带限制的倒向随机微分方程及相关问题

发布时间：2017-03-28 17:15

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【摘要】：1990年,Pardoux-Peng (1990) [67]是出了一般形式的非线性倒向随机微分方程,并解决了其解的存在唯一性问题.Peng (1997) [70]通过该方程引入了一类特殊的域流相容的非线性期望—g-期望.后来El Karoui-Peng-Quenez (1997) [32], Chen-Epstein (2002) [19]等发现倒向随机微分方程是解决经济金融问题的有力工具.此后,倒向随机微分方程理论成为随机分析、控制论、金融数学等领域的重要研究热点之一.本文主要研究：一般时间区间反射倒向随机微分方程的基本问题—解的存在唯一性及其相关性质；一般时间区间上g-期望的逆问题—满足何种适当条件的域流相容非线性期望是g-期望；倒向随机微分方程的生存性质及其应用.我们围绕以上三个基本问题开展研究,做了深入探索并获得了相关的系列结果.在第二章,我们首先证明了一般时间区间半鞅的单调极限定理：在Brown运动形成的域流框架下,一般时间区间上轨道右连左极的单调半鞅序列的极限依然是右连左极的半鞅.这是我们得到的关键结论之一,以此为工具我们获得了一般区间受限倒向随机微分方程最小9-上解的存在性.接着,证明了一般时间区间、障碍Lp-可积、生成元一致连续的一维反射倒向随机微分方程Lp-解的存在唯一性定理；进一步地,说明了若方程的下障碍连续,则其解也连续.而且对不同参数的反射倒向随机微分方程,得到了解的比较定理.本章采用的方法是Peng-Xu(2005)[72]和Peng (1999) [71]中技术的非平凡发展,同时得到的主要结果也是他们结论的非平凡推广在第三章,利用第二章的结论,我们将一维反射倒向随机微分方程Lp-解的存在唯一性定理推广到了生成元随机Lipschitz连续的多维反射倒向随机微分方程.并在一维情形下,通过一个新形式的倒向随机Gronwall不等式,得到了方程解的比较定理.另外,我们也得到了一般区间多维斜反射倒向随机微分方程Lp-解的存在唯一性以及该形式的方程和最优转换问题的联系.进一步,借助于该联系,在生成元g满足一般时间区间版本的Lipschitz条件下,我们去掉了g的每一分量只依赖于变量y的相应分量的假设,通过在一个合适的过程空间中构造压缩映射的办法得到方程Lp-解的存在唯一性.我们也说明了如何利用斜反射方程解决允许提前退出的多模式一般最优转换问题.在多维情形下的反射倒向随机微分方程方面,本章的结果与现有的结果(有限时间区间、一致Lipschitz生成元、平方可积参数以及连续下障碍情形)相比有显著进展.在第四章,我们对一般区间上的动态相容性非线性算子做了系统研究,借助第二章的单调极限定理建立了一般区间上右连左极g-上鞅的非线性Doob-Meyer型分解.并解决了g-期望在一般时间区间和Lp-可积框架下的逆问题：如果域流相容非线性期望满足平移不变和受控条件,则它是一个g-期望.该结果是Peng (1999)[71]和Coquet-Hu-Memin-Peng (2002) [23]中的结论在一般时间区间和Lp-可积框架下的一般化和推广.另外,我们给出了与一致风险度量密切相关的次线性g-期望稳健表示的更一般结果.在第五章,我们去掉了Buckdahn-Quincampoix-Rascanu (2000) [11]中附加的关于生成元更强可积性和连续性的两个前提假设,在基本条件下给出了多维倒向随机微分方程生成元的表示定理以及其生存性成立的充分必要条件.利用生存性质,我们得到了多维向量空间在两个不同序下(通常的半序和关于单位向量投影的全序)倒向随机微分方程解的比较定理和严格比较定理(据我们所知,该形式的多维严格比较定理是首次得到的).而且也得到了在这两个序下解的反比较定理.另外,我们也获得了一般随机微分方程的生存性成立的充分必要条件和比较定理.
【关键词】：倒向随机微分方程 反射倒向随机微分方程 生存性质 一般时间区间 单调极限定理 域流相容非线性期望 存在唯一性
【学位授予单位】：中国矿业大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O211.63
【目录】：

• 致谢4-5
• 摘要5-7
• Abstract7-9
• Extended Abstract9-16
• 变量注释表16-17
• 1 绪论17-30
• 1.1 研究背景17-22
• 1.2 预备知识与研究框架22-24
• 1.3 本文的主要工作24-30
• 2 一般时间区间半鞅的单调极限定理与带限制的倒向随机微分方程30-71
• 2.1 一类L~p-半鞅的单调极限定理30-52
• 2.2 不规则L~p-可积障碍反射倒向随机微分方程的比较定理52-54
• 2.3 带限制的一维倒向随机微分方程及反射倒向随机微分方程L~p-解的存在唯一性54-71
• 3 一般时间区间多维反射倒向随机微分方程L~p-解的存在唯一性及相关问题71-109
• 3.1 固定障碍多维反射倒向随机微分方程L~p-解的存在唯一性、稳定性及比较定理72-90
• 3.2 多维斜反射倒向随机微分方程的L~p-解的存在唯一性及最优转换与停止问题90-109
• 4 一般时间区间上域流相容非线性期望和非线性鞅109-138
• 4.1 预备知识：从g-期望到域流相容非线性期望109-118
• 4.2 g-上鞅与ε-上鞅的非线性Doob-Meyer型分解118-131
• 4.3 逆问题：g-期望的公理化刻画131-135
• 4.4 应用：次线性g-期望的稳健表示135-138
• 5 倒(正)向随机微分方程的生存性及相关问题138-165
• 5.1 倒向随机微分方程生存性的充要条件及应用138-152
• 5.2 随机微分方程的生存性质的充要条件及比较定理152-165
• 参考文献165-171
• 作者简历171-174
• 学位论文数据集174

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本文编号：272707