几种光栅问题的自适应DtN有限元方法

发布时间：2020-08-23 16:29

【摘要】：本文研究了衍射光栅问题、手性光栅问题和非线性光栅问题的自适应DtN有限元方法。首先,通过引进DtN边界条件,几种光栅问题在有界区域上的变分式分别被给出来。在我们方法中,不像完全匹配层技巧那样,需要在计算区域周围额外强加一层人工区域,我们只需对非局部的DtN算子截断。然后,我们给出相应的有截断DtN算子的有限元格式。这里需要说明：对于一维光栅问题(包括线性、手性和非线性)和二维光栅问题,我们分别采用协调有限元离散和棱边有限元离散。基于这几种光栅问题的数值格式,我们分别导出了它们的后验误差估计。在我们的数值算法中,被截断的DtN算子不收敛于原DtN算子。然而,在被截断的PML问题中,相应的DtN算子指数收敛到原DtN算子,那么在自适应PML方法中的后验误差分析的技巧自然不能直接运用到我们的自适应DtN方法中去。为了克服这个困难,我们在后验误差分析中运用了类似于对不定问题的先验误差分析中的对偶(或Schatz)论证技巧,而且对对偶问题的解只要求是弱解不需要像先验误差中要求有更高的正则性。这些光栅问题的后验误差估计都是由两部分组成：有限元离散误差和边界算子的截断误差,其中,截断误差随截断参数是指数衰减的。对于一维线性光栅和手性光栅问题,基于后验误差估计,我们建立了自适应DtN有限元算法,使得通过截断误差确定截断参数,同时,通过有限元离散误差确定网格中需要局部加密的单元。最后,通过数值算例进一步说明了我们自适应DtN算法的可行性。特别需要指出：对于一维线性光栅问题,我们算法在数值计算中的表现完全比得上自适应PML算法。
【学位授予单位】：南京大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O436.1

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本文编号：2801753