几类具源项和p（x）-Laplace算子的（伪）抛物方程的研究

发布时间：2020-11-05 23:48

　　 本文主要研究了几类具源项和p(x)-Laplace算子的(伪)抛物方程解的性质.主要讨论了非局部源、对数非线性源和变指数源对方程解的存在性和爆破性的影响.本文内容共分为四章.第一章为绪论.我们首先介绍了本文所研究问题的实际背景和国内外相关的研究工作,其次阐述了所要研究的问题和使用的方法.第二章,我们研究具非局部源的p-Laplace方程的初边值问题(?)其中T0,为RN(N≥ 1)中的有界区域,(?)Ω为Ω的光滑边界,n是(?)Ω的单位外法向量.初值u0(x)满足u0(x)∈L∞(Ω)∩W1,p(Ω),u0(x)(?)0,∫Ωu0(x)dx=0.指数p和q均为实数,并且满足p2,qp-1.2013年,Qu和Liang[1]已经研究了问题(1).他们结合Sobolev嵌入定理W1,p(Ω)→)Lq+1(Ω)证明了当指数q满足p-1q≤Np/(N-p)+-1,并且初始能量满足适当条件时,问题(1)的解在有限时刻爆破.本章的难点是当qNp/N-p-1(pN)时,Sobolev嵌入定理W1,p(Ω)→Lq+1(Ω)不再成立,这使得文献[1]中的方法不再适用.在这一章,我们将构造一个新的控制函数,结合由Levine和Payne[2,3]提出的凹方法证明对任意qp-11和适当的初始能量,问题(1)的解在有限时刻爆破.第三章,我们研究具对数非线性源和p-Laplace算子的四阶方程的初边值问题(?)其中T0,Ω为RN(N≥1)中的有界区域,(?)Ω为Ω的光滑边界,n是(?)Ω的单位外法向量.初值u0∈H02(Ω),并且指数p满足2p∞,N=1,2;2p2N/N-2,N≥3.一般情况下,对于高阶方程来说,没有所谓的极值原理和比较原理,这导致不能利用上下解等方法研究问题(2).又因为由▽un弱收敛于▽u不能直接推出div(|▽un|p-2▽un)弱收敛于div(|▽u|p-2▽u),这给研究问题(2)造成了一定的困难.再者,对数非线性项|u|p-2u log |u|的存在导致我们不能直接利用位势井方法.在这一章,首先,对于初始能量为次临界和临界的情形,我们结合Galerkin方法、Sobolev型对数不等式、改进的位势井理论和凹方法研究问题(2)的解的整体存在性、爆破性和熄灭性.其次,对于初始能量为超临界的情形,我们基于Gazzola和Weth[4]的想法给出问题(2)的解整体存在和在有限时刻爆破的一个充分条件.最后,我们给出一个新的爆破条件(不依赖于位势井井深),并且给出爆破时间的上界和下界估计.第四章,我们考虑具变指数源和p(x)-Laplace算子的伪抛物方程的初边值问题(?)其中T0,Ω为RN(N≥1)中的有界区域,(?)Ω为Ω的光滑边界.初值u0∈W01,p(x)(Ω)∩H01(Ω).指数p(x)和q(x)是Ω上的log-Holder连续函数,即p(x)和q(x)可测且满足(?)(?)并且对Ω中任意两个不同的点x,y满足|p(x)-p(y)|+|q(x)-q(y)|≤c/log(c+1/|x-y)'其中c是正常数.目前,对于这种具伪抛物粘性项△ut和变指数源项的方程的研究相对较少.特别地,变指数的存在给我们的研究工作带来了很大的困难.2017年,Di,Shang和Peng[5]首次研究了问题(3).他们利用微分不等式技术证明了当初始能量非正时,解在有限时刻爆破.同时,他们给出了爆破时间的上界和下界估计.然而,他们没有对问题(3)的解的其它性质进行讨论.在这一章,首先,我们借助能量泛函和嵌入定理证明当初始能量有限时,问题(3)的解在有限时刻爆破;通过定义一些泛函和集合,构造一个ω-极限集讨论了对任意高的初始能量解的爆破问题;结合由Khelghati和Baghaei[6]提出的凹方法的扩展形式和微分不等式技术,证明了当初始能量为正且对指数q(x)没有上界限制时,问题(3)的解在有限时刻爆破.其次,建立了能量泛函和源项之间的定性关系,利用一个关键的积分不等式证明了p ≥2时问题(3)的整体解是渐近稳定的.最后,结合Galerkin方法、Aubin-Lions-Simon紧性引理和单调算子理论,证明了当q+2时,问题(3)存在唯一的整体弱解,进而讨论了解的非熄灭和熄灭性。
【学位单位】：吉林大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2020
【中图分类】：O175.26;O177
【文章目录】：
摘要
Abstract
第1章 绪论
    1.1 研究背景及进展概况
    1.2 本文主要内容概述
第2章 具非局部源的p-Laplace方程
    2.1 问题介绍
    2.2 解的爆破性
第3章 具对数非线性源和p-Laplace算子的四阶抛物方程
    3.1 问题介绍
    3.2 位势井族的引入和基本引理
0）    3.3 初始能量J（u₀）
0）=d'>    3.4 初始能量J（u₀）=d
0）>d'>    3.5 初始能量J（u₀）>d
    3.6 爆破时间的上界和下界估计
第4章 具变指数源和p（x）-Laplace算子的伪抛物方程
    4.1 问题介绍
    4.2 变指数函数空间
    4.3 解的爆破性
    4.4 解的长时间渐近行为
    4.5 解的整体存在性和熄灭性
    4.6 注记
参考文献
作者简介及在学期间所取得的科研成果
致谢

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本文编号：2872370

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