边值问题中的特征值优化

发布时间：2020-07-07 04:16

【摘要】：本文从二阶线性边值问题出发,给出了其特征值极值问题的解答,并由此引出四阶线性边值问题的特征值极值问题.由于这些极值问题将会导致位势变为测度的原因,为此我们在论文中将首先建立了四阶测度微分方程解的基本理论,通过Rayleigh形式的最小化证明测度方程的第一特征值是合理定义的.一个关键的结果是第一特征值是非常强地连续依赖于测度的,即在测度空间中用弱?拓扑时,特征值对于测度是连续的.最终,通过研究测度方程的第一特征值以及常微分方程与测度微分方程之间的联系,最终给出了四阶常微分方程边值问题第一特征值的极小刻画.首先,我们主要介绍了所研究问题的背景,意义以及目前其国内外研究现状,同时给出论文主要用到的基本知识概念.其次,主要以Pontryagin最大值原理为方法依据,描述出了一类新的非共振势函数类.受此方法启发,我们给出了二阶p-Laplacian常微分方程边值问题的特征值极大值问题的完整解答.接着,对形如dy(3)(t)+y(t)dμ(t)=0的测度微分方程,通过不动点定理给出了方程初值问题解的存在唯一性.并且,作为本文重要的结论,我们证明了解对测度的强连续依赖关系.然后,在测度微分方程理论的基础上,对其建立了第一特征值的概念,并解决相应的极值问题.我们给出测度微分方程dy(3)(t)+y(t)dμ(t)=λy(t)dt的四类边值问题的第一特征值的Rayleigh形式刻画.并给出四阶测度微分方程第一特征根极值问题的完整解答,其极小特征值对应的最优测度是一系列Dirac测度.最终,作为推论,四阶常微分方程第一特征值极值问题得以解决.我们看到,一方面常微分方程是测度微分方程的特殊情形,另一方面在特征值极值问题中,测度微分方程其实是常微分方程的极限情形.
【学位授予单位】：清华大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175.8

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本文编号：2744633