不可压缩磁流体方程组在临界Besov空间中的全局适定性
本文关键词：不可压缩磁流体方程组在临界Besov空间中的全局适定性，，由笔耕文化传播整理发布。
【摘要】：流体动力学方程组作为一种描述物质运动的宏观模型,是我们认识与理解自然现象的一类非常重要的非线性偏微分方程组,它一直占据着数学物理学界的核心研究领域.如磁流体力学方程组(简称MHD方程组)描述了导电流体在电磁场中的运动状态,在天体物理、地球物理、空气动力学或宇宙等离子物理学领域中具有重要物理应用背景.我们主要研究不可压缩磁流体力学方程组在临界Besov空间中的全局适定性.本文分为五个部分,第一部分研究齐次不可压MHD方程组在临界Besov空间中的全局适定性和解的渐近性态.第二部分我们继续研究齐次不可压MHD方程组,特别的地,我们给出了当初值满足某种非线性小时的全局适定性.第三部分我们在Lp型空间中研究齐次不可压MHD方程组的粘性极限问题.第四部分我们研究三维粘性系数依赖于密度的非齐次不可压缩MHD方程组并证得了当初始密度在一个正常数附近扰动且当速度场和磁场的水平方向分量线性小时方程组拥有惟一个全局解.第五部分我们主要研究三维非齐次不可压MHD方程组当初始密度远离真空但不在一个平衡态附近扰动时局部解的存在惟一性和小初值时解的全局存在性.更确切地说,第二章和第三章分别研究下列形式方程组的Cauchy问题：第二章我们证明了当初值满足条件时,方程组具有惟一全局解.我们主要利用方程组的垂直方向分量是一个关于(u3,b3)的线性化方程,因此我们可以对垂直方向不要求任何小性条件.我们用加权的Chemin-Lerner空间先是得到压力估计,然后逐步的得到水平方向和垂直方向的能量估计,最后通过选取合适的权函数封闭我们的能量估计进而完成我们全局存在性的证明.接着我们用类似于热方程的办法证明了解是无穷光滑的.第三章我们主要证明了n维齐次不可压MHD方程组当初值具有非线性小条件时的全局适定性.特别的我们构造了一类满足假设条件的初值,但是这类初值的任何方向分量可以任意大.第四章我们继续研究齐次不可压MHD方程组,我们主要研究经典带耗散的不可压MHD方程组在更加一般的Besov空间中当粘性系数趋于0时收敛到理想不可压MHD方程组,并且我们也得到了它们的收敛率.第五章我们研究粘性系数依赖于密度的非齐次不可压缩MHD方程组：利用经典的Gagliardo-Nirenberg不等式、各向异性的Besov空间性质和Bony仿积分解技术我们证得了上述方程组当初始密度在一个正常数附近扰动且当速度场和磁场的水平方向分量线性小时方程组具有惟一全局解.第六章我们研究与密度有关的非齐次不可压MHD方程组的Cauchy司题.我们主要研究当初始密度远离真空但不在一个平衡态附近扰动时非齐次不可压MHD系统解的局部存在性和小初值时解的全局存在性.我们首先磨光初值建立近似解然后得到了近似解的一致有界性估计最后用紧性理论得到了方程组的局部解,并且我们也给出了强解的一个类似于BKM的爆破标准.在延拓局部解成全局解时,我们从方程组出发首先抽出一个齐次经典的不可压MHD方程组用以承担速度场和磁场的初值,并且得到了解的一些高阶正则性估计.对于余下的非齐次不可压方程组,我们从L2能量估计开始逐步的得到了高阶的H1,H2估计,最后利用动量方程我们得到了‖%絬‖L1((0,∞),L∞)估计,结合前面的爆破标准我们就可以得到解的全局存在性.
【关键词】：不可压MHD方程组 局部存在性 衰减估计 全局存在性 Besov空间 Bony仿积分解 粘性极限 交换子估计
【学位授予单位】：华南理工大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175
【目录】：
- 摘要5-7
- Abstract7-12
- 第一章 绪论12-24
- 1.1 引言12-15
- 1.2 本文的工作15-19
- 1.3 常用函数空间和不等式19-24
- 第二章 齐次不可压MHD方程组在临界Besov空间中的全局适定性24-39
- 2.1 问题与主要结果24-25
- 2.2 准备工作25-27
- 2.3 全局解存在性(定理2.1)的证明27-35
- 2.4 解的渐近形态(定理2.2)的证明35-38
- 2.5 本章小结38-39
- 第三章 齐次不可压MHD方程组具有某种大初值的全局适定性39-45
- 3.1 问题与主要结果39-40
- 3.2 压力估计40-42
- 3.3 完成我们主要定理的证明42-44
- 3.4 本章小结44-45
- 第四章 齐次不可压MHD方程组在临界Besov空间中的粘性极限问题45-49
- 4.1 问题与主要结果45-46
- 4.2 证明我们的主要结果46-48
- 4.3 本章小结48-49
- 第五章 粘性系数依赖于密度的非齐次不可压MHD方程组具有某种大初值时解的全局适定性49-65
- 5.1 问题与主要结果49-50
- 5.2 准备工作50-53
- 5.3 输运方程的估计53-55
- 5.4 压力的估计55-57
- 5.5 水平方向的能量估计57-59
- 5.6 垂直方向的能量估计59-60
- 5.7 完成我们定理5.1的证明60-64
- 5.8 本章小结64-65
- 第六章 非齐次不可压MHD方程组在临界Besov空间中的整体适定性65-101
- 6.1 问题与主要结果65-66
- 6.2 准备工作66-70
- 6.2.1 输运方程和磁场方程的估计66-68
- 6.2.2 能量方程的估计68-70
- 6.3 局部解存在惟一性的证明70-87
- 6.3.1 构造光滑的逼近解70-71
- 6.3.2 光滑逼近解的一致有界性71-82
- 6.3.3 收敛性的证明82-83
- 6.3.4 局部解惟一性的证明83-86
- 6.3.5 关于解的高阶正则性86-87
- 6.4 解全局存在性的证明87-99
- 6.4.1 爆破标准87-89
- 6.4.2 关于(v,B)的估计89-91
- 6.4.3 关于(w,b))的L~2估计91-92
- 6.4.4 关于(w,b)的H~1估计92-94
- 6.4.5 关于(w,b)的H~2估计94-98
- 6.4.6 结束我们全局存在性的证明98-99
- 6.5 本章小结99-101
- 总结与展望101-102
- 参考文献102-109
- 攻读博士学位期间取得的研究成果109-111
- 致谢111-112
- 附件112
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