研究工作。Coquand和Jung各自独立提出L-domain的概念。Jung还证明L-domain范畴正是一般domain的极大笛卡尔闭满子范畴。因此,L-domain的研究有着重要的意义。在一般连续信息系统基础上,Spreen给出了一个L-domain的信息系统刻画。然而,此信息系统有太多规则,略显复杂。本文给出两个新的信息系统,并证明它们分别是代数domain,代数L-domain的信息系统表示。本文给出的第一个概念是代数信息系统,它是代数domain的信息系统表示。这个信息系统基于代数domain的紧元基为研究对象,所提出的规则更简洁。在代数信息系统上,我们构造出逼近映射作为它们之间的态射,并且证明所有代数信息系统和逼近映射构成一个范畴。并且,通过定义代数domain范畴和代数信息系统范畴之间的函子,两者的范畴等价关系也被验证。在代数信息系统规则上,通过增加一个条件,我们提出代数L-信息系统新概念。同样地,代数L-信息系统和逼近映射也构成一个范畴,称之为代数L-信息系统范畴,本文证明代数L-信息系统范畴和代数L-domain范畴等价。本文第二个重要工作为L-domain的信息系统表示。由于L-domain具有局部上确界,此概念是信息系统表示的难点,所以想要简洁刻画L-domain很难。我们发现,如果构造出的信息系统满足任意基,则信息系统刻画的复杂性难以避免。因此,我们以L-domain的一种特殊基作为研究对象,提出了L-信息系统的概念。它提供了L-domian的具体表示,且规则较少,比较简洁。随后,我们在L-信息系统之间也给出了逼近映射,并且证明L-信息系统范畴和L-domain范畴两者等价。格序结构的集合刻画是一个热点研究课题。早在上世纪初,Stone就发现了任意一个布尔格都和某一个完全不连通拓扑空间的既开又闭子集同构,并称这个完全不连通拓扑空间为Stone空间。Priestley将Stone的结论推广到有界分配格上,得到了与之对应的Priestley空间。在domain理论中,集合上代数闭包空间可以用来重构和刻画代数格。另一个众所周知的结论是任意连续格和某个集合上保方向并的投射算子映射象同构。最近,郭兰坤和李庆国教授提出F-扩张闭包空间概念,这提供了代数domain的一种表示方法。本文在代数闭包空间基础上,引入单点分离闭集概念,它提供了一种重构代数domain的新途径。接着,一种特殊代数闭包空间,称为代数L-闭包空间被引入,它提供了代数L-domain的集合表示方法。另外,我们还提出代数逼近映射的概念,作为前面两类闭包空间恰当的态射。从范畴角度考虑,我们得到以代数逼近映射为态射的代数闭包空间范畴(对应地,代数L-闭包空间)和以连续函数为态射的代数domain范畴(对应地,代数L-domain)是范畴等价。
[Abstract]:Domain theory is an important research task for domain theory . In 1982 , the concept of domain theory is presented by Lawson , Stralka et al . In this paper , we propose the concept of L - domain , which provides a new way to reconstruct algebraic domain .

【学位授予单位】：湖南大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O153.1

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