几类含奇异摄动的椭圆型方程解的存在性、集中性与多解性的研究

发布时间：2017-04-11 12:13

  本文关键词：几类含奇异摄动的椭圆型方程解的存在性、集中性与多解性的研究，，由笔耕文化传播整理发布。

【摘要】：本文主要研究几类含有奇异摄动的Kirchhoff型方程,拟线性Schrodinger方程以及Schrodinger-Poisson方程的解的存在性,集中性以及多解性.本文共分为五章：在第一章中,我们先概述本文所研究的问题的背景以及国内外的研究现状,并简要介绍本文所做的主要工作以及相关的预备知识和一些记号.在第二章与第三章中,我们研究了两类含奇异摄动的Kirchhoff型方程.在第二章中,我们研究了下述含有临界Sobolev指标的Kirchhoff型方程的解的存在性、集中性以及多解性,其中ε是一个足够小的正数,α,b是正常数,f∈C1(R+,R)且次临界增长(f(u)～up-1(4p6)),V:R3→R是一个局部Holder连续函数,通过运用文献[M. del Pino, P. L. Felmer, Calc. Var. Partial Differential Equations 4 (1996) 121-137]中提出的惩罚函数方法,我们首先证明当ε0足够小时,上述方程具有一个指数衰减的弱解u。,并且,当ε→0时,uε集中于位势V的局部极小值点.根据极小极大定理和Ljusternik-Schnirelmann理论,我们通过研究位势V(x)的局部极小值点所构成的集合的拓扑结构得到了上述方程的一个多解性的结果.需要指出的是,为了克服含临界指标的非线性项u5的出现所引起的伸缩失紧,我们需要将泛函的能量降低至某一临界能量之下.在文献[J. Wang, L. Tian, J. Xu, F. Zhang, J. Differential Equations 253 (2012) 2314-2351]中, J.Wang et al.给出的临界能量是其中S是D1,2(R3)→L6(R3)的最佳Sobolev嵌入常数,但是c*不是最优的.在本章中,我们给出了这一类Kirchhoff型方程的确切的临界能量值：我们的结果是文献[X. He, W. Zou, J. Differential Equations 2 (2012)1813-1834]关于全空间上的Kirchhoff型方程次临界问题的存在性、集中性与多解性的结果的部分推广.在第三章中,我们研究下述含有临界Sobolev指标的Kirchhoff型方程的解的存在性与集中性.其中ε是一个足够小的正数,α,b是正常数,λ0,2p≤4,我们构造出一族解uε∈H1(R3),并且使得当ε→0时,u3将集中于位势V的局部极小值点.尽管,在文献[Y. He, G. Li, S. Peng, Adv. Nonlinear Stud.14 (2014),441-468]中,Y. He, G. Li和S. Peng研究过下述含有临界Sobolev指标的Kirchhoff型方程其中f(u)～up-1(4 p 6),并且满足Ambrosetti-Rabinowitz条件(以下简称(AR)条件),从而保证了Palais-Smale序列(以下简称(PS)序列)的有界性.但是,在本章中,g(u):=λ|u|p-2u+|u|4u(2p≤4)不满足(AR)条件((?)μ4,0μ∫0ug(s)ds≤g(u)u),在证明正解的存在性的过程中,寻找有界的(PS)序列变成了一个主要的困难.另外,g(s)/s3(s0)不具备严格增性也导致了Nehari流形无法引入.我们的结果是文献[Y. He, G. Li, S. Peng, Adv. Nonlinear Stud.14 (2014),441-468]的关于f(u)～|u|p-2u(4p6)的存在性与集中性结果的推广.在第四章中,我们研究下列含临界Sobolev指标的Schrodinger-Poisson方程:的解的存在性与集中性.其中ε是一个足够小的正数,λ0,3p≤4,我们构造出一族解uε∈H1(R3),并且使得当ε→0时,uε将集中于位势V的局部极小值点.尽管,对于含次临界增长的Schrodinger-Poiss(?)n方程非线性项.f(u)～|u|p-2u(4p6)满足(AR)条件,容易获取有界的(PS)序列的情形已经被广泛地研究了,但是本章考虑的带临界项的情形更为复杂.由于9(u)：=λ|u|p-2u+|u|4u(3p≤4)不满足(AR)条件((?)μ4,0μ∫0ug(s)ds≤g(u)u),在证明正解的存在性的过程中,寻找有界的(PS)序列变成了一个主要的困难.另外,g(s)/s3(s0)不具备严格增性也导致了Nehari流形无法引入.我们的结果是新的.在第五章中,我们研究下列含临界Sobolev指标的拟线性Schrodinger方程的解的存在性、集中性以及多解性.其中ε是一个足够小的正数,N≥3,2*=2N/(n-2),4q2·2*,min V0,inf W0,在某种适当的条件下,我们将证明上述方程的解的存在性与集中现象,再利用极小极大定理和Ljusternik-Schnirelmann理论,我们通过研究位势V的全局极小值点所构成的集合与位势W的全局极大值点所构成的集合的拓扑结构来得到上述方程的多解性的结果.我们的结果是文献[X.He,A.Qian,W.Zou,Nonlinearity 26(2013), 3137-3168]的结果的部分推广.文献[X.He,A.Qian,W.Zou,Nonlinearity 26(2013),313-3168]考虑了下述带奇异摄动的拟线性Schrodinger方程其中h(u)次临界增长,V(x)满足著名工作文献[P.Rabinowitz,Z.Angew.Math. Phys.43(1992)270-291]的位势条件：
【关键词】：Kirchhoff型方程 Schr(o|")dinger-Poisson方程 拟线性Schr(o|")dinger方程 存在性 集中性 多解性 临界增长 无(AR)条件
【学位授予单位】：华中师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175.25
【目录】：

• 内容摘要5-8
• Abstract8-14
• 第一章 绪论14-39
• 1.1 问题的背景及研究现状14-25
• 1.2 本文用到的主要记号25-26
• 1.3 本文用到的定义和定理26-30
• 1.4 本文的主要工作及其创新点30-38
• 1.5 本文结构安排38-39
• 第二章 R~3上带有局部位势奇异摄动的含Sobolev临界指标的Kirchhoff型方程的解的存在性、集中性以及多解性39-76
• 2.1 问题的提出及其主要结果39-46
• 2.2 预备知识46-61
• 2.3 定理2.1.1的证明(存在性与集中性)61-65
• 2.4 定理2.1.2的证明(多解性)65-76
• 第三章 一类含局部位势奇异摄动的带Sobolev临界指标的Kirchhoff型方程的解的存在性与集中性76-114
• 3.1 问题的提出及主要结果76-79
• 3.2 极限方程的讨论79-90
• 3.3 摄动问题的解的存在性与集中性90-114
• 第四章 一类含局部位势奇异摄动的带Sobolev临界指标的Schrodinger-Poisson方程的解的存在性与集中性114-149
• 4.1 问题的提出及主要结果115-120
• 4.2 预备知识120-121
• 4.3 极限方程的讨论121-130
• 4.4 摄动问题的解的存在性与集中性130-149
• 第五章 一类含全局位势奇异摄动的带Sobolev临界指标的拟线性Schrodinger方程解的存在性、集中性以及多解性149-184
• 5.1 问题的提出及主要结果149-155
• 5.2 预备知识155-172
• 5.3 定理5.1.1的证明(存在性与集中性)172-175
• 5.4 定理5.1.2的证明(多解性)175-184
• 参考文献184-192
• 研究生期间已发表和待发表的论文192-193
• 致谢193-194

【参考文献】

中国期刊全文数据库 前1条

1 HE Yi;LI GongBao;;The existence and concentration of weak solutions to a class of p-Laplacian type problems in unbounded domains[J];Science China(Mathematics);2014年09期

  本文关键词：几类含奇异摄动的椭圆型方程解的存在性、集中性与多解性的研究，由笔耕文化传播整理发布。

本文编号：299079