有限维Nichols代数的一些结果

发布时间：2017-05-14 08:06

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【摘要】：Nichols代数在(点) Hopf代数理论中起着核心的作用.这主要体现在Andrus-kiewitsch和Schneider用提升法对有限维点Hopf代数的分类中.每一个辫子向量空间都有一个标准的Nichols代数.最简单的辫子是对角型的.辫子向量空间上的对角型有限维Nichols代数的分类由Heckenberger基本完成了.在本文中我们主要证明了下列结论:(i) Nichols代数B(V)是有限维的当且仅当Nichols辫子李代数L(V)是有限维的.(ii)找到了有限循环群Zn上的连通有限维Yetter-Drinfeld(简写为YD)模的所有对角型有限维Nichols代数.并且证明了如果dim V3,Zn上的连通YD模V的Nichols代数是无限维的.(iii)除了某几种情况,经典Weyl群上的不可约YD模的Nichols代数都是无限维的,并且双一箭图Nichols代数和B(Os, ρ)在同构的意义下是相同的. 第二章,基于Heckenberger的研究工作我们比较了对角型Nichols代数的维数和对应的Nichols辫子李代数的维数以及相关的结构,第一节中我们回顾了Nichols代数的一些结果并且固定了一些符号.在第二节中我们证明了如果D是无限维的,则Nichols李代数L (V)是无限维的.在第三节中我们证明了Nichols代数B(V)是有限维的当且仅当Nichols辫子李代数L(V)是有限维的.在第四节中我们给出了B(V)=F"昄(V)的充分条件.第五节中我们给出了Nichols辫子李代数L(V)成为带有某些定义关系的由V生成的辫子李代数的同态像的充分条件. 第三章,我们研究了有限循环群YD模上的对角型辫子以及它们的Nichols代数,在第一节和第二节中我们分别找到了所有的连通2-维和3-维Zn-YD模上对角型的有限维Nichols代数.在第三节我们证明了dimV3的连通Zn-YD模V上对角型的Nichols代数是无限维的. 第四章,首先我们用并置来决定经典Weyl群上的不可约YD模的Nichols代数是不是有限维的.第二节中我们证明了除了某几种情况,经典Weyl群Zn 2Sn上的不可约YD模的Nichols代数都是无限维的.第三节我们证明了除了某几种情况,经典Weyl群的共轭类是D型的.第四节我们证明了双一箭图Nichols代数和B(Os, ρ)在同构的意义下是相同的.第五节我们利用箭图Hopf代数的方法给出了FK猜想和由对称群上的对换确定的Nichols代数B(O(1,2), sgn)之间的关系.即,如果dimB(O(1,2), sgn)=∞,则dim En是无限维的,并且在FK猜想的基础上我们提出了一个更一般的问题.
【关键词】：算术根系 Hopf代数 循环群 Nichols代数 Nichols李代数 Nichols辫子李代数 rack Weyl群
【学位授予单位】：湖南大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O153
【目录】：

• 摘要5-7
• Abstract7-10
• 第1章 绪论10-18
• 1.1 研究背景10-13
• 1.2 预备知识13-16
• 1.3 主要结果和章节安排16-18
• 第2章 Nichols代数和Nichols辫子李代数的关系18-39
• 2.1 引言18-19
• 2.2 Nichols代数和Nichols李代数的关系19-20
• 2.3 Nichols代数和Nichols辫子李代数的关系20-28
• 2.4 B(V)=F"昄(V)的条件28-33
• 2.5 Cartan型33-39
• 第3章 有限循环群上的有限维Nichols代数39-79
• 3.1 对角型的秩2 Nichols代数39-47
• 3.2 对角型的秩3 Nichols代数47-71
• 3.3 秩大于3的对角型Nichols代数71-76
• 3.4 附录76-79
• 3.4.1 Z_n上的方程组76-78
• 3.4.2 辫子向量空间78-79
• 第4章 经典Weyl群上的点Hopf代数79-92
• 4.1 扩张79-81
• 4.2 Z_2~n(?)S_n上的rack81-83
• 4.3 Z_2~n(?)S_n上的Nichols代数83-84
• 4.4 双一箭图Nichols代数和B(O_s,ρ)之间的关系84-86
• 4.5 FK猜想86-92
• 结论92-94
• 参考文献94-102
• 附录A 攻读学位期间所发表的学术论文目录102-104
• 致谢104

【共引文献】

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本文编号：364608