时间分数阶偏微分方程的紧ADI和LOD方法

发布时间：2018-06-12 21:00

  本文选题：分数阶对流次扩散方程 + 紧ADI方法　； 参考：《华东师范大学》2016年博士论文

【摘要】：近年来,随着分数阶偏微分方程在科学和工程领域的应用越来越广泛,分数阶偏微分方程数值方法的研究正变得越来越重要.本文致力于对几类时间分数阶偏微分方程建立有效的高阶紧有限差分方法,包括分数阶对流次扩散方程,带Neumann边界条件的分数阶次扩散方程,修正反常次扩散方程和分数阶扩散波方程.首先,考虑一类二维的分数阶对流次扩散方程的数值方法,这类方程带有一个α(0α1)阶的Caputo时间分数阶导数.我们先把原始方程变换为一个特殊的等价形式,对这个等价问题在空间方向上用四阶紧有限差分逼近并在时间方向上用交替方向隐格式(ADI)方法处理.所得的紧ADI格式是唯一可解的和无条件稳定的.在加权L∞,H1和L2范数下,给出了最优误差估计.并且误差估计显示紧ADI格式有min{1+α,2-α)阶时间精度和四阶空间精度.通过两个数值算例进一步验证了理论分析和所得新格式的有效性.其次,对一类非齐次Neumann边界条件分数阶次扩散方程建立了一个紧交替方向隐式(ADI)有限差分格式.这类方程所带的时间分数阶导数为α(0α1)阶Caputo分数阶导数.严格证明了格式的无条件稳定性和收敛性.在加权L2和L∞范数下给出了误差估计,误差估计显示所得的紧ADI格式有四阶空间精度和min{2-α,1+α}阶时间精度.对α∈(0,1/2)和α∈(1/2,1)分别建立了两个Richardson外推算法,把数值解的全局时间精度提高到max{2-α,1+α}阶.并对α∈(0,1/2)的外推算法给出了严格的收敛阶分析.数值结果验证了紧ADI格式的数值精度和外推算法的有效性.接下来,对一类二维修正反常次扩散方程建立了一个Crank-Nicolson型的紧局部一维(LOD)格式,这个方程含有(1-α)和(1-β)(0α,β1)阶的两个Riemann-Liouville时间分数阶导数.所得格式由三对角系统组成且所有计算都像一维问题一样完全在一个空间方向上执行.这个性质明显简化了编程并降低了计算复杂度和计算量.严格证明了格式的无条件稳定性和收敛性.在标准H1和H2范数以及加权L∞范数下给出了误差估计,并且误差估计显示紧LOD格式有2 min{α,β}阶时间精度和四阶空间精度.接着构造了一个Richardson外推算法提高格式的时间精度,如果α≠β,外推算法把时间精度提高到nin{α+β,4min{α,β}}阶,如果α=β则可以提高到min{1+α,4α}阶.数值结果验证了紧LOD格式的数值精度和外推算法的高有效性.最后讨论一类带α(1α2)阶Caputo分数阶导数的高维分数阶扩散波方程的数值方法.对这类方程建立了一个紧LOD有限差分格式.所得格式由三对角系统组成且所有计算都像一维问题一样完全在一个空间方向上执行.对三维情况在H1范数下严格地证明了格式的无条件稳定性和收敛性.误差估计显示提出的紧LOD格式有(3-α)阶时间精度和四阶空间精度.数值结果验证了我们的理论分析和新格式的有效性.
[Abstract]:In recent years, with the application of fractional partial differential equations in the field of science and engineering, the numerical methods of fractional partial differential equations are becoming more and more important. This paper is devoted to the establishment of efficient higher-order compact finite difference methods for several kinds of fractional partial differential equations, including fractional convection subdiffusion equations, fractional subdiffusion equations with Neumann boundary conditions, Modified anomalous subdiffusion equation and fractional diffusion wave equation. Firstly, a numerical method for a class of two-dimensional fractional convection subdiffusion equations with a Caputo time fractional derivative of order 伪 0 伪 1 is considered. We first transform the original equation into a special equivalent form, and approach the problem in the space direction with the fourth order compact finite difference method and in the time direction with the alternating direction implicit scheme adi. The compact ADI scheme is solvable and unconditionally stable. Under the weighted L 鈭，

本文编号：2011077