马氏链驱动的正倒向随机微分方程及相关问题

发布时间：2017-05-14 02:03

  本文关键词：马氏链驱动的正倒向随机微分方程及相关问题，，由笔耕文化传播整理发布。

【摘要】：自从Pardoux和Peng [63]在1990年首次创造性地提出了一般形式的非线性倒向随机微分方程(简称BSDE),倒向随机微分方程理论蓬勃发展,取得丰富的理论成果。现在倒向随机微分方程理论己经成为强有力的随机分析工具。该理论在金融数学、随机控制、随机对策和偏微分方程理论等众多领域都取得丰硕的应用成果。基于BSDE理论的发展,众多不同形式的BSDE也得到了快速发展。近年来BSDE有众多的带跳过程的理论成果出现,最近的工作还出现了以其他的过程取代扩散项中的布朗运动。2008年,Cohen和Elliott [18]研究了由一个连续时间、有限状态的马氏链所驱动的BSDE;之后,又有一系列关于这类BSDE的比较定理、非线性期望等结果的出现。伴随着BSDE理论的蓬勃发展,与之密切相关的完全耦合的正倒向随机微分方程(简称FBSDE)理论也取得了快速的发展。在优化问题和金融问题中都会遇到由布朗运动驱动的完全耦合的FBSDE。对于完全耦合的FBSDE,到目前为止,主要有压缩映像方法、四步框架法、连续性方法等三种方法来研究其解的存在唯一性。本篇论文主要在连续性方法下,研究由一个连续时间、有限状态的马氏链所驱动的完全耦合的FBSDE,给出正向随机微分方程(简称SDE)和BSDE维数相同,正、倒向方程维数不同以及在停时时间限等几种情形下由一个连续时间、有限状态的马氏链所驱动的完全耦合的FBSDE解的存在唯一性条件,解的比较定理,解关于参数的连续性结果等。本文旨在完善半鞅和随机积分理论,尤其是发展由跳过程驱动的完全耦合的FBSDE理论。下面介绍本论文的主要内容及结构。第一章,阐述本论文的研究背景和预备知识,简要叙述本文研究的主要内容。第二章,首先,我们研究一个连续时间、有限状态且取单位基向量的马氏链m={m,t,t≥0}。我们研究在时齐情形下该马氏链具备的性质。我们主要定义与该马氏链相关的三个计数过程,定义计数过程的平均转移率函数,得到这三个计数过程的平均转移率函数都存在,并且给出它们的平均转移率函数的简单计算公式。我们进一步看由这个马氏链生成的跳鞅的性质,得到该鞅是一个局部有界变差过程。然后,我们又研究由这个鞅所驱动的完全耦合的FBSDE.该方程等价于一个由马氏链m={mt,t∈[0,T]}驱动的完全耦合的FBSDE.我们在连续性方法下,运用半鞅的Ito乘积法则并用迭代法构造柯西列,借助由一个有限状态的马氏链驱动的BSDE的理论结果,从而证明由这个鞅所驱动的完全耦合的FBSDE解的存在唯一性；进而给出解的比较定理以及关于参数的连续性结果等。第三章,我们研究由一个有限状态的马氏链m={mt,t,t∈[0,T]}生成的鞅Mt驱动的完全耦合的FBSDE在正、倒向方程维数不同并且YT=ζ的情形。该方程等价于一个由马氏链m={mt,t∈[0,T]}驱动的完全耦合的FBSDE.我们通过介绍一个m×n的满秩矩阵G克服正、倒向方程维数不同的问题。我们在连续性方法下,运用半鞅的Ito乘积法则和不动点原理,借助由一个有限状态的马氏链驱动的BSDE的理论结果和Riccati方程的结论,证明了分别在两组条件下,这类方程的解的存在唯一性。我们还给出关于参数的连续性结果。第四章,我们研究由一个有限状态的马氏链7n={mt,t∈[0,T]}生成的鞅Mt驱动的完全耦合的FBSDE在正、倒向方程维数不同并且YT=Φ(XT)的情形。该方程等价于一个由马氏链m={mt,t≥0}驱动的完全耦合的FBSDE.我们在连续性方法下,运用半鞅的Ito乘积法则,借助由一个有限状态的马氏链驱动的BSDE的理论结果和第三章证明过的引理的结论,得到了分别在两组条件下,这类方程的解的存在唯一性。我们还给出关于参数的连续性结果。第五章,我们研究由一个有限状态的马氏链m={mt,t∈[0,T]}生成的鞅Mt驱动的完全耦合的FBSDE在无界停时时间限的情形。该方程等价于一个由马氏链m={mt,t∈ [0,T]}驱动的完全耦合的FBSDE.我们在连续性方法下,运用半鞅的Ito乘积法则和不动点定理,采用停时的技巧,证明了分别在两组条件下,这类方程的解的存在唯一性。我们还给出一个关于初值的比较定理。以下是本论文的主要结果。1.一个有限状态的马氏链和由它驱动的完全耦合的FBSDE在本章中,首先,我们研究一个连续时间、有限状态且取单位基向量的马氏链。我们进一步看由这个马氏链产生的跳鞅的性质。然后,我们又研究由这个鞅所驱动的FBSDE.我们首先考虑概率空间(Ω,F,P)上一个连续时间、有限状态的马氏链m={mt,t≥O}。定义这个马氏链的状态为Rd中的基向量ei,其中d是马氏链状态的个数,即对于0≤i≤d,记ei=(0.…,1,…,0)*为Rd中的第i个单位列向量,其中“*”表示转置。故其状态空间是集合S={e1,…,ed}。由Elliott.Aggoun和Moore[34]的Appendix B,这个马氏链有以下的表示：其中Mt是一个鞅。称Mt为由马氏链m={mt,t∈[0,T]}生成的鞅。我们主要是研究马氏链m={mt,t≥0}在时齐情形下的性质。我们考虑与它相关的三个计数过程：定义计数过程Nm(t)为马氏链m={mt,t≥0}直到时刻t为止跳的总次数：定义计数过程Nij(t)为马氏链m={mt,t≥0}直到时刻t为止从状态ei到状态ej跳的次数；定义计数过程Nj(t)为马氏链m={mt,t≥0}直到时刻t为止到达状态ej的次数。设Pij(t)=P{mt=ej|m0=ei},我们有设At=(aij(t)),t≥ 0是该过程的一族Q-矩阵。对上述的计数过程,如果E[N(t)]是可微的,则我们称R(t)=是计数过程N(t)的平均转移率函数。我们证明与马氏链m={mt,t≥0}相关的以上三个计数过程的平均转移率函数都是存在的,并且我们给出它们的平均转移率函数的简单的计算公式。定理0.1.定理0.2.Rij(t)=Ptiaij.定理关于m={mt,t∈[0,T]},有结论定理0.4.在任意有限的时间段内,马氏链m={mt,t≥0}有有限变差。关于Mt,有结论定理0.5.在任意有限的时间段内,鞅Mt有有限变差。定理0.6.Mt的二次变差能表示为定理0.7.设h是一个可料过程,则我们考虑如下的由Mt驱动的完全耦合的FBSDE:其中X,Y,Z在Rn,Rn,Rn×d中取值,T0是任意固定的实数,称之为时间限,且b,σ,f,Φ是有适当维数的函数。方程(0.0.1)等价于一个由马氏链驱动的FBSDE.对v=(x,y,z)∈Rn×Rn×Rn×d,令F(t,v)=(-,f(t,v),b(b,v):0), G(t,v)=(0,0,σ(t,v)).我们用M2(0,T；Rn)表示所有取值于Rn且满足以下条件的适应的过程：有主要假设条件：(A2.1)任意的v=(x,y,z)∈Rn×Rn×Rn×d,F(·,v),G(·,v)∈M2(0,T;Rn×Rn× Rn×d)且对任意的x∈Rn,Φ(x)∈L2(Ω,fT;Rn);且存在一个常数c10使得|F(t,v1)-F(t,v2)|≤c1|v1-v2|, |G(t,v1)-G(t,v2)|≤c1|v1-v2|,且有(A2.2)存在一个常数c20使得[F(t,v1)-F(t,v2),v1-v2]≤-c2|v1-v2|2,P-a.s.,a.e.t∈R+, [G(t,v1)-G(t,v2),v1-v2]≤-c2|v1-v2|2,P-a.s.,a.e.t∈R+, (?) uv∈Rn×Rn×Rn×d,(?)v2∈Rn×Rn×Rn×d;且有(Φ(x1)-Φ(x2),x1-x2)≥c2|x1-x2|2,(?)x1∈Rn,(?)x2∈Rn.我们在连续性方法下,运用半鞅的Ito乘积法则并用迭代法构造柯西列,借助由一个有限状态的马氏链驱动的BSDE的理论结果,从而给出方程(0.0.1)解的存在唯一性的结论：定理0.8.假设条件(A2.1)和条件(A2.2)成立,则方程(0.01)存在唯一适应的解。借助BSDE的性质,我们还可以得到另外几组假设条件,相应的有如下结论：定理0.9.假设条件(A2.1)和条件(A2.2')成立,则方程(0.0.1)存在唯一适应的解。定理0.10.假设条件(A2.1)和条件(A2.3)成立,则方程(0.0.1)存在唯一适应的解。定理0.11.假设条件(A2.1)和条件(A2.4)成立,则方程(0.0.1)存在唯一适应的解。定理0.12.假设条件(A2.1)和条件(A2.3’)成立,则方程(0.0.1)存在唯一适应的解。定理0.13.假设条件(A2.1)和条件(A2.4’)成立,则方程(0.0.1)存在唯一适应的解。下面我们给出一个关于初值的解的比较定理。我们先给出如下的两个完全耦合的FBSDE:其中i=1,2。对于这两个方程,我们有如下的关于初值的比较定理：定理0.14.假设方程(0.0.2)满足条件(A2.1,和条件(A2.2),设(X1,Y1,Z1)和(X2,Y2,Z2)分别是两个方程的解。如果有x1≥x2成立,则Y01≥Y02。我们还给出了关于参数的连续性结果。设(fl,bl,σl,Φ2),l∈R是一族FBSDE,满足假设条件(A2.1)和(A2.2),解用(Xl,Yl,Zl)来表示：下面我们给出假设条件：(A2.5)·这一族(fl,bl,σl,Φl),l∈R相对于(x,y,z)和x分别是等度连续的；·函数l→(fl,bl,σl,Φl)在其所在空间的范数意义下是连续的。定理0.15.设(fl,bl,σl,Φl),l∈R是一族FBSDE(2.22)满足假设条件(A2.1)和(A2.2)以及假设条件(A2.5),解用(Xl,Yl,Zl)来表示。则函数l→(Xl,Yl,Zl,XTl):R→M2(0,T;Rn× Rn×Rn×d)×L2(Ω,fT,P;Rn)是连续的。2.由马氏链驱动的完全耦合的FBSDE:正、倒向方程维数不同并且Yt=ζ的情形第三章建立在在第二章的基本框架下,是对第二章的推广。我们研究由一个有限状态的马氏链m={mt,t∈[0,T]}生成的鞅Mt驱动的完全耦合的FBSDE在正、倒向方程维数不同并且有终端YT=ζ的情形。我们仍然假设m={mt,f∈[0,T]}是一个连续时间、有限状态的马氏链,定义这个马氏链的状态为Rd中的基向量ei,其中d是马氏链状态的个数。我们考虑定义在域流概率空间(Ω,F,Ft,P)上的随机过程。其中{Ft}是由σ-域和F=FT产生的完备域流。注意到m是右连续的,这个域流也是右连续的。设At。表示m在时刻t的转移速率矩阵,则这个马氏链有以下的表示：其中Mt是一个鞅([34]的Appendix B)。我们考虑如下的由Mt驱动的完全耦合的FBSDE：其中X,Y,Z在Rn,Rm,Rm×d中取值,710是任意固定的实数,且b,σ.f是有适当维数的函数。方程(0.0.4)也等价于一个由马氏链m={mt}驱动的FBSDE。我们给出一个m×n满秩矩阵G,对于u=(x,y,z)∈Rn×Rm×Rm×d,令其中Gσ=(Gσ1…Gσd)。设有如下的假设条件：(A3.1)对每一个v=(x,y,z)∈Rn×Rm×Rm×d,F(·,v),H(·,v)∈M2(0,T;Rn× Rm×Rm×d)并且对每一个x∈Rn,ξ∈L2(Ω,fT;Rn);且有·F(t：u)对于u是一致-lipschitz的；·H(t,u)对于u是一致-lipschitz的。(A3.2)存在常数c2,c2',使得[F(t,u1)-F(t,v2),v1-v2]≤-c2|G(x1-x2)|2-c2(|G*(y1-y2)|2+|G*(z1-z2)|2), [H(t,v1)-H(t,v2),v1-v2]≤-c2|G(x1-x2)|2-c2(|G*(y1-y2)|2+IG*(z1-z2)|2),P-a.s.,a.e.t∈R+,(?)v1=(x1,y1,z1),v2=(x2,y2,z2)∈Rn×Rm×Rm×d,其中c2和c2'是给定的正常数。(A3.3)存在常数c2,c2',使得[F(t,v1)-F(t,v2),v1-v2]≥c2|G(x1-x2)|2+c2(|G*(y1-y2)|2+|G*(z1-z2)|2),[H(t,u1)-H(t,u2),u1-u2]≥c2|G(x1-x2)|2+c2(|G*(y1-y2)|2+|G*(z1-z2)|2), P-a.s.,a.e.∈R+,(?)u1=(x1,y1,z1),u2=(x2,y2,z2)∈Rn×Rm×Rm×d,其中c2和c2'是给定的正常数。我们借鉴Peng和Wu[69]的思想,也通过介绍一个m×n的满秩矩阵G克服x和Y维数不同的问题。我们在连续性方法下,运用半鞅的Ito乘积法则和不动点原理,借助由一个有限状态的马氏链驱动的BSDE的理论结果和Riccati方程的结论,证明了分别在两组条件下,这类方程的解的存在唯一性。但是因为我们这里是由马氏链生成的鞅驱动的FBSDE,由于该鞅的性质不同于布朗运动的性质,所以这里我们得到的条件的形式不同于Peng和Wu[69]中的条件的形式。定理0.16.设条件(A3.1)和(A3.2)成立,则(0.04)存在唯一适应的解(X,Y,Z)。定理0.17.设条件(A3.1)和(A3.3)成立,则方程(0.04)存在唯一适应的解(X,Y,Z)。我们也研究了相应的关于参数的连续性结果。3.由马氏链驱动的完全耦合的FBSDE:正、倒向方程维数不同并且TT=Φ(XT)的情形第四章是第三章的后续。我们研究由一个有限状态的马氏链m={mt,t∈[0,T]}生成的鞅Mt驱动的完全耦合的FBSDE在正、倒向方程维数不同并且有终端YT=Φ(XT)的情形。我们考虑如下的由Mt驱动的完全耦合的FBSDE:其中X,Y,Z在Rn,Rm,Rm×d中取值,T0是任意固定的实数,且b,σ,f,Φ是有适当维数的函数。设有以下的假设条件：(A4.1)对每一个u=(x,y,z)∈Rn×Rm×Rm×d,F(·,u),H(·,u)∈M2(0,T;Rn×Rm×Rm×d)并且对每一个x∈Rn,Φ(x)∈L2(Ω,fT;Rn);且有·F(t,u)对于u是一致-lipschitz的；·H(t,u)对于u是一致-lipschitz的；·Φ(x)对于x是一致-lipschitz的。(A4.2)存在常数c2,c2',c3,使得[F(t,u1)-(t,u2),u1-u2]≤-c2|G(x1-x2)|2-c'2(|(G*(y1-y2)|2+|G*(z1-z2)|2),[H(t,v1)-H(t,v2),v1-v2]≤-c2|G(x1-x2)|2-c'2(|G*(y1-y2)|2+|G*(z1-z2)|2),P-a.s.,a.e.t∈R+,(?)v1=(x1,y1,z1),v2=(x2,y2,z2)∈Rn×Rm×Rm×d,且有其中c2,c2'和c3是给定的正常数。(A4.3)存在常数c2,c2',c3,使得[F(t,v1)-F(t,v2),v1-v2]≥c2|G(x1-x2)|2+c'2(|G*(y1-y2)|2+|G*(z1-z2)|2), [H(t,v1)-H(t,v2),v1-v2]≥c2|G(x1-x2)|2+c'2(|G*(y1-y2)1|2+1G*(z1-z2)|2),且有(Φ(x1)-Φ(x2),G(x1-x2))≤-c3|G(x1x2)|2,(?)x1∈Rn,(?)x2∈Rn.其中c2.c2'2和c3是给定的正常数。我们在连续性方法下,运用半鞅的Ito乘积法则,借助由一个有限状态的马氏链驱动的BSDE的理论结果和第三章证明过的引理,得到分别在两组条件下,这类方程的解的存在唯一性。定理0.18.设条件(A4.1)和(A4.2)成立,则方程阳(0.05)存在唯一适应的解(X,Y,Z)。定理0.19.设条件(A4.1)和(A4.3)成立,则方程阳(0.05)存在唯一适应的解(X,Y,Z)。4.由马氏链驱动的完全耦合的FBSDE:在停时时间限上的情形第五章我们研究由一个有限状态的马氏链m={mt,t∈[0,T]}生成的鞅Mt驱动的完全耦合的FBSDE在无界停时时间限的情形。该方程等价于一个由马氏链m={mt,t∈[0,T]}驱动的完全耦合的FBSDE.设m={mt,t∈[0,T]}是一个连续时间、有限状态且取单位基向量的马氏链。我们考虑定义在域流概率空间(Ω,F,Ft,P)上的随机过程。其中{Ft}是由σ-域Ft=σ({ms,s≤和F=FT产生的完备域流。设Mt是由m={mt,t∈[0,T]}生成的鞅。设丁=丁(u)是Ft可测的停时并且在[0,∞]取值。我们介绍如下的概念：φ2={vt,0≤t≤T,是一个Ft一适应的过程,使得E[sup0≤t≤T|vt|2]∞},H2={vt,0≤t≤T是一个Ft一适应的过程,使得l2={ζ,ζ是一个FT一可测的随机变量,使得E|ζ|2∞}.我们考虑如下的由Mt驱动的完全耦合的FBSDE:其中t0,X,Y,Z在Rm,Rm,Rm×d中取值。b,σ,f,Φ是有适当维数的函数。我们设v=(x,y,z)∈Rm×Rm×Rm×d,令其中σ=(σ··σd)。设有以下的假设条件：(A5.1)对每一个v=(x,y,z)∈Rm×Rm×Rm×d,Φ(x)∈(?)2,b,σ是循序可测的并且有(A5.2)·存在一个正的、确定性的有界函数ψ1(t),使得对v1=(x1,y1,z1)∈Rm×Rm× Rm×d,v2=(x2,y2,z2)∈Rm×Rm×Rm×d,l分别取b,σ,f并且有·存在一个常数c0,使得|Φ(x1)-Φ(x2)|≤c|x1-x2|。(A5.3)存在常数c2.c2'.c3,使得对每一个v1=(x1,y1,z1),v2=(x2,y2,z2),v= (x,y,z)=(x1-x2,y1-y2,z1-z2), [F(t,v1)-F(t,v2),v]≤-c2ψ1(t)|x|2-c2ψ1(t)(|y|2+|z|2), [H(t,v1)-H(t,v2),v]≤-c2ψ1(t)|x|2-c2ψ1(t)(|y|2+|z|2), P-a.s.,a.e.t∈R+,(?)v1=(x1,y1,z1),v2=(x2,y2,z2)∈Rn×Rm×Rm×d,且有其中c2,c2',c3是给定的正常数。我们运用半鞅的Ito乘积法则和不动点定理,采用停时的技巧,证明了这类方程的解的存在唯一性。定理0.20.设条件(A5.1),(A5.2)和(A5.3)成立,则方程(0.0.6)存在唯一的解(X,Y,Z)∈ φ2×φ2×H2。我们给出另外一个单调性假设条件。(A5.4)存在常数c2,c2',c3,使得对每一个v1=(x1,y1,z1),v2=(x2,y2,z2),v= (x,y,z)=(x1-x2,y1-y2,z1-z2), [F(t,v1)-F(t,v2),v]≥c2ψ1(t)|x|2+c2ψ1(t)(|y|2+|z|2), [H(t,v1)-H(t,v2),v]≥c2ψ1(t)|x|2+c2ψ1(t)(|y|+|z|2),P-a.s.,a.e.t∈R+,(?)v1=(x1,y1,z1),v1=(x2,y2,z2)∈Rn×Rm×Rm×d,且有其中c2,c2'.c3是给定的正常数。以条件(A5.4)取代定理(5.1)中的条件(A5.3),我们有下面的结果：定理0.21.设条件(A5.1),(A5.2)和(A5.4)成立,则方程(0.0.6)存在唯一的解(X,Y,Z)∈φ2×φ2×H2。我们还给出一个关于初值的比较定理。我们给出如下的两个完全耦合的FBSDE：其中i=1,2。对于这两个方程,我们有如下的关于初值的比较定理：定理0.22.假设方程(0.07)满足条件(A5.1),条件(A5.2)和条件(A5.3),设(X1,Y1,Z1)和(X2,Y2,Z2)分别是两个方程的解。如果有x1≥x2成立,则Y01≥Y02。
【关键词】：马氏链 连续时间有限状态的马氏链 停时 倒向随机微分方程 正倒向随机微分方程 完全耦合的正倒向随机微分方程 由马氏链驱动的完全耦合的正倒向随机微分方程
【学位授予单位】：山东大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O211.63
【目录】：

• 中文摘要7-17
• Abstract17-29
• 第一章 绪论29-41
• 1.1 引言29-30
• 1.2 完全耦合的FBSDE30-31
• 1.3 由马氏链驱动的BSDE31-33
• 1.3.1 有限状态的马氏链及其生成的鞅31-32
• 1.3.2 由连续时间、有限状态的马氏链驱动的BSDE32-33
• 1.4 本论文研究的主要内容33-37
• 1.5 预备知识37-41
• 第二章 一个有限状态的马氏链和由它驱动的完全耦合的FBSDE41-71
• 2.1 一个有限状态的马氏链和鞅41-53
• 2.1.1 引言42-44
• 2.1.2 预备知识44-45
• 2.1.3 时齐情形下上述马氏链{m_t,t≥0}的若干性质45-51
• 2.1.4 由马氏链{mt,t≥0}生成的鞅M_t的更多性质51-53
• 2.2 由马氏链驱动的完全耦合的FBSDE的解的存在唯一性53-62
• 2.2.1 模型的建立53-54
• 2.2.2 预备知识54-56
• 2.2.3 解的存在唯一性56-62
• 2.3 引理(2.4)和引理(2.5)的证明62-66
• 2.4 一个比较定理66-68
• 2.5 关于参数的连续性结果68-71
• 第三章 由马氏链驱动的完全耦合的FBSDE:倒向方程维数不同并且Y_T=ζ的情形71-91
• 3.1 模型的建立71-73
• 3.2 预备知识73-74
• 3.3 一组单调性假设条件下解的存在唯一性74-77
• 3.4 引理(3.1)和引理(3.2)的证明77-82
• 3.5 另一组单调性假设条件下解的存在唯一性定理82-84
• 3.6 引理(3.3)和引理(3.4)的证明84-88
• 3.7 关于参数的连续性结果88-91
• 第四章 由马氏链驱动的完全耦合的FBSDE：正、倒向方程维数不同并且Y_T=Φ(X_T)的情形91-107
• 4.1 问题模型化91-93
• 4.2 预备知识93
• 4.3 一组单调性假设条件下解的存在唯一性93-99
• 4.4 另一组单调性假设条件下的解的存在唯一性99-103
• 4.5 关于参数的连续性结果103-107
• 第五章 由马氏链驱动的完全耦合的FBSDE：在停时时间限上的情形107-119
• 5.1 模型的建立107-108
• 5.2 预备知识108-109
• 5.3 解的存在唯一性109-113
• 5.4 另一组条件下解的存在唯一性113-116
• 5.5 一个比较定理116-119
• 参考文献119-126
• 攻读博士学位期间发表及完成的论文126-127
• 致谢127-128
• 附件128

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中国硕士学位论文全文数据库 前10条

1 李芳;非齐次马氏链的收敛及收敛速度[D];江苏大学;2005年

2 何洪华;马氏链框架下含对手信用风险的信用联结票据定价[D];苏州大学;2015年

3 曾平安;随机置换图与马氏链的联系[D];浙江大学;2006年

4 汪晓云;关于绕积马氏链中若干问题的研究[D];安徽师范大学;2006年

5 马莉;关于绕积马氏链的一些研究[D];安徽师范大学;2007年

6 刘健;模m的非齐次树上马氏链场的若干强律[D];河北工业大学;2010年

7 吕以茜;有限渐近循环马氏链样本相对熵率存在定理和散度率[D];江苏大学;2011年

8 李鸿娜;二重马氏链及其泛函的极限性质[D];河北工业大学;2002年

9 马世霞;马氏链及树上马氏链场的若干研究[D];河北工业大学;2002年

10 宋玉琴;树上广义非对称马氏链场的强极限性质[D];江苏大学;2006年

  本文关键词：马氏链驱动的正倒向随机微分方程及相关问题，由笔耕文化传播整理发布。

本文编号：364060